국소 기준·U(1) 연결·Wilson 루프

1. 위상에는 비교 기준이 필요하다

네트워크의 각 지점에 시계판이 하나씩 있다고 생각하자. 어떤 방향을 가리키는 바늘이 그대로 있어도 시계판을 돌리면 읽히는 숫자는 달라진다. 서로 다른 시계판에서 읽은 숫자를 비교하려면 두 시계판이 어떻게 정렬되어 있는지 알아야 한다. 연결(connection)은 이 비교 규칙에 해당한다.

복소수 $\psi_i$는 두 실수 성분을 표현하는 편리한 방법이다. 크기는 진폭으로, 위상은 그 지점의 내부 기준에 대한 방향으로 생각할 수 있다. 기준을 바꾸는 것과 고정된 주변 환경에 대해 대상을 실제로 회전시키는 것은 다르다. 어떤 변수가 함께 변하고 무엇을 관측으로 인정하는지 선언해야 이 차이를 수학적으로 구별할 수 있다.

필요하면 실수와 복소수와 앞의 고전장·작용 단원을 복습하자. 이 장은 시간 변화가 없는 유한 그래프의 무차원 실험이다. 전자기장의 시간 발전이나 연속체 근사를 계산하는 장은 아니다.

2. 변수와 링크 방향을 먼저 정한다

노드 $i$마다 $\psi_i\in\mathbb C$를 놓는다. 저장된 방향 간선 $(i,j)$에는 크기가 1인 복소수 $U_{ij}$를 부여한다. 이 장에서 $U_{ij}$는 $j$ 기준으로 표현된 성분을 $i$ 기준 성분으로 바꾸는 값이다. 따라서

$$D_{ij}=\psi_i-U_{ij}\psi_j$$

는 같은 기준으로 옮긴 두 값을 비교한다. 반대 방향으로 간선을 사용할 때는 $U_{ij}^*=U_{ij}^{-1}$를 사용한다. 저장 방향은 경로 곱에서 어떤 인자를 택하는지 정하는 약속이며, $U_{ij}$가 $i$ 기준의 벡터를 $j$ 기준으로 옮긴다는 뜻은 아니다.

같은 두 노드를 잇는 평행 간선은 별개의 비교 규칙이다. 자기 루프도 허용한다. 이때 차분은 $(1-U_{ii})\psi_i$이므로 항상 0이라고 하면 틀린다. 간선이 없는 고립 노드도 그래프의 노드 수에 포함한다.

3. 성분과 비교 규칙을 함께 바꾸기

각 노드에서 $g_i\in U(1)$을 독립적으로 고르고 다음과 같이 바꾼다.

$$\psi'_i=g_i\psi_i,\qquad U'_{ij}=g_iU_{ij}g_j^*.$$

이를 차분에 대입하면

$$D'_{ij}=g_i\psi_i-g_iU_{ij}g_j^*g_j\psi_j =g_iD_{ij}$$

를 얻는다. 차분은 정해진 법칙에 따라 바뀌므로 **공변(covariant)**이다. 반면 $|g_i|=1$이므로 $|D'_{ij}|^2=|D_{ij}|^2$이다. 이 값은 **불변(invariant)**이다. 공변이라는 말은 화면에 나타난 복소수 성분이 모두 그대로라는 뜻이 아니다.

$U$를 고정한 채 $\psi$만 회전시키는 것은 다른 조작이다. 이때 에너지가 변할 수 있다. 우연히 에너지가 같게 나온 경우에도 그것만으로 게이지 변환임을 증명한 것은 아니다.

4. 전역·국소라는 말만으로 물리적 의미가 정해지지는 않는다

모든 노드에서 같은 $g$를 쓰면 전역 변환, 노드별로 독립적인 $g_i$를 쓰면 국소 변환이라고 부른다. 여기서는 이 모든 내부 기준 변경을 좌표 표현의 중복으로 선언한다. 따라서 전역 부분군도 이 모형에서는 중복이다.

다른 모형에서는 전역 변환이 물리적 대칭일 수 있고, 경계에서 허용되는 변환이 제한될 수도 있다. 외부 위상 기준을 두면 그 기준과의 상대 위상이 관측 가능해질 수 있다. “전역은 물리적이고 국소는 게이지”라는 문구만으로 판정하지 말고, 관측량·외부 기준·허용 변환을 함께 확인해야 한다. 경계 기준과 게이지 고정은 후속 장에서 별도로 다룬다.

5. 에너지의 정의를 먼저 읽자

양의 간선 가중치 $w_e$, 실수 $a$, 음이 아닌 $b,\kappa$에 대해

$$E=\sum_{e=(i,j)}w_e|\psi_i-U_e\psi_j|^2 +a\sum_i|\psi_i|^2+\frac b2\sum_i|\psi_i|^4 +\kappa\sum_{C\in\mathcal W}(1-\operatorname{Re}W_C)$$

를 사용한다. $\mathcal W$는 사용자가 선택한 닫힌 경로 목록이다. 같은 경로를 두 번 넣으면 그 항도 두 번 더한다. 경로 목록을 바꾸면 에너지 함수 자체를 바꾸는 것이다. 성분과 링크를 함께 변환하면 각 항은 불변이다.

$a$는 음수일 수 있다. $b=0$이고 이차형식에 음의 방향이 있으면 진폭을 키울수록 에너지가 끝없이 작아질 수 있다. 게이지 불변성이 안정성을 보장하는 것은 아니다. 현재 값은 모두 무차원이며 물리적 격자 간격이나 에너지 단위는 주어지지 않았다.

6. 삼각형 예제를 손으로 계산하자

간선은 $0\to1$, $1\to2$, $2\to0$이고, 링크와 가중치는 모두 1이라고 하자. $\psi=(1,1,1)$, $a=b=0$, $\kappa=1$로 두고 삼각형을 한 바퀴 도는 경로를 선택한다. 모든 차분이 0이고 루프 곱은 1이므로 $E=0$이다.

$g=(1,i,-1)$을 선택하면

$$\psi'=(1,i,-1),\qquad (U'_{01},U'_{12},U'_{20})=(-i,-i,-1)$$

이다. 첫 간선의 차분은 $1-(-i)i=0$이고 나머지도 0이다. 바뀐 루프 곱은 $(-i)(-i)(-1)=1$이므로 에너지는 여전히 0이다.

반면 물질 성분만 바꾸고 링크를 원래 값 1로 유지하면 제곱 차분은 $|1-i|^2=2$, $|i+1|^2=2$, $|-1-1|^2=4$이다. 합은 8이다. 동일한 변환에서 불변성이 깨진 것이 아니라, 서로 다른 두 조작을 비교한 결과다.

7. 닫힌 경로에서는 중간 기준이 사라진다

경로 $i_0\to i_1\to\cdots\to i_m$에 대해 정방향 링크 또는 역방향 링크를 순서대로 곱하자. 이 장의 약속에서는 마지막 기준의 성분을 시작 기준과 비교하는 곱이다. 변환하면 중간 노드의 $g_j^*g_j$가 차례로 소거되어

$$P'=g_{i_0}P g_{i_m}^*$$

가 된다. 닫힌 경로라면 $i_m=i_0$이고 U(1)의 곱셈은 교환 가능하므로 $W'_C=W_C$이다. 전체 경로를 거꾸로 돌면 곱은 켤레복소수가 된다. 한 간선을 갔다가 즉시 돌아오는 곱은 항상 $UU^*=1$이다. 이것이 다른 순환의 홀로노미까지 1이라는 뜻은 아니다.

열린 경로 곱은 그 자체로 불변이 아니다. 하지만 양끝 물질 성분으로 감싼 $\psi_{i_0}^*P\psi_{i_m}$에서는 끝점 위상까지 소거된다. 한 간선에 대해서는 $\psi_i^*U_{ij}\psi_j$가 그 예다.

8. 실수부만 보면 무엇을 잃는가

삼각형의 첫 링크를 $i$로 바꾸고 나머지 링크와 물질은 모두 1로 유지하자. 간선 차분 항의 합은 2이고, 루프 곱은 $i$이다. 루프 벌점은 1이므로 전체 에너지는 3이다.

첫 링크를 $-i$로 바꾸어도 간선 항은 2이고 벌점은 1이다. 그러나 복소 루프 곱은 다르다. 에너지나 $\operatorname{Re}W$만 저장하면 두 연결을 구별할 수 없다. 따라서 그림에서는 실수부와 허수부, 선택한 순회 방향을 함께 보여 주어야 한다.

물질을 모두 0으로 만들고 왕복 경로 하나만 선택하면, 어느 연결에서도 선택된 곱은 1이다. 이 관측은 삼각형의 플럭스를 완전히 놓친다. 계산이 정확하다는 것과 관측이 충분하다는 것은 별개다.

9. 순환 수와 관측의 완전성을 구분한다

노드 수가 $N$, 간선 수가 $E_g$, 연결 성분 수가 $C$이면 순환 계수는

$$\beta_1=E_g-N+C$$

이다. 자기 루프는 간선 하나로 세며 평행 간선도 순환을 만들 수 있다. 두 노드 사이의 평행 간선 두 개와 고립 노드 하나가 있으면 $E_g=2$, $N=3$, $C=2$이므로 순환 계수는 1이다.

선택한 닫힌 경로 개수가 순환 계수와 같다고 해서 독립적인 순환을 모두 관측했다고 할 수는 없다. 경로는 중복되거나 왕복만 포함할 수 있다. 이 장은 선택한 루프 곱들이 완전한 불변량 집합이라고 주장하지 않는다. 연결만 분류하는 완전한 집합이 있더라도 물질과 연결을 함께 분류하려면 국소 크기와 적절한 상대 관측량도 필요하다.

10. 에너지에서 Hermitian 연산자를 유도한다

$(i,j)$ 간선에 대한 $B_U$의 행이 $(B_U\psi)_e=\psi_i-U_e\psi_j$로 작용하도록 하자. 양의 가중치를 대각행렬 $W$에 모으면

$$H_U=B_U^\dagger W B_U+aI,\qquad E_{\mathrm{quadratic}}=\psi^\dagger H_U\psi$$

이다. 자기 루프는 같은 열에 두 계수가 겹치므로 $w|1-U|^2$를 해당 대각 원소에 더한다. 서로 다른 두 노드인 것처럼 대각 항을 두 번 더하면 잘못된 연산자가 된다.

$G=\operatorname{diag}(g_i)$로 두면

$$H_{U'}=G H_U G^\dagger$$

이다. 행렬 성분은 바뀌지만 unitary similarity이므로 고유값은 유지된다. trace와 Frobenius 노름 제곱도 좋은 검사량이다. 다만 이 두 숫자가 같다는 사실만으로 similarity를 증명할 수는 없다. 계산기는 요약 숫자로 추정하는 대신 전체 행렬의 공변 잔차를 검사한다.

11. 복소 기울기의 계수를 명확히 한다

$\psi_i=x_i+iy_i$일 때 화면에서 사용할 기울기는 Wirtinger 미분

$$\frac{\partial E}{\partial\psi_i^*} =\frac12\left(\frac{\partial E}{\partial x_i} +i\frac{\partial E}{\partial y_i}\right) =(H_U\psi)_i+b|\psi_i|^2\psi_i$$

이다. 루프 항은 물질 변수에 의존하지 않는다. 실수 기울기 두 성분을 복소수로 모은 값과는 $1/2$ 계수 차이가 있다. 이 계수를 생략하면 최적화 갱신 크기나 운동 방정식의 해석이 달라진다.

성분과 링크를 함께 바꾸면 이 기울기도 $g_i$배로 변한다. 공변적인 갱신 규칙을 설계할 때 유용한 성질이지만, 이 장에서 최적화 알고리즘이나 시간 적분법을 구현한 것은 아니다.

12. 정확한 분수 위상이 표현하는 범위

계산기는 유리수 $t$에 대해

$$z(t)=\frac{1-t^2+2it}{1+t^2}$$

를 사용하고, 빠지는 점 $-1$은 별도로 표시한다. 분자의 크기 제곱을 전개하면 $|z(t)|^2=1$을 정확히 확인할 수 있다. 예를 들어 $t=1/2$이면 $z=3/5+4i/5$이다.

길이가 제한된 유리수 입력으로 원 위의 모든 실수 위상을 열거할 수는 없다. 곱셈 결과의 분수는 입력보다 훨씬 길어질 수도 있다. 정확한 분수는 이 유한 실험에서 부동소수점 위상 감기나 크기 오차를 피하는 도구다. 측정 불확실성이나 연속체 극한을 해결하는 도구는 아니다.

13. 준비된 예제를 먼저 예측한다

1. 평탄한 삼각형: 함께 변환한 에너지는 0, 물질만 바꾼 에너지는 8이라고 예측한 뒤 간선별 결과를 비교한다.
2. 양·음의 플럭스: 같은 에너지 3을 보기 전에 복소 루프 곱의 차이를 확인한다.
3. 역방향 경로: 각 간선의 방향과 전체 순서를 모두 뒤집고, 일반적으로 같은 값이 아닌 켤레 값인지 확인한다.
4. 열린 사슬: 순환 계수는 0이어도 물질 비교 에너지는 0이 아닐 수 있음을 확인한다.
5. 분리된 삼각형: 연결 성분마다 다른 공통 위상을 사용해도 링크가 유지되는 이유를 설명한다.
6. 자기 루프·평행 간선: 행렬 대각 성분과 연결 성분 수를 정의에서 다시 계산한다.
7. 분수 위상: 복소 물질과 서로 다른 가중치를 사용해 정확한 공변 잔차를 살핀다.

입력 예제와 수치 기반은 작성되어 있다. 독립 검증과 학습 화면 검사를 거쳐 실제 교재에 연결할 예정이며, 이 초안만으로 조작 화면이 이미 공개되었다고 해석해서는 안 된다.

14. AI와 연결할 때 무엇을 검증해야 하는가

그래프 모델의 특징을 국소 기준으로 저장하고, 이웃 특징을 전달하기 전에 링크로 옮기는 구조를 생각할 수 있다. $D'_{ij}=g_iD_{ij}$는 공변 계층이 만족해야 할 변환 법칙의 간단한 예다. $|D|^2$로 만든 손실은 임의의 기준 선택을 무시할 수 있다.

연구에서는 특징과 전달 데이터를 함께 바꾸어 출력의 예상 변환을 확인하고, 일부러 물질만 바꾸는 대조 실험도 해야 한다. 분리 그래프, 자기 루프, 역방향 경로, 불완전한 관측도 시험해야 한다. 이 U(1) 실험을 통과했다고 해서 3차원 회전이나 비가환 군, 임의의 신경망 구조에 대한 공변성이 증명되는 것은 아니다.

15. 해설을 포함한 확인 문제

왜 $\psi_i-\psi_j$를 그대로 쓰면 안 되는가? 두 성분에 서로 다른 위상이 곱해지기 때문이다. 연결 없이 독립적인 기준 변경 아래에서 하나의 공변 차분으로 묶을 수 없다.

루프 곱이 $i$인 삼각형의 모든 링크를 1로 만들 수 있는가? 불가능하다. 함께 변환하면 루프 곱이 유지되지만 링크가 모두 1이면 곱도 1이어야 하므로 모순이다. 후속 장에서 트리 게이지 고정과 잔여 자유도를 구성한다.

전체 에너지가 같으면 게이지 동치인가? 아니다. $+i$와 $-i$ 예제는 에너지가 같지만 불변인 복소 루프 곱이 다르다.

물질이 0이면 관측량이 모두 사라지는가? 아니다. 물질로 감싼 양은 사라져도 닫힌 연결 곱은 다를 수 있다.

루프가 없는 사슬에서 왜 에너지가 생기는가? 링크로 옮긴 물질 성분이 서로 다를 수 있기 때문이다. 연결의 순환 자유도가 없다는 사실은 물질 비교 항이 모두 0임을 뜻하지 않는다.

Gauss 법칙은 어디에 있는가? 현재 정적 에너지 실험에는 없다. 정준 전기 변수, 전하, 제약과 경계에서 허용할 게이지 군을 먼저 도입해야 한다.

16. 근거와 다음 범위

링크 변환, Wilson 곱, 물질로 감싼 관측량의 틀은 David Tong의 Gauge Theory, 4장 §4.2.1에서 확인할 수 있다. 해당 자료는 격자 SU(N) 이론을 다룬다. 여기의 임의 유한 U(1) 그래프, 유리수 좌표, 손계산 예제와 수치 검사는 별도로 유도한 교육 모형이다.

그래프의 공간 배치, 셀 면적, 물리적 장세기, Haar 적분, 양자 상태, 정준 제약, 시간 발전과 연속체 수렴은 주어지지 않았다. 다음에는 게이지 궤도·트리 고정·경계 기준을, 이후에는 정준 제약을 다룬다. 이 장 하나의 준비를 대칭·게이지 원주제 전체의 완료로 세지 않는다.