정리와 경험적 근거의 역할

1. 문장마다 근거의 역할 정하기

정리는 명시한 가정 아래의 결론입니다. 경험적 진술은 기록한 절차에서 측정한 것을 보고합니다. 작업 가설은 앞으로 검사할 설명입니다. 예를 들어 “관측 평균 손실은 0.18이다”는 경험적 진술입니다. “물리 제약이 분포 밖 성능을 높인다”는 범위와 근거를 정해 검사할 가설입니다.

2. 유한 표본 정리 적기

고정된 모형에 대해 손실 $m$개가 독립이고 같은 분포이며 $[0,1]$ 안에 있다고 가정합니다. 모집단 평균을 $R$, 표본평균을 $\widehat R$라 하면 Hoeffding 부등식은 다음을 줍니다.

우변을 $\delta$로 두면 $\varepsilon=\sqrt{\ln(2/\delta)/(2m)}$입니다. 이 정리는 명시한 유계성과 독립성 가정 아래 성립합니다. Hoeffding의 유계 확률변수 부등식

3. 고정 후보 중 선택하는 경우 반영하기

평가 표본과 독립적으로 정한 후보가 $M$개이면 합집합 상계로 $\varepsilon=\sqrt{\ln(2M/\delta)/(2m)}$의 동시 보장을 얻습니다. 후보들의 오차는 서로 상관되어 있어도 됩니다. 각 Hoeffding 상계에는 관측 표본 사이의 독립성이 필요합니다. 평가 결과로 후보를 새로 만들었다면 다른 논증이 필요합니다.

4. 보고할 수치 계산하기

$m=100$, $\delta=0.05$이면 고정 모형 하나의 반지름은 약 0.136입니다. 관측 평균이 0.18이면 $[0,1]$과 겹친 구간은 약 $[0.044,0.316]$입니다. 고정 후보 100개의 동시 반지름은 약 0.204입니다. 관측 수치가 같아도 보장하려는 주장이 달라지면 상계도 바뀝니다.

5. 반지름과 정확히 계산할 수 있는 경우 검산하기

from math import comb, exp, log, sqrt

m, delta = 100, .05
radius = sqrt(log(2/delta)/(2*m))
simultaneous = sqrt(log(200/delta)/(2*m))
assert radius < simultaneous
n, epsilon = 20, .3
tail = sum(comb(n, k) for k in range(n+1) if abs(k/n-.5) >= epsilon-1e-12)/2**n
bound = 2*exp(-2*n*epsilon**2)
assert tail <= bound
print(radius, simultaneous, "exact fair-sign tail:", tail, "bound:", bound)

6. 설명과 보장의 가정 함께 기록하기

작은 실측 오차는 평가한 조건에서의 관측을 뒷받침합니다. 정리는 가정을 통해 주장의 범위를 확장합니다. 물리적 설명을 제안했다면 개입이나 다른 구별 가능한 근거가 필요합니다. 세 역할을 기록하면 어떤 결론이 증명, 측정, 열린 질문에 속하는지 알 수 있습니다.