본문으로 건너뛰기
SuanLab

결합·주변·조건부 분포와 공분산

결합 표를 합하거나 정규화해 주변·조건부 분포를 얻고 의존성을 계산합니다.

88 / PROBABILITY LAB
먼저 알아두면 좋아요 · 연결된 선수 절의 사건·분포·기대값·선형대수·미분
조건부확률·독립성과 Bayes →기댓값·분산과 불확실성 →
단원 목록 (103) · 결합·주변·조건부 분포와 공분산
이해하는 속도로 읽으세요.개념도이론실험확인 문제
BUILD YOUR INTUITION

먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

결합 표를 합하거나 정규화해 주변·조건부 분포를 얻고 의존성을 계산합니다.

Counts (X,Y)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1): (3,1,1,3); N=8

0.3750.1250.1250.375X=0Y=0X=1Y=1칸 안 숫자는 결합확률입니다.
가로: X · 세로: Y · 칸 숫자: 결합확률 · 표: 주변확률
XYcountjoint massP(X)P(Y)
0030.3750.50.5
0110.1250.50.5
1010.1250.50.5
1130.3750.50.5

P(X=1) = 0.5

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
1 / 4

결합

동시에 일어나는 값을 셉니다.

p00=p11=3/8

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

결합 표에서 시작하기

두 이진 확률변수 X,Y의 결합분포는 네 경우의 확률을 지정합니다. 실습은 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)의 개수를 받아 전체 개수로 나눕니다. 기준 (3,1,1,3)은 결합질량 (3/8,1/8,1/8,3/8)을 만듭니다. 두 변수가 같은 값을 가질 때 질량이 더 큽니다. 칸의 숫자가 확률이며 색의 농도만으로 값을 추측하지 않아도 됩니다.

pij=P(X=i,Y=j),∑i,jpij=1.p_{ij}=P(X=i,Y=j),\qquad\sum_{i,j}p_{ij}=1.

합산과 정규화는 다른 연산

주변분포는 관심 없는 변수를 합산해 얻습니다. 조건부분포는 선택한 행을 그 행의 확률합으로 나눠 얻습니다. 기준에서는 P(X=1)=P(Y=1)=1/2이고 P(Y=1|X=1)=(3/8)/(4/8)=3/4입니다. 조건을 걸었다고 표에서 나머지를 지우기만 하면 합이 1이 되지 않으므로 정규화가 필요합니다.

P(X=i)=∑jpij,P(Y=j∣X=i)=pij∑kpik.P(X=i)=\sum_jp_{ij},\qquad P(Y=j\mid X=i)=\frac{p_{ij}}{\sum_kp_{ik}}.

공분산과 상관계수

공분산은 각 변수의 평균을 뺀 값들의 곱의 기대값입니다. 기준 E[XY]=P(X=1,Y=1)=3/8이므로 공분산은 3/8−1/4=1/8입니다. 두 분산이 모두 1/4라 상관계수는 1/2입니다. 분산이 0인 상수 변수에서는 상관계수의 분모가 0이므로 정의하지 않습니다.

Cov⁡(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y],Corr⁡(X,Y)=Cov⁡(X,Y)Var⁡XVar⁡Y.\operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y],\quad\operatorname{Corr}(X,Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}X\operatorname{Var}Y}}.

독립의 특수성과 일반적인 반례

독립이면 모든 칸이 주변확률의 곱으로 분해됩니다. 이진 두 변수에서는 공분산 0 조건이 나머지 칸까지 결정하므로 독립과 동치이지만 일반 확률변수에는 적용되지 않습니다. 예를 들어 대칭인 Uniform[−1,1]의 X와 Y=X²는 공분산 0이지만 Y가 X로 결정되어 독립이 아닙니다. 주변분포만으로는 결합분포를 복원할 수 없습니다. AI의 다변량 예측에서 변수별 정확도 외에 의존 구조를 검토해야 하는 이유입니다.

X⊥Y  ⟺  pij=P(X=i)P(Y=j)for every i,j.X\perp Y\iff p_{ij}=P(X=i)P(Y=j)\quad\text{for every }i,j.

확인 문제와 해설

  1. X=1 행의 질량이 0이면 조건부확률은? 초등 비율로 정의되지 않습니다.
  2. 전체 개수가 0이면? 정규화할 확률법칙이 없습니다.
  3. 기준 상관계수는? 0.5입니다.

추가 읽기: Pishro-Nik, Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes.

CHECK YOUR UNDERSTANDING

설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. 주변 분포는 어떻게 구하나요?
2. 일반적으로 공분산 0이면 독립인가요?

선택한 답과 학습 표시는 이 브라우저에 저장됩니다. 다시 풀거나 표시를 해제할 수 있습니다.