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SuanLab

관측 동등성·식별 집합·날카로운 경계

같은 관측표를 만드는 잠재 결과 완성과 가능한 효과 구간을 계산합니다.

322 / CAUSAL INFERENCE LAB
먼저 알아두면 좋아요 · 연결된 확률·조건부 기대·그래프 모델의 기초
반사실·추론·행동·예측 →교란·부호 역전·선택 편향 →
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먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

같은 관측표를 만드는 잠재 결과 완성과 가능한 효과 구간을 계산합니다.

Hidden U~Bern(0.5); natural X=U. Within U=0: E[Y0]=0, E[Y1]=lambda; within U=1: E[Y0]=1-lambda, E[Y1]=1; independent potential-outcome noises conditional on U. Observed P(X,Y) stays fixed as lambda changes. Bounds use consistency alone, without exchangeability or monotonicity. Mask chooses missing potential outcomes for cells 00,01,10,11.

UXY점선 U: 관측되지 않은 공통 원인
숨은 U가 처치 배정과 결과 기제를 함께 결정합니다. 관측표가 같아도 미관측 잠재 결과의 완성은 여러 가지입니다.
011.05-1.05
가로 미관측 완성 lambda · 파랑 완성 모형의 ATE · 주황 날카로운 아래·위 경계
U=XY0Y1observed Ycompletion mass
00000.25
00100.25
01010
01110
10000
10110.25
11000
11110.25

completion oracle ATE = 0.5

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
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관측 제약

Y=Y_X라는 일관성이 관측한 잠재 결과 하나를 고정합니다.

X=0 reveals Y0; X=1 reveals Y1

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

관측을 늘려도 보이지 않는 결과

이진 처치 X와 결과 Y에서 각 사례의 잠재 결과를 Y0,Y1이라 하자. 일관성은 받은 처치에 해당하는 결과가 관측된다는 뜻이다. 즉 Y=Y_X다. 같은 사례가 반대 처치를 받았을 때의 결과는 관측하지 못한다. 모집단의 정확한 P(X,Y)를 알아도 그 분포가 정해지지 않을 수 있다.

관측분포와 가정을 만족하는 모든 모형이 같은 효과를 줄 때 점 식별되었다고 한다. 여러 효과가 가능하면 부분 식별 집합을 생각한다. 이는 추정한 관측표의 표본 불확실성을 논하기 전, 정보 자체가 무엇을 결정할 수 있는지에 관한 질문이다.

관측 제약을 식으로 쓰기

pi=P(X=1), r0는 X=0 집단의 결과율, r1은 X=1 집단의 결과율이다. 처치 집단의 확률이 0이면 그 집단에 선언한 결과율은 관측표에 기여하지 않는다. index=2X+Y 순서의 네 관측 셀은

(p00,p01,p10,p11)=((1−π)(1−r0),(1−π)r0,π(1−r1),πr1).(p_{00},p_{01},p_{10},p_{11})= ((1-\pi)(1-r_0),(1-\pi)r_0,\pi(1-r_1),\pi r_1).

이 표는 양의 질량을 가진 집단에서 E[Y0|X=0]과 E[Y1|X=1]을 정한다. 반대 처치 평균은 남아 있다. 여기서는 조건부 교환가능성, 무작위 배정, 단조성 가정을 추가하지 않는다.

일관성만으로 날카로운 경계 유도

미지 평균을 a=E[Y1|X=0], b=E[Y0|X=1]로 쓰자. 이진 결과이므로 각각 [0,1] 안에 있다.

ATE=πr1+(1−π)a−(1−π)r0−πb.ATE=\pi r_1+(1-\pi)a-(1-\pi)r_0-\pi b.

a=0,b=1이면 최소, a=1,b=0이면 최대다.

L=p11−p01−π,H=p11−p01+1−π.L=p_{11}-p_{01}-\pi,\qquad H=p_{11}-p_{01}+1-\pi.

이 구간의 폭은 이진 결과 차이 척도에서 1이다. 논리적으로 가능한 전체 범위 [-1,1]보다 좁을 수 있지만 일반적으로 한 점은 아니다. 이 경계가 날카롭다는 말은 단지 부등식이 맞는다는 뜻을 넘는다. 관측과 양립하는 모집단이 실제로 양 끝값을 실현한다는 뜻이다.

같은 관측표에서 모든 효과 만들기

실습에서는 숨은 U를 자연 처치 X와 같게 둔다. U=0 집단에서는 Y0 평균을 r0, Y1 평균을 lambda로 지정한다. U=1 집단에서는 Y0 평균을 1-lambda, Y1 평균을 r1로 지정한다. 각 U 층 안에서 두 잠재 결과를 독립 Bernoulli 잡음으로 생성한 뒤 Y_U를 관측한다.

이는 양립 가능한 완성 모형의 구체적 구성이다. 데이터로 알아낸 식별 가정은 아니다. lambda를 [0,1]에서 바꾸어도 관측표는 같지만

ATE(λ)=L+λATE(\lambda)=L+\lambda

로 변한다. 파란 곡선이 날카로운 구간 전체를 채우는 이유다. 여덟 반응 유형 (U,Y0,Y1)의 질량은 바뀌지만 네 관측 셀의 합은 유지된다. 지금의 잠재 결과 결합 방식은 가능한 구성 하나이며 경계는 다른 결합도 허용한다.

열여섯 극점 완성

각 관측 셀 (X,Y)마다 보이지 않은 반대 처치 결과를 0 또는 1로 정하자. 네 이진 선택으로 완성 mask가 열여섯 개 나온다. 셀 질량이 0이면 서로 다른 mask가 같은 효과를 줄 수 있다. X=0 셀의 bit는 Y1, X=1 셀의 bit는 Y0를 선택한다.

아래 경계는 mask 12로 실현한다. 비처치 셀의 빠진 Y1은 0, 처치 셀의 빠진 Y0는 1이다. 위 경계는 반대로 선택한 mask 3이다. 극점 효과는 이 배정에서 직접 계산한다. 호환되는 극점 모집단을 섞어서도 중간 효과를 만들 수 있다.

확인 문제와 풀이

pi=0.4, r0=0.7, r1=0.2에서 단순 관측 차이와 경계를 구하자.

풀이. 관측 차이는 -0.5다. 네 셀 질량은 (0.18,0.42,0.32,0.08)이다. L=0.08-0.42-0.4=-0.74, H=0.26이다. 같은 정확한 관측표에서 음수와 양수의 인과효과가 모두 가능하다. lambda=0.5인 완성의 효과는 -0.24다. 두 처치 집단이 관측된다는 사실만으로 단순 차이가 인과효과로 식별되지는 않는다.

다른 예로 pi=0.5이고 관측 X=Y라면 경계는 [0,1]이다. Y0=Y1=U인 완성은 효과 0, Y0=0,Y1=1인 완성은 효과 1을 갖는다. 완벽한 관측 관계가 같은데도 인과효과는 다르다.

추가 정보가 바꾸는 것

무작위 배정, 정당화된 교환가능성, 선택이나 반응의 제약, 추가 실험은 식별 집합을 줄일 수 있다. 각각 별도의 가정과 근거가 필요하다. 신뢰구간은 관측분포를 추정하는 불확실성이고 식별 구간은 그 분포를 정확히 알아도 남는 불확실성이다. AI 연구에서는 예측의 정밀도를 개입 효과의 식별로 바꾸어 말하지 말고 두 문제를 구분해서 보고하자.

원전

Richardson·Hudgens·Gilbert·Fine, Nonparametric Bounds and Sensitivity Analysis of Treatment Effects, Statistical Science, 2014: 부분 식별과 민감도 분석, 고전적인 Robins–Manski 경계의 논의. 완성 모형, mask 열거, 손계산 예제는 직접 구성했다.

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1. 관측 표본이 무한하면 미관측 반대 처치 결과도 자동으로 알려지나요?
2. 이 경계는 신뢰구간인가요?

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