Hermitian 스펙트럼·Born 확률·기대값

1. 관측량은 무엇을 알려주는가

관측량은 이상적인 측정에서 나올 수 있는 수치와 그 수치에 대응하는 부분공간을 정한다. 어떤 결과가 얼마나 자주 나오는지는 상태가 결정한다. 행렬, 한 번의 측정 결과, 같은 준비를 반복했을 때의 평균은 서로 다른 대상이다. 평균이 한 번의 측정에서 가능한 결과일 필요도 없다.

이번에는 영이 아닌 복소 원시 벡터 z와 정규화 대표 ψ=z/||z||를 C²에서 다룬다. 매 시행은 같은 상태 준비에서 출발한다고 가정한다. 물리적 시계나 측정 장치의 궤적을 시뮬레이션하지 않으며, 두 복소 좌표를 두 공간 위치로 해석하지 않는다. 공통의 영이 아닌 복소 배율이 같은 ray를 표현한다는 앞 단원의 내용을 사용한다.

2. adjoint는 켤레 전치다

내적은 첫 인자에 켤레 선형성을 갖는다. adjoint는 연산자를 내적의 반대편으로 옮길 때 아래 항등식을 만족하는 대상이다. 유한 차원에서는 단순 전치가 아니라 켤레 전치로 계산한다.

$$\langle u,Av\rangle=\langle A^\dagger u,v\rangle,\qquad A^\dagger=\overline A^{\mathsf T},\qquad A=A^\dagger.$$

마지막 조건이 Hermitian 행렬의 정의다. 예를 들어 Y의 대각 원소는0이고 Y₀₁=−i, Y₁₀=i다. 전치만 하면 −Y가 되지만 켤레 전치를 하면 Y가 된다. 복소 진폭이나 복소 행렬 원소가 등장할 때 이 차이를 빼면 안 된다.

Av=λv이고 v가 영이 아니면 v†Av=λ||v||²다. Hermitian 조건 때문에 왼쪽 스칼라는 자신의 켤레와 같으므로 실수다. norm의 제곱이 양수이므로 λ도 실수다. 이 논증은 유한 행렬에 관한 것이다. 비유계 미분 연산자에서는 정의역을 따로 분석해야 한다.

3. 결과에 대응하는 것은 고유공간이다

유한 Hermitian 행렬은 서로 직교하는 고유공간으로 분해된다. 서로 다른 고유값마다 해당 고유공간 전체로의 사영이 하나씩 붙는다. 그 공간 안에서 어떤 정규직교 기저를 골라도 사영 자체는 변하지 않는다.

$$A=\sum_k a_k P_k,\qquad P_k^\dagger=P_k,\qquad P_kP_j=\delta_{kj}P_k,\qquad \sum_k P_k=I.$$

합의 첨자는 서로 다른 수치의 고유값이다. A=3I이면 결과는3 하나이고 스펙트럼 사영은 I다. 임의의 기저 벡터 둘을 따로 나열하고 각각3을 붙이는 것은 관측량만으로 정해지지 않는 세부 측정을 도입하는 일이다. 다음 축퇴 단원을 이해하려면 이 구별이 필요하다.

4. 정확하게 조작할 이차원 가족

영이 아닌 원시 벡터 v를 고르면 제곱근 없이 rank1 사영 P를 계산할 수 있다. 유리수 중심 a와 부호 있는 간격 b로 다음 관측량을 구성한다.

$$P=\frac{vv^\dagger}{v^\dagger v},\qquad Q=I-P,\qquad A=aI+b(2P-I)=(a+b)P+(a-b)Q.$$

b가0이 아니면 고유값은 a+b와 a−b다. 화면에서 작은 값부터 정렬할 때 사영도 반드시 함께 옮긴다. b가 음수이면 순서가 뒤집힌다. b=0이면 두 사영을 I로 합친 뒤 스펙트럼 측정을 계산한다. 아주 작은 유리수 간격도 정확히0이 아니면 구별하며, 부동소수 허용 오차로 축퇴를 만들어내지 않는다.

v의 공통 배율이나 전역 위상은 P를 바꾸지 않는다. 반면 ray를 바꾸면 고유값은 같아도 측정이 달라질 수 있다. 이 가족은 선택한 유리수 매개변수의 이차원 Hermitian 기하를 다룬다. 모든 실수 수치 입력을 열거했다고 주장하지 않는다.

5. Born 확률은 사영 길이의 제곱이다

어떤 결과의 확률은 해당 사영 뒤 남는 길이의 제곱을 초기 norm의 제곱으로 나눈 값이다. 확률 합이1인 것은 사영의 직교성과 완전성에서 나오며, 계산 뒤 막대들을 임의로 보정해서 얻는 성질이 아니다.

$$p_k=\langle\psi,P_k\psi\rangle=\|P_k\psi\|^2=\frac{\|P_kz\|^2}{z^\dagger z},\qquad \sum_k p_k=1.$$

ψ=(1,i)/√2이고 A=Z=diag(1,−1)로 두자. 두 성분의 크기는 각각1/√2이므로 −1과+1이 나올 확률은 각각1/2이다. 상대 위상 i는 상태의 중요한 정보지만 이 측정만으로는 보이지 않는다. 같은 Z 분포를 갖는 두 상태를 다른 관측량으로 구분할 수 있다.

앞으로 만들 그림에서는 고유값, 확률, 평균에 대한 기여를 함께 보여준다. 좌표 진폭 자체를 확률로 읽지 않으며, 음수 고유값을 음수 확률로 해석하지 않는다.

6. 평균과 분산은 다른 질문에 답한다

평균은 같은 준비를 반복한 결과들의 중심이다. 분산은 그 중심에서 결과 수치가 얼마나 퍼지는지 나타낸다.

$$\langle A\rangle=\sum_k a_kp_k=\psi^\dagger A\psi,\qquad \operatorname{Var}(A)=\sum_k a_k^2p_k-\langle A\rangle^2=\|(A-\langle A\rangle I)\psi\|^2.$$

앞의 Z 예제는 평균0, 분산1이다. 그러나0은 가능한 측정 결과가 아니다. 같은 상태에서 영 연산자 A=0을 측정하면 평균은 여전히0이지만 결과가0 하나이고 분산도0이다. 평균이 같다고 실험이나 분포가 같지는 않다.

분산0은 상태가 이 관측량의 한 고유공간에 속한다는 뜻이다. 그 공간이 다차원이면 상태를 하나로 특정하지 못한다. 관측량의 단위를 U로 정했다면 평균의 단위는 U, 분산의 단위는 U²이고 확률에는 단위가 없다.

7. 유리수 중심과 간격을 직접 계산하기

P와 Q 확률을 각각1/2로 유지하고 a=−2/3, b=5/11로 바꾸자. 정렬한 결과는 −37/33과 −7/33이다. 둘의 평균은 −22/33=−2/3이고, 평균에서의 편차는 ±5/11이므로 분산은25/121이다.

준비	결과 분포	평균	분산
ψ=(1,i)/√2, A=Z	−1과+1, 각각1/2	0	1
같은 ψ, A=0	0이 확률1	0	0
같은 ψ, 중심·간격을 바꾼 Z	−37/33과−7/33, 각각1/2	−2/3	25/121

이 표는 입력 상태, 측정 고유공간, 고유값 수치의 세 선택을 구분한다. a만 바꾸면 모든 결과와 평균이 같은 양만큼 이동하지만 확률과 분산은 그대로다. b를 바꾸면 평균 주위의 편차가 배율만큼, 분산은 배율의 제곱만큼 변한다.

8. 좌표를 바꿔도 같은 실험이다

unitary 기저 행렬 U를 사용할 때는 상태 좌표와 관측량 행렬을 함께 바꿔야 한다. 하나만 변환하면 보통 다른 답이 나온다.

$$\psi'=U^\dagger\psi,\qquad A'=U^\dagger AU,\qquad (\psi')^\dagger A'\psi'=\psi^\dagger A\psi.$$

U의 열을 (1,1)/√2와 (−1,1)/√2로 고르면 A=Z의 새 행렬은 −X다. 앞 상태의 새 좌표는 ((1+i)/2,(−1+i)/2)이고 평균은 여전히0이다. 이는 같은 실험을 다른 기저로 기술하는 수동 변환이다. 상태를 고정하고 다른 관측량을 물리적으로 선택하는 것은 다른 조작이다. 식의 모양이 비슷하다고 둘을 합치지 않는다.

9. 기대값이 복소수인 행렬의 반례

N₀₁=1만 영이 아닌 nilpotent 행렬 N을 보자. adjoint에서는1이 대각 아래로 이동한다. 같은 ψ=(1,i)/√2에서 기대값은 허수다.

$$N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad \psi^\dagger N\psi=\frac{i}{2},\qquad N^\dagger\ne N.$$

이는 모든 정사각 행렬을 실수 결과의 관측량으로 볼 수 없다는 반례다. 모든 비Hermitian 행렬이 모든 상태에서 비실수 기대값을 갖는다는 뜻은 아니다. 한 상태에서 실수가 나왔다고 Hermitian 성질이 인증되지 않는다. 두 Hermitian 행렬의 곱도 둘이 가환할 때에만 Hermitian이다. adjoint가 곱의 순서를 뒤집는다는 사실에서 확인할 수 있다.

10. 무엇을 정확하게 계산하는가

상태·측정 축·수동 기저의 원시 좌표는 범위가 정해진 정수다. 중심과 간격은 양의 분모를 갖는 비다. 행렬, 사영 질량, 모멘트는 정확 복소 유리수로 계산한다. 사영 항등식, 확률 합, 행렬 재구성, 스펙트럼과 직접 계산의 평균·이차 모멘트 일치를 잔차로 확인한다.

정규화 좌표에는 제곱근이 들어갈 수 있다. 이 좌표는 방향성512bit 구간으로 제공하며 그림용 반올림 좌표를 정확한 norm 인증으로 사용하지 않는다. 확률0 분기에는 조건부 정규화 벡터가 없으므로 조건부 진폭을 null로 제공한다. 가짜 빈도나 epsilon 분모, 임의 잡음을 넣어 그런 벡터를 만들지 않는다.

독립 참조는 생산 사영 분해를 그대로 믿지 않고 기호 고유벡터와 직교화한 고유공간을 사용한다. 대조 성공은 이 유한 가족을 지지한다. 무한 차원 스펙트럼 정리를 증명하는 것은 아니다.

11. 풀이가 있는 연습

1. (1,i)의 bra가 왜 (1,−i)인가?

해설. 켤레 전치이기 때문이다. norm의 제곱은1+(−i)i=2다. 단순 전치는1+i²=0이라는 잘못된 값을 만든다.

2. a=0, b=−1이면 어느 사영에 작은 고유값이 붙는가?

해설. P에는−1, Q에는+1이 붙는다. 값과 사영을 함께 정렬해야 한다. z가 P에 속하면 작은 결과의 확률이1이다.

3. a=7/3, b=0이면 분포는 무엇인가?

해설. 값7/3 하나, 사영 I, 확률1이다. 모든 정규화 상태에서 분산0이지만 그 사실만으로 ray를 결정하지 못한다.

4. 평균0이면 한 번의 결과도0인가?

해설. 아니다. 같은 확률의 Z 준비에서는 매번−1 또는+1이다. 영 연산자는 같은 평균을 갖는 별개의 실험이다.

5. ψ를3iψ로 바꾸면 무엇이 달라지는가?

해설. 원시 norm의 제곱과 모든 사영 norm의 제곱이9배가 된다. 정규화 뒤 확률·평균·분산은 변하지 않는다.

6. 한 상태의 실수 기대값으로 관측량을 인증할 수 있는가?

해설. 없다. N은 첫 표준 기저 상태에서 기대값0이지만 N†≠N이다. 여러 상태에 걸친 연산자 성질을 확인해야 한다.

12. AI 연결과 경계

복소 내적, 스펙트럼 분해, 이차형식, 분포 요약, 좌표 불변성을 한 계산에서 연결할 수 있다. 한 매개변수에서 실수 손실을 얻었다고 그 연산자의 구조가 증명되지는 않는다. 평균 예측값만으로 전체 예측 분포를 특정할 수 없다는 점도 함께 생각해보자.

다음 단원은 축퇴와 조건부 사영을 다룬다. 일반 혼합 상태 입력, POVM, 불확정성 관계, 연산자 정의역은 별도로 남는다. 유한 행렬의 논증으로 미분 연산자의 경계조건이나 자기수반성을 확정하지 않는다.

정의 배경은 Preskill §2.1, TU Delft §8.7–8.8과 확인했다. 조작할 준비 가족과 계산 예제, 수치 검증 계약은 이 교재를 위해 구성했다.