손잡이가 바꾸는 선형 응답

1. 정상 사진만으로 답할 수 없는 질문

세 방 사이로 사람들이 이동한다고 하자. 정상 상태에서는 각 방의 평균 인원이 일정하지만 사람들의 이동은 계속된다. 이제 문 하나를 조절하는 손잡이를 돌리면 방1의 인원은 얼마나 달라질까?

기존 인원과 모든 기존 전이율을 알아도 충분하지 않다. 손잡이가 전이율을 어떻게 바꾸는지도 알아야 한다. 두 손잡이가 정방향/역방향 전이율의 비율을 똑같이 바꾸더라도 전체 통행 속도를 다르게 바꿀 수 있다. 배경에 순환 흐름이 있으면 응답 부호마저 달라질 수 있다.

이 실험에서 인원은 반복 시행의 상태 확률을 뜻한다. 한 사람이 방을 오가는 불연속 경로와 매끄러운 평균 응답 곡선을 구별한다. 모든 실험은 원래 정상분포에서 시작하고, 지정한 손잡이만 바꾼다.

2. 행·열·방향·단위를 고정한다

시계 방향0→1,1→2,2→0의 전이율을 a,b,c로, 반대 방향1→0,2→1,0→2를 d,e,f로 쓰자. 여섯 값은 양수이며 단위는 s⁻¹이다. 행 확률 벡터의 진화는

$$\dot p=pQ,\qquad Q=\begin{pmatrix}-a-f&a&f\\d&-d-b&b\\c&e&-c-e\end{pmatrix},\qquad Q\mathbf1=0$$

이다. 전이율 f와 혼동하지 않도록 관측량 열 벡터는 o로 쓴다. 방1의 점유를 측정하면 o=(0,1,0)ᵀ이고 평균 po는 무차원 확률이다.

대각 원소는 각 상태에서 빠져나가는 총 전이율의 음수다. 이는 연속 시간 Markov 모형으로, 전이율은 애니메이션 한 프레임의 이동 확률이 아니다. 이 단계에서 온도·열·물리적 국소 상세 균형을 가정하지 않는다.

3. 섭동 전에 배경을 결정한다

유일한 정상 행 벡터는 π=τ/Z이며

$$\tau=(cd+de+bc,\ ae+ac+ef,\ bf+ab+df),\qquad Z=\tau_0+\tau_1+\tau_2$$

이다. πQ=0과 π1=1을 확인한다. 이 하나의 고리에서 모든 변의 정상 시계 방향 순흐름은

$$J=\pi_0a-\pi_1d=\frac{abc-def}{Z}$$

로 같다. 양의 세 상태 고리에서는 J=0이 상세 균형이다. 방별 인원이 같다고 J=0인 것은 아니다. 시계 방향3/s, 역방향1/s인 고리는 균일한 정상분포를 가지면서 순환한다.

4. 비율뿐 아니라 손잡이를 정의한다

약한 무차원 입력 h(t)가0↔1문에 작용한다고 하자. 손잡이의 한 가족을

$$q_{01}(h)=a e^{(\eta+1/2)h},\qquad q_{10}(h)=d e^{(\eta-1/2)h}$$

로 정한다. 다른 비대각 전이율은 고정하고 대각을 조정하여 행 합0을 유지한다. 모든 유한 h에서 전이율은 양수다. 어느 η에서나 ∂h log(q01/q10)=1이지만, ∂h log√(q01q10)=η다. η는 비율 변화와 별개로 대칭적 통행 속도 인자를 바꾼다.

전이율 자체는 h의 비선형 함수다. 선형 응답은 η를 고정하고 h=0에서 미분한다는 뜻이며, 모든 유한 입력의 실험이 선형이라는 뜻이 아니다. 입력은 작고 유계인 함수로 다룬다. 지수 전이율 안에 유한 Dirac 분포를 넣는 것을 충격 실험의 처방으로 사용하지 않는다.

5. 확률 진화식을 직접 미분한다

Q(h)=Q+hQ₁+O(h²)로 쓰면 Q₁의0·1행만0이 아니다:

$$Q_1=\begin{pmatrix}-a(\eta+1/2)&a(\eta+1/2)&0\\d(\eta-1/2)&-d(\eta-1/2)&0\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

근사의 뜻을 명확히 하자. 유계 함수 u를 고정하고 h(t)=εu(t), ε→0으로 둔다. 고정된 유한 시간 구간에서 p(t)=π+εδp(t)+O(ε²), δp(0)=0을 대입하면

$$\dot{\delta p}=\delta pQ+u(t)\pi Q_1,\qquad \delta p(t)=\int_0^t u(s)\pi Q_1e^{Q(t-s)}\,ds$$

를 얻는다. 행 벡터 s=πQ₁은 단위 시간당 부호 있는 확률 원천이다. 성분 합이0이므로 일차 변화도 총확률을 보존한다. δp는 확률의 미분이므로 각 성분이 음수여도 모순이 아니다.

6. 커널에서 인과성과 시간 순서를 읽는다

일반적인 약한 h에 대한 평균 변화는 지연 응답의 합성곱이다:

$$\Delta\langle o(t)\rangle=\int_0^t h(s)R_o(t-s)\,ds+O(\varepsilon^2),\qquad R_o(t)=\pi Q_1e^{Qt}o\quad(t>0).$$

오차 표기는 앞에서 정한 h=εu의 극한을 사용한다. 오른쪽 극한 Rₒ(0⁺)=πQ₁o는 초기 응답 속도이며, 순간적으로 인원이 뛰는 크기가 아니다. 계단 입력 직후 t=0의 평균 변화는0이다. 무차원 점유에 대한 R의 단위는 s⁻¹이고 시간 적분은 무차원이다.

행렬의 순서는 ‘섭동 작용 → 배경 진화 → 관측’이다. 미래의 섭동은 과거의 관측에 영향을 줄 수 없다. 행렬 순서나 상관의 시각을 바꾸면 다른 실험을 계산하게 된다.

7. 섭동하지 않은 과정의 상관으로 바꾼다

모든 πⱼ가 양수이므로 Bⱼ=sⱼ/πⱼ를 정의할 수 있다. 초기 상태 j에서의 조건부 진화를 사용하면

$$R_o(t)=\sum_j\pi_jB_j(e^{Qt}o)_j =\mathbb E_\pi[B(X_0)o(X_t)],\qquad\mathbb E_\pi B=0$$

이다. 정상 과정에서 잰 상관이지만 B는 Q₁을 통해 손잡이에 의존한다. 올바른 켤레 관측량 없이 단순한 점유 자기상관만 재면 일반적으로 응답을 정할 수 없다. 여기서 B의 단위는 s⁻¹이며, 무차원 온도계나 막연한 정상밀도 score가 아니다.

8. 순환이 손잡이 차이를 드러낸다

방향별 정상 통행량을 F01=π₀a, F10=π₁d로 쓰자. 직접 곱하면

$$s(\eta)-s(0)=\eta J(-1,1,0),\qquad R_o(0^+)=\tfrac12(F01+F10)+\eta J$$

를 얻는다. 두 번째 식은 방1 점유를 측정할 때다. 상세 균형 J=0에서는 이 손잡이 가족의 대칭적 통행 변화가 일차 원천을 바꾸지 않으므로 모든 관측량의 일차 응답도 같다. 이는 이 특정 섭동 가족의 결론이며 임의 섭동으로 일반화하지 않는다.

구동 배경에서는 원천이 달라질 수 있다. 그래도 상수 관측량은 s1=0이므로 응답하지 않는다. 순환은 프로토콜 의존성을 가능하게 하지만 모든 관측이 반드시 그 차이를 검출한다는 뜻은 아니다.

9. 응답 부호가 바뀌는 예제를 계산한다

(a,b,c,d,e,f)=(2,3,4,1,1,1)/s로 두면 π=(17,11,10)/38, J=23/38/s, πo=11/38이다. 동일한 배경에 서로 다른 손잡이를 적용하면 다음과 같다.

η	초기 커널 Rₒ(0⁺), s⁻¹	정적 감수성
−1	−1/76	−3/1444
0	45/76	135/1444
1	91/76	273/1444

η=−1에서 h를 늘리면 해당 문의 양방향 전이율이 모두 줄어든다. 원래 정방향 통행이 더 컸으므로, 정방향/역방향 비율이 증가해도 정방향 통행 감소 때문에 방1 점유가 처음에는 줄 수 있다. 음수 커널을0으로 잘라내면 핵심 현상을 지우게 된다.

표의 수는 입력0에서의 미분이다. 유한 계단 h₀에 대한 일차 예측은 πo+h₀χₒ(t)이고, 실제 점유는 π exp[Q(h₀)t]o다. 확률의 양수성은 뒤의 실제 Markov 진화에 적용된다. 접선을 입력0에서 멀리 외삽해 [0,1]을 벗어났다고 실제 확률로 해석하면 안 된다.

10. 과도 계단 응답과 정적 응답을 나눈다

χₒ(t)=∫₀ᵗRₒ(s)ds로 정의한다. 양의 유한 사슬은 혼합하므로 새 정상법칙을 미분해 장시간 극한을 구할 수 있다:

$$\pi'Q=-\pi Q_1,\qquad\pi'\mathbf1=0,\qquad \chi_o(\infty)=\pi'o.$$

초기 커널이0이 아니어도 t=0에서 χ=0이다. 커널의 부호가 변하면 계단 감수성이 단조일 필요도 없다. 손잡이에 대한 미분 π′와 시간 미분 ṗ를 구별한다.

Q·1=0 때문에 Q는 특이하다. Q⁻¹을 계산하는 대신 정규화 조건을 포함한 선형계를 푼다. 다른 방법은 Qg=−(o−(πo)1), πg=0을 풀고 χₒ(∞)=sg를 계산하는 것이다. 중심화는 정상 모드를 제거하고, 정규화는 g에 임의 상수를 더할 자유를 없앤다.

11. 위상 약속을 정하고 진동 실험을 해석한다

오래 가한 약한 정현파 h(t)=Re[h₀exp(iΩt)]에 대해 Ω≠0의 지연 감수성을

$$\chi_o(\Omega)=\int_0^\infty R_o(t)e^{-i\Omega t}\,dt =s(i\Omega I-Q)^{-1}o$$

로 정의한다. 충분히 시간이 지난 뒤의 평균 변화는 Re[h₀χₒ(Ω)exp(iΩt)]다. 진폭은 |h₀||χ|, 입력에 대한 위상은 argχ다. 정적 감수성이 음수면 입력과 반대 부호로 반응한다는 뜻이므로 위상 그림에서 이를 단순한 양수 계수로 바꾸면 안 된다.

Ω는 rad/s의 각주파수이며 초당 진동 횟수와 구별한다. Ω=0에서는 전체 resolvent가 특이하므로 앞의 중심화된 정적 계산을 사용한다. s1=0으로 물리적인 극한에서 정상 성분이 사라지지만 Q 자체가 가역이 되는 것은 아니다. t=0에 켠 정현파에는 정상 진동 응답에 도달하기 전 과도 성분도 있다.

12. 서로 다른 질문을 서로 다른 비교로 만든다

화면	고정할 것	비교할 것
프로토콜 비교	Q·π·점유 관측량	η=−1,0,1과 부호 있는 커널
계단 실험	η·배경	유한 h₀의 실제 진화와 접선 예측
정적 실험	η·배경	정상법칙 미분과 시간 적분
주파수 실험	η·배경	실수/허수·진폭·위상

확률과 커널은 단위가 다르므로 단위 설명 없이 같은 세로축에 올리지 않는다. 표본 경로·앙상블 평균·민감도 계수도 각각 설명해야 한다. 계획하는 화면은 고정 개념 비교를 저장된 자유 실습 설정과 독립시킨다. 이 원고만으로 화면 구현이 끝난 것은 아니다.

13. 해설이 있는 연습 문제

1. q01/q10이 증가하면 초기 응답은 항상 양수인가? 아니다. 예제의 η=−1을 대입하면 (F01+F10)/2−J=45/76−46/76=−1/76/s다. 비율의 미분만으로는 전체 통행량 변화를 알 수 없다.

2. 상수 관측량은 왜 반응하지 않는가? 모든 h에서 Q(h)1=0이므로 Q₁1=0이고 e^{Qt}1=1이다. 따라서 s e^{Qt}1=s1=0이다. J≠0에서도 성립하는 확률 보존의 결과다.

3. 평형 커널과 계단 감수성을 구하라. 모든 전이율이1/s이면 π=(1,1,1)/3이고 s=(−1,1,0)/3s로 η에 무관하다. 합0인 모드는3/s로 감쇠하므로 Rₒ(t)=exp(−3t/s)/(3s), χₒ(t)=[1−exp(−3t/s)]/9이다. 정적 극한은1/9이고 계단을 켠 순간의 변화는0이다.

4. 이 평형 예제의 정현파 응답은 무엇인가? 앞의 커널을 변환하면 χₒ(Ω)=1/[3(3+iΩs)]다. χ(0)=1/9이고 위상은−atan(Ωs/3)이다. 음의 위상은 입력을 exp(iΩt)로 정한 약속과 함께 해석한다.

5. 유한 계단 실험으로 접선을 어떻게 검산하는가? [πexp(Q(ε)t)o−πexp(Q(−ε)t)o]/(2ε)를 χₒ(t)와 비교한다. 양쪽 모두 원래 π에서 출발해야 한다. 고정 t에서 중심 차분 절단 오차는 O(ε²)이지만 ε가 너무 작아지면 유한 정밀도 오차가 커진다. 각각 π(±ε)에서 시작하면 다른 실험을 측정한다.

6. AI 제어기로 확장하려면 무엇을 정해야 하는가? 상태·전이 법칙·제어가 전이를 바꾸는 방식·관측량·초기분포·시간 척도를 명시하고 약한 입력의 수렴을 확인한다. 학습된 정책의 유한 개입, 숨은 상태, 변하는 환경이 이 정상 세 상태 모형을 따른다고 가정할 수 없다. 유도는 확인할 질문을 제공하며 보편적인 성능 보증이 아니다.

14. 계산을 넘어 연구로 확장하기

이 단원의 세 상태 가족은 배경 생성자만으로 손잡이 미분을 결정할 수 없음을 보여 줍니다. 모든 곡선은 원래 정상분포에서 시작하는 앙상블 평균이며 표본 경로가 아닙니다. 양의 uniformization·방향성 구간과 명시적 꼬리로 수치를 감싸고, 정확한0·미해결 구간·전이율 상한의 미가용을 구별합니다. 보존 법칙으로0임을 증명하는 경우와 너무 작아 표시하지 못하는 경우를 같게 읽지 마세요.

연구에 적용할 때는 제어가 실제 전이 법칙을 어떻게 바꾸는지 명시하고, 초기화·관측량·시간 척도·작은 입력 극한을 확인해야 합니다. 비선형·비정상 응답, 숨은 상태, 스펙트럼 관계·데이터 추정은 추가 조건이 필요한 후속 범위입니다. 이 예제를 임의 AI 정책이나 실제 물리 실험의 보편적인 응답 보증으로 사용하지 않습니다.