수·분수·비율과 단위

같은 양의 여러 표현

1/3, 2/6, 순환소수는 같은 유리수를 나타냅니다. 화면의 0.333은 근사일 뿐입니다. 한편 150 cm와 1.5 m는 숫자와 단위가 달라도 같은 물리적 길이입니다. 수의 표현 변경과 물리량의 단위 변경을 구분해야 합니다.

AI 전처리에서도 중요합니다. 좌표 단위를 바꿔도 물리 계는 같을 수 있지만, 손실·정규화·최적화의 나머지를 함께 변환하지 않으면 수치 문제는 달라집니다.

정수·분수·동치

정수는 음수·0·양수를 포함합니다. 유리수 a/b는 정수 a와 0이 아닌 정수 b로 표현합니다. a/b와 c/d가 같은 수인 조건은 ad=bc입니다. 분자·분모에 같은 0이 아닌 정수를 곱해도 비율은 유지됩니다.

같은 크기의 조각으로 바꾼 뒤 더하는 것이 통분입니다. 분자와 분모를 각각 더하면 2/9로 잘못 계산합니다. 곱셈은 분자끼리·분모끼리 곱한 뒤 공통 인수로 줄입니다.

실험은 최대공약수로 약분합니다. 0/3은 0/1이지만 1/0은 유리수가 아닙니다. 0/0도 양쪽이 같다는 이유로 1이 되지 않습니다. 약분은 0이 아닌 수를 전제로 합니다.

소수 표시와 유한 정밀도

기약분수의 분모에 2와 5 이외의 소인수가 없을 때 십진 유한소수입니다. 1/8=0.125는 끝나고 1/3은 반복합니다. 표현만 다를 뿐 수가 바뀌지는 않습니다.

컴퓨터는 보통 정확한 분수 대신 이진 근사를 저장합니다. 0.1도 이진 유한 표현이 아닐 수 있습니다. 실험은 반올림한 나눗셈 값과 작은 정수의 기약분수를 따로 보여줍니다. 표시가 같다는 것과 원래 수의 정확한 등식은 구분하세요.

비율·백분율·변화율

무차원 비율은 단위를 맞춘 같은 종류의 양을 비교합니다. 백분율은 그 비율의 100배입니다. 20%에서 30%로 바뀌면 10퍼센트포인트 증가이면서 상대적으로 50% 증가입니다. 질문이 다릅니다.

단위가 있는 비율도 있습니다. m/s는 단순한 백분율이 아닙니다. 75 cm/s와 0.75 m/s는 같은 속력입니다. 평가 결과를 읽을 때 기준량과 단위를 먼저 적으세요.

1을 곱하여 단위 변환

2초 동안 이 경로 길이를 이동하면 평균 속력은 0.75 m/s입니다. 시간이 0일 때 나눗셈으로 유한 속력을 정하지 않습니다. 극한 속도는 다른 정의가 필요하며 1.5/0에 값을 넣는 것이 아닙니다.

제곱·세제곱 단위도 함께 바꿔야 합니다. 1 m²는 100이 아닌 10,000 cm²이고 1 m³는 1,000,000 cm³입니다. 단위의 지수를 빠뜨리면 다른 양이 됩니다.

차원으로 식 검산하기

길이·시간·질량 차원을 L,T,M으로 씁니다. 속력은 LT⁻¹, 가속도는 LT⁻², 힘은 MLT⁻², 에너지는 ML²T⁻²입니다. 더할 때 차원이 맞아야 하고 곱하면 지수가 합쳐집니다.

x(t)=x₀+vt의 두 항은 길이입니다. exp(−kt)의 지수는 무차원이어야 해서 k는 시간의 역수 단위입니다. 길이의 로그 대신 log(L/L₀)처럼 기준량에 대한 무차원 비율을 쓰세요.

차원이 맞는 것은 필요하지만 물리 법칙의 증명은 아닙니다. 기준 길이 L₀, 시간 T₀로 x*=x/L₀, τ=t/T₀를 만들면 척도를 명확히 할 수 있으나 방정식 전체도 변환해야 합니다.

실험과 AI 연결

수직선은 무차원 분수만 표시합니다. 세로 표시는 위치 표식이지 물리량이 아닙니다. 길이·속력은 따로 계산하여 다른 차원의 양을 같은 축에 놓지 않습니다.

동치 분수는 위치가 같습니다. 분모·시간 0의 예제에서는 —를 표시하고 없는 점을 만들지 않습니다. 실제 데이터에는 단위와 변환 이력을 저장하세요. 입력 정규화가 수치적으로 유리해도 조정하지 않은 벌점의 의미는 바뀔 수 있습니다.

연습과 근거

1. 36 km/h는? 답: 10 m/s입니다.
2. −4/6을 약분하면? 답: −2/3입니다.
3. 2 m²는? 답: 20,000 cm²입니다.
4. E=mv²/2의 차원을 확인하고 이 검사가 법칙의 증명은 아닌 이유를 쓰세요.

대수 배경은 OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, 단위 규약은 BIPM SI Brochure를 참고하세요. 위 수치는 직접 계산한 예제입니다.