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미분은 아직 gradient 벡터가 아니다
범함수의 미분은 섭동 h를 수 δJ[h]로 보내는 선형 함수다. Gradient는 선택한 Hilbert 내적에서의 Riesz 표현이다. 내적을 바꾸면 목적과 최소점은 같아도 gradient와 반복 경로가 달라질 수 있다.
실습은 끝점 0인 함수에서 적합도와 매끄러움 에너지를 사용한다.
표시한 두 sine mode만 최적화하는 유한 Galerkin 공간이다. 그림의 표본점들을 무한 차원 수렴 정리로 해석하지 않고 모든 계산을 명시한다.
내적을 고르기 전에 미분하기
u=a₁sin πt+a₂sin nπt, 주파수 k=(π,nπ), 목표 계수 fᵢ=(1,0.5), Aᵢ=1+κkᵢ²로 두자. 직교성에서 계수 미분은 ∂J/∂aᵢ=(Aᵢaᵢ−fᵢ)/2다.
L2 질량행렬은 I/2이므로 함수의 L2 gradient 계수는 gᵢ=Aᵢaᵢ−fᵢ다. 계수 미분 자체와 다르다. 두 구현의 불일치가 아니라 Riesz 대응에서 생기는 배율이다.
L2와 H1 기하 선택
H1형 내적은 ∫hv+ℓ²∫h′v′다. Mode 질량은 Mᵢ/2, Mᵢ=1+ℓ²kᵢ²이므로
최소점은 metric과 무관하다. H1은 높은 주파수에 더 큰 내적 가중치를 주어 갱신의 전처리처럼 작동한다. ℓ=0이면 이 유한 공간에서 정확히 L2다.
충분히 정칙인 전체 함수에서는 강한 L2 gradient가 u−f−κu″이고 경계 처리도 필요하다. 임의 H₀¹ 함수는 L2 이계 도함수가 없을 수 있어 그 공간에서 L2 gradient가 존재하지 않을 수도 있다. 약한 미분과 H1 Riesz 표현은 여전히 의미 있을 수 있다. 유한 모형 밖에서는 함수 공간과 정칙성을 생략하면 안 된다.
선택한 내적에서의 안정성과 감소
Mode 오차 배율은 1−ηAᵢ/Mᵢ다. 화면은 δJ[−grad_M J]=−‖grad_M J‖²_M도 확인하며 제곱 노름은 Σgᵢ²/(2Mᵢ)다. 방향 미분이 음수라는 것과 임의의 큰 유한 보폭 감소는 다르다.
n=4,κ=0.1,η=0.3의 L2는 높은 mode 배율 약 −4.03741로 발산한다. H1 길이 0.2에서는 최악 배율이 약 0.572631이다. 두 최적 계수는 모두 약 (0.503281,0.029777)로 같다.
직접 풀기와 풀이
H1을 12회 반복하면 목적 초과는 약 1.94×10⁻⁷이다. 내적만 L2로 바꾸어 고주파 계수가 커지는지 보고, H1 길이를 0으로 하여 같은 L2 결과를 재현하자. 적합 기준·정규화 매개변수·최소 함수는 바꾸지 않고 반복의 기하만 개선한 이유를 설명하자.
더 읽기: MIT의 함수 내적·변분 강의.
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