유한 장의 측도와 열 자유에너지

1. 에너지 지형에는 부피를 세는 규칙도 필요하다

에너지를 높이로 나타낸 지형을 생각하자. 낮은 골짜기는 유리하지만, 깊이가 같은 두 골짜리 중 넓은 쪽이 더 많은 확률을 담을 수 있다. 지형을 통계 모형으로 만들려면 에너지뿐 아니라 부피를 어떻게 셀지도 정해야 한다. 분배함수는 최솟값 하나가 아니라 가중된 부피 전체를 더한다.

앞 단원에서는 Gaussian 장의 평균과 상관함수를 계산했다. 여기서는 절대 자유에너지를 계산하려면 무엇이 더 필요한지, 모형의 계수가 온도에 따라 바뀌면 어떤 식을 써야 하는지 배운다. 다변수 Gaussian 적분, 행렬, 미분을 선수 지식으로 가정한다. Boltzmann 상수는 1로 두어 온도와 에너지의 단위를 맞춘다.

실험은 독립 검산한 유한 계산과 조작 화면, 예측·비교·해설을 연결한다. 일반적인 상호작용 연속체 장론은 추가 내용이 필요하다.

2. 공간의 장은 위치를 가진 여러 좌표다

유한 격자의 실수 장은 벡터 φ=(φ1,…,φN)다. 임의의 특징 벡터와 달리 각 좌표에는 위치와 이웃 관계가 있다. 1차원 사슬이나 2차원 직사각형 격자를 사용하자. 간격이 a, 공간 차원이 d이면 한 cell의 부피는 v=a^d이고 전체 부피는 V=Nv다.

장 값은 국소 자화, 변위, 근사 오차 등을 나타낼 수 있다. 위치별 외부 원천 j는 장 값에 선형으로 결합한다. N을 고정하고 a를 바꾸면 물리적 크기가 바뀐다. a를 고정하고 N을 늘리면 부피가 커진다. 물리적 크기를 고정하면서 a를 줄이는 일은 정련이다. 세 실험을 구별해야 한다.

유한 구현은 각 축에 2점 이상, 전체 32점 이하를 지원한다. 아래 이론은 일반적인 유한 구성을 설명하며, 이 구현 제한이 물리 법칙을 뜻하지는 않는다.

3. 기울기 비용에서 격자 행렬을 만든다

에너지 밀도의 rφ²/2는 장의 진폭에 비용을 주고, κ|∇φ|²/2는 이웃 사이 차이에 비용을 준다. 각 방향 미분을 이웃 차이/a로 근사하고 cell 부피 v를 곱해 합하면, 경계 규칙을 명시한 다음 식을 얻는다.

$$E(\varphi,T)=E_0(T)+\frac12\varphi^\mathsf{T}K(T)\varphi-J(T)^\mathsf{T}\varphi, \quad K=v\left[rI+\frac{\kappa}{a^2}L\right],\quad J=vj,\quad E_0=Vf_0.$$

L은 경계 기여를 포함한 graph Laplacian이다. 원천 밀도 j와 벡터 J에는 cell 부피의 차이가 있다. 이 인자를 빼면 격자를 바꿀 때 같은 원천을 유지한다고 생각하면서 실제로 다른 모형을 계산하게 된다. 배경 밀도 f0는 선호하는 장 배치를 움직이지 않지만 절대 자유에너지와 열 미분에는 기여한다.

4. 경계는 어떤 차이를 더할지 결정한다

열린 사슬은 내부 이웃 차이만 더한다. 주기 경계는 각 점에서 각 양의 축 방향으로 가는 차이를 더하며, 마지막에서 처음으로 돌아오는 차이도 포함한다. 외부 영점 고정 경계는 각 경계면의 바깥 영점으로 가는 차이를 추가한다.

주기적인 두 점의 전진 차이는 φ2−φ1과 φ1−φ2다. 이 유한 차분 규칙에는 두 항이 있으므로 L=[[2,−2],[−2,2]]다. edge가 하나뿐인 단순 graph로 바꾸면 모형이 달라진다. 외부 영점으로 고정한 2×2 격자는 각 점에서 내부 두 방향과 외부 두 방향, 모두 네 방향이 대각 성분에 기여한다.

이는 유한 모형의 정의다. 경계값을 고정하는 일과 평균 모드를 제거하는 일도 서로 다르다.

5. 정규화하기 전에 기준 측도를 정한다

독립적인 실수 좌표가 q개라면 양수인 기준 장 척도 φ를 정하고 온도에 따라 바꾸지 않는다. 전체 공간에서는 보통의 부피를 φ^q로 나눈다. 선형 제약 공간에서는 그 공간에 유도된 Euclidean 부피를 같은 거듭제곱으로 나눈다.

$$Z(T)=\int_{\mathcal H}\frac{d\mathrm{vol}_{\mathcal H}(\varphi)}{\varphi_*^q} \exp[-E(\varphi,T)/T].$$

이렇게 정의한 Z는 무차원이다. 절댓값은 선언한 기준 측도에 의존한다. 모든 부피 가중치에 같은 상수를 곱하면 정규화 확률은 그대로지만 Z는 달라진다. 따라서 정규화된 요동 그림만으로 절대 자유에너지를 결정할 수 없다.

이후 온도 미분에서는 격자 간격·경계·제약·기준 척도를 고정한다. 측도 자체가 온도에 의존하면 추가 미분항이 필요하다.

6. 적분하는 공간에서 양의 정부호여야 한다

이차 정밀도는 적분 공간에 제한했을 때 양의 정부호여야 한다. κ≥0에서 양의 r은 충분조건이지만, 경계를 고정하거나 평균을 영으로 제한하면 필수조건은 아니다. 공간 고유값이 양수이면 어느 정도 음수인 r도 안정화될 수 있다.

주기적 무질량 장에는 균일하게 움직이는 평평한 방향이 있어 전체 Gaussian 적분이 발산한다. 평균 영 제약은 그 방향을 제거하고 다른 앙상블을 만든다. 원래 발산하는 적분에 유한한 값을 부여하는 것은 아니다. 음의 방향도 전체 Gaussian 적분을 발산시키며, 유한한 선형 원천으로 해결할 수 없다.

계산 기반은 정확한 LDL pivot이 모두 양수인지 검사한다. 실패하면 선언한 Gaussian은 정규화 불가능하다. 첫 pivot이 영이라는 사실만으로 전체 행렬이 특이하다고 단정하면 안 된다. [[0,−1],[−1,0]]은 가역이지만 부정부호다.

7. 평균 영 평면에는 별도의 부피 요소가 있다

평균 영 장을 φ=Bz로 쓰고 B의 열을 ei−eN으로 잡자. 이 기저는 편리하지만 정규직교하지 않다. Gram determinant는 N이다. A=BᵀKB라면 정규직교 부피를 기준으로 한 제한 정밀도의 determinant는 det(A)/N이다.

$$d\mathrm{vol}_{\mathcal H}=\sqrt{\det(B^\mathsf{T}B)}\,dz=\sqrt N\,dz, \qquad \det K_{\mathcal H}=\frac{\det(B^\mathsf{T}KB)}{N}.$$

두 점에서 φ=(z,−z)이면 z가 dz만큼 움직일 때 평면 위 거리는 √2 dz다. 이 인자를 놓쳐도 정규화 모멘트는 같지만 절대 분배함수는 틀린다. 공분산만 검사하면 발견할 수 없는 오류다.

8. 완전제곱을 만들고 정규화 인자를 유지한다

G=B(BᵀKB)^−1Bᵀ로 두고, 전체 공간에서는 B=I로 둔다. 평균은 μ=GJ, 공분산은 Cφ=TG다. 선언한 공간에서 최소 에너지는 m=E0−JᵀGJ/2다.

$$\log Z=\frac q2\log(2\pi T)-\frac12\log\det K_{\mathcal H} -q\log\varphi_*-\frac{m}{T},\qquad F=-T\log Z.$$

log determinant는 요동의 부피를 기록한다. 곡률이 큰 방향은 폭이 좁아 적은 부피를 제공한다. 원천은 중심과 m을 바꾸고, 측도 척도는 부피의 기준을 정한다. exp(−m/T)만 남기면 Gaussian 부피 기여를 전부 버리는 셈이다.

계산 기반은 이 식의 유리수 피연산자를 반환한다. π나 로그 전체가 유리수인 것처럼 저장하거나 인증하지 않는다.

9. 손계산: 결합한 두 점

a=1, T=2, r=κ=1, 열린 경계, J=(1,0), E0=0, φ*=1로 두자. K=[[2,−1],[−1,2]], det K=3이고 G=[[2,1],[1,2]]/3이다. 평균은 (2/3,1/3), 공분산은 G의 두 배다.

$$m=-\frac13,\qquad \log Z=\log(4\pi)-\frac12\log3+\frac16.$$

이 고정 Hamiltonian에서는 U=m+qT/2=5/3이고 고정부피의 전체 열용량은 q/2=1이다. 원천이 에너지 기준을 이동시키므로 최소 에너지가 음수여도 괜찮다. 기대 에너지는 최소 에너지보다 독립적인 실수 이차 자유도당 T/2만큼 높다.

10. 온도 의존 유효 에너지는 다른 관측량을 요구한다

유효 모형에는 이미 숨겨진 미시 변수의 엔트로피가 들어 있을 수 있다. 미시 Hamiltonian은 온도와 무관해도 유효 계수는 온도에 의존할 수 있다. exp[−E(φ,T)/T]를 미분하면 명시적인 역온도와 에너지 계수 모두를 미분해야 한다.

$$\mathcal A=E-T\partial_T E,\qquad U=T^2\partial_T\log Z=\langle\mathcal A\rangle.$$

열역학 내부 에너지 U는 일반적으로 유효 에너지 평균 〈E〉와 다르다. 미분을 정의하려면 T를 바꿀 때 계수가 어떤 경로로 변하는지 정해야 한다. 한 온도에서 계수 값만 주어서는 부족하다. 준비 입력은 그 온도에서 값·1차·2차 미분을 받아 국소 이차 Taylor 경로를 지정한다.

AI에서도 같은 구별이 필요하다. 온도별로 다시 학습한 에너지 모형의 모음이 자동으로 하나의 고정 Hamiltonian이 되지는 않는다. 그 모형족을 따라 미분하면 매개변수의 변화도 포함된다.

11. 보정된 열용량 식을 유도한다

고정 측도에서 관측량 O의 평균을 미분하자. 정규화 밀도의 log 미분은 (A−〈A〉)/T²다. 따라서 〈O〉의 미분은 〈O_T〉+Cov(O,A)/T²다. O=A를 대입하고 A_T=−T E_TT를 사용하면 다음 식이 나온다.

$$C_V=\frac{dU}{dT}=\frac{\operatorname{Var}(\mathcal A)}{T^2} -T\langle\partial_T^2 E\rangle.$$

고정 Hamiltonian에서는 두 번째 항이 사라지고 A=E가 되어 비음수 분산 공식을 회복한다. 임의의 유효 모형족에서는 두 번째 항 때문에 미분값이 음수가 될 수도 있다. 이것을 고정 미시 Hamiltonian의 음의 정준 열용량을 증명한 결과로 해석하면 안 된다.

12. Gaussian 모멘트로 두 항을 정확히 계산한다

Q=K−TK_T, b=J−TJ_T, c=E0−TE0_T로 정의하면 A=c+φᵀQφ/2−bᵀφ다. Gaussian 모멘트 항등식은 다음 결과를 준다.

$$U=c+\frac12\operatorname{tr}(QC_\varphi)+\frac12\mu^\mathsf{T}Q\mu-b^\mathsf{T}\mu, \quad \operatorname{Var}(\mathcal A)=\frac12\operatorname{tr}[(QC_\varphi)^2] +(Q\mu-b)^\mathsf{T}C_\varphi(Q\mu-b).$$

남은 기대값은 E0_TT+tr(K_TT Cφ)/2+μᵀK_TTμ/2−J_TTᵀμ다. 선형 제약이 있어도 해당 제약 Gaussian의 평균과 공분산을 사용하면 같은 식이 성립한다.

독립 검산은 위 모멘트 식을 재사용하지 않는다. 유리수의 2차 Taylor 대수에서 determinant와 완전제곱 최소 에너지를 계산하고, log Z 자체를 미분한다. 서로 다른 유도 경로를 비교한다.

13. 잘못된 공식을 드러내는 두 반례

독립 실수 좌표가 q개이고 원천·배경이 영, φ*=1인 경우를 보자.

계수의 온도 경로	정규화 공분산	유효 에너지 평균	열역학 U	전체 Cv
K=I	T I	qT/2	qT/2	q/2
K=T I	I	qT/2	0	0
K=T² I	I/T	qT/2	−qT/2	−q/2

K=T I에서는 지수가 −φᵀφ/2이므로 온도를 바꿔도 분포가 같다. log Z가 상수여서 U=0이다. 그런데 Var(E)/T²를 대입하면 열용량을 q/2로 잘못 계산한다. 빠진 계수 미분이 오류의 원인이다.

K=T² I에서는 log Z=(q/2)log(2π)−(q/2)log T다. 이를 온도로 미분하면 표의 음수 값이 나온다. 양의 Gaussian 모형족이라는 사실과 고정 미시 Hamiltonian을 나타낸다는 주장은 별개다.

14. 열역학 엔트로피와 장 분포의 엔트로피를 구별한다

열역학 엔트로피는 S=−∂T F=log Z+U/T다. 선언한 기준 측도에 대한 장 밀도의 Gibbs 엔트로피는 SG=log Z+〈E〉/T다. 따라서 다음 관계를 얻는다.

$$S=S_G-\langle E_T\rangle.$$

고정 Hamiltonian에서는 같지만 유효 모형족에서는 다를 수 있다. 숨겨진 미시 엔트로피가 E(φ,T) 안에 들어 있다면 보이는 장 분포의 엔트로피만으로 열역학의 모든 기여를 설명할 수 없다.

연속 엔트로피는 선언한 기준 척도에도 의존한다. 부피 측도를 함께 변환하지 않고 장의 단위만 바꾸는 일은 절대 엔트로피에서 단순한 이름 변경이 아니다.

15. 확률이 같아도 상수는 중요할 수 있다

좌표와 에너지를 고정한 채 φ*를 c>0배 하면 log Z는 q log c만큼 감소한다. F는 Tq log c만큼 증가하고 S는 q log c만큼 감소한다. 측도 인자가 온도와 무관하므로 U와 Cv는 그대로다.

반면 좌표를 φ=c z로 바꾸면 같은 모형의 계수는 Kz=c²K, Jz=cJ, φz=φ/c가 된다. determinant의 c^(2q) 인자가 기준 척도의 변화를 정확히 상쇄한다. 절대 Z는 그대로이고 평균·공분산은 좌표 단위에 맞게 변환된다.

장에 무관한 전체 배경 a+bT+cT²를 추가해도 정규화 확률은 모두 같다. 하지만 F에는 그 배경이 더해지고, U에는 a−cT², S에는 −b−2cT, Cv에는 −2cT가 더해진다. 확률에서 공통 에너지 상수가 소거된다고 해서 절대 열역학 미분에서도 마음대로 버릴 수는 없다.

16. 실수 Fourier 모드는 적분 차원을 두 배로 만들지 않는다

주기 사슬의 정밀도는 unitary Fourier 변환으로 대각화된다. 실수 장은 φ̃(N−k)=φ̃(k)*를 만족한다. 영모드는 실수이고, N이 짝수이면 Nyquist 모드도 실수다. 나머지 공액 쌍은 쌍당 실수 좌표 두 개를 가진다.

한 쌍에 qc=√2 Re φ̃(k), qs=−√2 Im φ̃(k)를 쓰면 |φ̃(k)|²+|φ̃(N−k)|²=qc²+qs²이고 dqc dqs=2 dRe dIm이다. 정규직교 실수 Fourier 기저는 보통의 부피를 보존한다. Gaussian determinant에는 독립 실수 좌표당 하나의 제곱근 인자가 들어간다.

1차원 주기 격자의 λk=v[r+4κ sin²(πk/N)/a²]다. 전체 determinant는 N개 고유값의 곱이다. 쌍의 고유값이 두 번 나오는 이유는 실수 자유도가 두 개이기 때문이다. 모든 k에 독립 complex 변수 하나씩을 적분하면 실수 좌표가 2N개가 되어 잘못된 결과를 얻는다.

17. 손계산: 평균을 고정한 무질량 두 점

두 주기 점, a=κ=1, r=0, T=2, 영 원천을 택하자. 균일 방향의 고유값이 영이므로 전체 적분은 발산한다. φ1+φ2=0으로 제한하면 고유값 4인 모드 하나만 남는다.

B=(1,−1)ᵀ에서 det(BᵀKB)=8, Gram determinant=2이므로 제한 determinant는 4다. Z=√(4π)/2=√π이고 공분산은 [[1,−1],[−1,1]]/4다. det A=8을 그대로 사용하면 Z를 √2만큼 더 작게 계산한다.

여기에는 세 검사가 따로 있다. 선언한 공간에서의 정규화 가능성, 유도 부피의 정확성, 정규화된 제약 법칙의 모멘트다. 하나가 맞는다고 다른 검사를 생략할 수 없다.

18. 실행 가능한 온도 경로 실험

다음 NumPy 예제는 대각 정밀도를 사용해 계산 전체를 짧게 보여준다. 고정 모형, K=T I, K=T² I를 보정된 식으로 비교한다. NumPy는 부동소수점 연산이며 저장소의 독립 기반 검사는 정확한 유리수 연산이다.

import numpy as np

def thermal(q, T, r, r1, r2):
    C = (T / r) * np.eye(q)
    Q = (r - T * r1) * np.eye(q)
    mean_E = 0.5 * r * np.trace(C)
    U = 0.5 * np.trace(Q @ C)
    var_A = 0.5 * np.trace((Q @ C) @ (Q @ C))
    mean_E2 = 0.5 * r2 * np.trace(C)
    Cv = var_A / T**2 - T * mean_E2
    return mean_E, U, Cv

q, T = 2, 2.0
print(thermal(q, T, 1.0, 0.0, 0.0))       # (2, 2, 1)
print(thermal(q, T, T, 1.0, 0.0))         # (2, 0, 0)
print(thermal(q, T, T*T, 2*T, 2.0))       # (2, -2, -1)

실행 전에 온도를 바꿔도 분포가 같은 경우를 예측하자. 출력한 유효 에너지 평균과 U를 비교하고, q를 바꿔 자유도에 따른 배율도 확인하자. 이 코드는 동역학 시뮬레이션이나 상호작용 분배함수의 추정은 아니다.

19. 이해 확인과 해설

1. 모든 적분 가중치에 같은 상수를 곱하면 평균이 달라질까? 아니다. 분자와 Z에서 소거된다. 하지만 log Z로 정의한 절대 F는 달라질 수 있다.

2. 대각 성분이 양수이면 정규화 가능할까? 아니다. [[1,2],[2,1]]은 대각 성분이 양수지만 음의 고유값이 있다. 선언한 적분 공간 전체에서 양의 정부호인지 검사해야 한다.

3. 평균을 영으로 고정하는 것은 원천을 줄이는 것과 같을까? 아니다. 분포의 지지 공간과 적분 자유도 수가 바뀐다. 균일한 원천으로 무질량 Gaussian의 발산을 없앨 수도 없다.

4. 왜 계수의 1차·2차 미분을 입력해야 할까? U와 Cv는 한 확률분포가 아니라 온도 경로에 대한 양이다. 같은 K(T0)를 지나더라도 미분이 다른 두 모형족의 열역학 관측량은 다를 수 있다.

5. K=T² 모형족의 음의 Cv는 고정 Hamiltonian 분산 식과 모순일까? 아니다. 유효 에너지가 명시적으로 온도에 의존하므로 그 식의 가정이 충족되지 않는다.

6. 정규화 공분산이 같으면 엔트로피를 결정할 수 있을까? 절대 열역학 엔트로피는 그렇지 않다. 기준 측도와 온도 의존 배경이 중요하며, 보이는 분포의 Gibbs 엔트로피와 열역학 엔트로피도 다를 수 있다.

7. 공액 Fourier 쌍은 왜 determinant에 두 번 나오면서 독립 complex 두 개는 아닐까? 실수 좌표가 두 개이기 때문이다. 독립 complex 두 개라면 실수 좌표는 네 개다.

8. 유한 Gaussian 계산으로 임계 지수를 확정할 수 있을까? 아니다. 상호작용·극한·버린 항의 통제가 추가로 필요하다. 유한 determinant는 유용한 진단이지 일반 임계이론 전체는 아니다.

20. 연구 연결과 다음 단계

AI의 에너지 기반 모형은 점수 지형을 정의한다. 절대 likelihood에는 기준 측도에 대한 정규화 상수도 필요하다. 좌표·이산화·숨은 변수를 바꾸면 부피를 세는 규칙도 점검해야 한다. 정규화된 예측이 같아도 절대 evidence나 엔트로피 주장은 달라질 수 있다.

온도 미분에는 매개변수 경로도 필요하다. 온도마다 조정한 모형족을 고정 Hamiltonian처럼 다루면 분산의 대수 계산은 맞아도 과학적 결론은 틀릴 수 있다. 에너지 규약·측도·공간 척도·제약·고정한 조건을 함께 보고하자.

다음에는 미시상태에서 국소 질서변수를 구성하고 퇴화도와 숨은 상태의 엔트로피를 포함한다. 이어서 상호작용 scalar 장, 제한 확률 자유에너지와 Legendre 유효 작용을 구별한다. 임계성·재규격화·척도 분리는 별도 주제로 이어진다.

21. 자료와 범위

Tong §1.1.1·§1.3은 미시상태에서 장으로 가는 맥락과 온도 의존 유효 자유에너지의 주의를 제공한다. Tong §2·§2.1은 이차 요동과 determinant의 맥락을 제공한다. 위 유한 기준 측도 규약·열 항등식·반례는 이 단원에서 직접 유도했다.

모형 계약과 독립 Fraction/Taylor 검사는 유한 Gaussian 장을 다룬다. 별도의 방향 구간 검산기는 로그·자유에너지·두 엔트로피의 경계를 확인한다. 이 유한 결과가 연속체 측도·상호작용 적분의 오차·상전이를 증명하는 것은 아니다.