계·환경의 등거리와 참조계

1. 무엇을 남기는지에 따라 가역성이 달라진다

알려진 초기 상태의 환경으로 계의 들뜸이 이동한다고 생각하자. 두 출력을 모두 보존하면 이동 과정을 결맞게 설명할 수 있다. 계의 출력만 보존하면 이동에 대한 정보 일부를 잃는다. 따라서 전체 연산은 가역적이어도 국소 변화는 되돌릴 수 없을 수 있다.

이 단원에서는 채널을 구체적인 환경과 연결한다. 밀도행렬, 부분추적, Kraus 연산자를 안다고 가정한다. 환경은 처음에 |0〉인 큐비트다. 이는 유한한 확장 표현의 예이며 모든 열적 환경의 모델이나 Markov 동역학의 증명은 아니다. 환경이 처음부터 계와 상관되어 있다면 준비 절차를 확인해야 하며, 모든 계 상태에 작용하는 고정된 CPTP 규칙이 있다고 바로 가정하면 안 된다.

2. 전체 유니터리를 선택하기 전에 등거리를 만든다

출력 순서를 계 B, 환경 E로 두고, 2차원 입력에서 4차원 출력으로 가는 V를 정의하자.

두 상은 서로 직교하고 노름이1이므로 V†V=I다. 따라서 V는 등거리 사상이다. 직사각형 행렬이므로 VV†는 4차원 항등행렬이 아니라 사영이다. 두 곱을 혼동하면 올바른 구성을 잘못 거부하게 된다.

V를 전체 결합 유니터리로 확장할 수 있지만, 다른 환경 입력에서의 작용은 추가로 선택해야 한다. 예를 들어 U|00〉=|00〉, U|10〉=(3|10〉+4|01〉)/5, U|01〉=(−4|10〉+3|01〉)/5, U|11〉=|11〉로 완성하면 네 상이 정규직교한다. 준비된 환경 부분공간 밖의 완성 방법을 바꿔도, 환경이 처음에 |0〉일 때 관측하는 채널은 그대로일 수 있다.

이 구현에서 환경에는 들뜸이 이동했는지에 관한 기록이 남는다. 이는 선택한 기저와 물리적 구현에 따른 해석이다. 환경의 기저를 바꾸면 다른 기록을 얻더라도, 환경을 관찰하지 않은 계의 출력은 같을 수 있다.

3. 환경을 직접 부분추적한다

입력 ρ에서 VρV†를 만들고 환경 인덱스가 일치하는 성분들을 더한다.

입력이 |1〉이면 결합 상태는 (3|10〉+4|01〉)/5이다. 계의 출력은 diag(16/25,9/25)이다. 교차항 |10〉〈01|은 환경 인덱스가 서로 달라 부분추적에서 사라진다. 그렇다고 계의 모든 비대각 성분을 지우는 것은 아니다. 같은 환경 인덱스와 짝을 이루는 계의 결맞음은 남을 수 있다.

|+i〉=(|0〉+i|1〉)/√2를 입력하면 축약 출력은 다음과 같다.

행렬식은36/625이므로 혼합 상태다. 반면 전체 출력 V|+i〉는 여전히 순수 상태다. 차이는 수치 오차가 아니라 어떤 자유도를 남기는가에서 생긴다.

4. Kraus 연산자를 복원하고 자유도를 이해한다

환경의 기저 e로 사영하면 K_e=(I_B⊗〈e|)V를 얻는다. 계산 기저에서는 앞 단원의 감쇠 Kraus 연산자 두 개가 나온다. 부분추적에 환경의 항등식 Σ|e〉〈e|를 넣으면 연산자 합 표현이 도출된다.

환경의 더하기·빼기 기저를 사용하면 L_+=(K₀+K₁)/√2, L_−=(K₀−K₁)/√2가 된다. 두 출력 항을 전개하면 교차항이 상쇄되어 같은 채널을 얻는다. 개별 항은 일반적으로 다르다. |0〉 입력에서 계산 기저 환경 기록의 확률은1과0이지만, 더하기·빼기 기록은 각각1/2이다. 기록을 버린 계의 출력은 둘 다 |0〉〈0|이다.

따라서 Kraus 연산자의 이름을 채널에 고유한 물리적 사건의 이름으로 취급할 수 없다. 특정한 환경 측정까지 정하면 instrument가 된다. 환경 유니터리를 적용한 뒤 환경을 버리면 계의 채널은 변하지 않지만, 환경을 읽으면 구현을 구별할 수 있다.

5. 참조계를 붙여 상관관계에서의 작용을 확인한다

참조계 R을 두고 계 A에만 채널을 적용하면 확장 사상은 id_R⊗Φ다. 정규화된 Bell 입력 |Ω〉/√2에서는 출력이 참조계⊗계 순서의 J(Φ)/2이다. 환경 확장 표현에서는 전체 출력 순서가 R,B,E가 되므로 부분추적에서도 이 순서를 유지해야 한다.

모든 TP 채널은 참조계의 주변 상태를 그대로 둔다.

수반으로 증명해 보자. 임의의 참조계 관측량 F의 출력 기댓값에는 F⊗Φ*(I)=F⊗I가 들어간다. 이것이 결합 상관관계도 유지된다는 뜻은 아니다. 감쇠는 참조계를 여전히 최대혼합 상태로 두면서 Bell 상관관계를 바꿀 수 있다. 곱 상태와 Bell 상태가 같은 국소 주변 상태를 가질 수 있으므로, 주변 상태만으로 결합 과정을 인증할 수 없다.

6. 감쇠가 없을 때부터 정보의 완전 이동까지 추적한다

실습은 유리수 매개변수 t로 생존 진폭 c=(1−t²)/(1+t²), 이동 진폭 s=2t/(1+t²)를 정한다. c²+s²=1이며 감쇠 확률은 γ=s²이다. t=1/2일 때 두 진폭은3/5,4/5이다. t와 γ는 같은 수가 아니므로 따로 읽어야 한다.

|+i〉와 환경 |0〉를 입력하면 그 지점의 순수 결합 상태는 다음과 같다.

두 부분추적을 계산하면 다음 행렬을 얻는다.

두 행렬은 다르지만 순도는 모두553/625이다. 순수한 이분 결합 상태에서는 축약 스펙트럼이 같지만, 축약 행렬 자체가 같다는 뜻은 아니다. t=0에서 출력은 |+i〉와 |0〉이고, t=1에서는 |0〉와 |+i〉이다. 입력이 환경으로 옮겨간 것이다. 초기화된 계가 순수하다고 해서 정보가 결합계 전체에서 사라졌다고 결론 내릴 수 없다.

t=1/2를 유지하면서 입력을 바꾸자. |1〉은 축약 순도337/625인 얽힌 결합 상태를 만들지만, |0〉은 축약 순도1인 곱 상태 |00〉으로 남는다. 같은 상호작용이 모든 입력을 얽히게 하지는 않는다. 혼합 입력이라면 축약 스펙트럼의 동일성을 적용하기 전에 결합 상태의 순수성을 확인해야 한다. 준비된 혼합 입력 예의 결합 순도는11/18, 계 순도는1011/1250, 환경 순도는3937/5625로 서로 다른 양이다.

마지막으로 |0〉 입력에서 환경 기저의 자유도를 보자. 계산 기저 Kraus 행렬의 첫 열 제곱 노름은 기록 확률1과0을, ± 기저는1/2과1/2를 준다. 무조건부 계 출력은 둘 다 |0〉〈0|이다. 다음 단원에서는 이 라벨을 보존하여 전체 instrument를 비교한다.

7. 해설이 있는 연습

행렬 크기: VV†=I여야 하는가? 아니다. V는 2차원을 4차원으로 보낸다. 열들이 정규직교해야 하며, VV†는 그 열들이 만드는 2차원 상으로의 사영이다. 필요한 조건은 V†V=I다.

부분추적: |10〉〈01|이 사라지는 이유는? 환경 인자가 |0〉〈1|이고 trace가0이기 때문이다. 환경 |0〉〈0|과 짝을 이룬 계의 |0〉〈1|은 남을 수 있다. 모든 비대각 성분을 지우는 방식은 부분추적이 아니다.

기록 비교: 환경을 더하기·빼기 기저로 측정하는 것과 계산 기저 측정은 같은 실험인가? 계의 무조건부 채널은 같지만 기록과 조건부 상태는 다를 수 있다. 무엇을 보존하는지 명시해야 동등성을 말할 수 있다.

8. 검증과 연구 연결

V†V=I를 확인하고 두 부분추적의 텐서 순서를 유지하자. 원래 Kraus 표현과 혼합 표현을 네 행렬 단위 모두에서 비교한다. 한 입력에서만 같으면 다른 채널을 놓칠 수 있다. 참조계의 주변 상태와 결합 출력도 각각 확인하자. 이후 최소 확장, 환경 차원과 Choi rank, 초기 상관관계, 기억 효과와 물리적 자원 비용으로 확장한다.

표현 정리는 IBM Quantum Learning, Watrous 교재 2장을 참고한다. 이 단원의 유한 V와 기저 순서를 명시하여 계산을 독립적으로 재현할 수 있게 했다.