유한 위상·연속성과 연결성

위상은 어떤 구별을 열린집합으로 볼지 정합니다

Euclidean 공간에서는 거리로 연속성을 정의하는 데 익숙합니다. 위상은 거리 없이도 이웃의 개념을 유지합니다. X의 위상은 열린집합이라 부르는 부분집합들의 모음이며 공집합과 X를 포함하고, 임의 합집합과 유한 교집합에 닫혀 있어야 합니다. 유한 공간에서는 이 정의 전체를 직접 열거할 수 있습니다.

여기서는 X={0,1,2}, Y={0,1}입니다. bit mask로 부분집합을 표시합니다. 원공간 mask 5는 {0,2}, 목표공간 mask 1은 {0}입니다. 그림의 점 위치는 원소 이름을 배치한 것일 뿐 거리나 이웃 관계가 아닙니다.

모든 열린 역상을 확인하기

연속 함수의 정의는 다음과 같습니다.

indiscrete 원공간의 열린 mask는 0과 7뿐입니다. 함수 mask 1은 f(0)=1, f(1)=f(2)=0을 뜻합니다. 목표가 discrete이면 두 singleton이 모두 열려 있고 역상은 mask 1과 6입니다. 둘 다 원공간에서 열리지 않으므로 연속이 아닙니다. stem 그림이 매끄러워 보이는지와 무관한 정확한 판정입니다.

상수 함수의 역상은 공집합 또는 전체이므로 어떤 원공간에서도 연속입니다. 반대로 discrete 원공간은 모든 부분집합이 열려 있어 모든 함수가 연속입니다. indiscrete 목표공간으로 가는 함수도 모두 연속입니다. 양쪽 위상을 먼저 정해야 하는 이유입니다.

연결성은 분리가 가능한지 묻습니다

연결 공간은 두 개의 서로소인 비어 있지 않은 열린 부분으로 나눌 수 없습니다. 동등하게 열린 동시에 닫힌 clopen 집합은 공집합과 전체뿐입니다. 이 유한 예제에서는 clopen 집합을 모두 열거하고 어떤 clopen 집합으로도 분리되지 않는 원소들을 같은 성분으로 묶습니다.

indiscrete 원공간의 연결 성분은 1개, 세 점 discrete 공간은 3개입니다. 열린 mask가 {0,4,6,7}인 chain 위상은 indiscrete보다 열린집합이 많아도 연결입니다. 열린집합 개수만으로 연결 성분 수를 정할 수 없습니다.

직접 풀기와 풀이

indiscrete 원공간에서 discrete 목표의 두 값을 모두 찍는 연속 함수가 있을까요? 없습니다. 연결 공간의 연속상은 연결이어야 합니다. 상이 두 열린 부분으로 분리된다면 그 역상들이 X도 분리하기 때문입니다. 따라서 이 경우 연속 함수는 상수입니다. 함수 mask 8개로 유한 예제를 확인한 뒤 일반적인 역상 논증도 설명하세요.

데이터 분석과의 연결

연결 입력 공간을 discrete label로 분류하는 함수는 연속이 아닐 수 있습니다. 결정 경계의 불연속이 자동으로 코드 오류가 되는 것은 아닙니다. 반대로 표본 점의 이웃 graph가 연결이라고 미지의 모집단 공간까지 연결임을 증명한 것도 아닙니다. graph 이웃·거리 이웃·추상 위상을 어떤 규칙으로 구성했는지부터 명시하세요.

추가 읽기: Allen Hatcher, Notes on Introductory Point-Set Topology.