이 단원 목차
유형을 부르기 전에 Principal Part를 읽는다
두 독립 변수의 상수계수 이차 PDE를 A u_xx+2B u_xy+C u_yy로 씁니다. 낮은 차수 항은 해에 영향을 주지만 principal quadratic form은 바꾸지 않습니다. 혼합항의 2가 중요합니다. 식에 b u_xy라고 적혀 있으면 행렬의 비대각 원소는 b/2입니다.
이 단원은 두 변수의 이차 principal part를 분류합니다. Heat equation의 parabolic이라는 말은 일차 시간·이차 공간 미분이 함께 있는 진화형 분류입니다. 공간 Laplacian만 분류하는 것과 같은 질문은 아닙니다. 독립 변수와 미분 차수를 명시하세요.
Symbol은 방향에 따른 이차형식이다
단위 normal n=(cos(phi),sin(phi))에 대해 다음을 정의합니다.
D<0이면 Q가 정부호 또는 음의 정부호여서 elliptic입니다. D>0이면 부정부호인 hyperbolic입니다. D=0이면서 Q가 0이 아니면 rank-one parabolic principal part입니다. 계수가 모두 0이면 이차 principal part 자체가 없으며 rank-one으로 부르면 안 됩니다.
파랑은 normal 각도별 p(n)입니다. Elliptic은 모든 방향에서 같은 비영 부호, hyperbolic은 방향에 따라 부호가 바뀌고 characteristic normal에서 0입니다. Rank-one은 빠진 방향에서 0에 닿습니다. 퇴화 근처에서는 class code만 보지 말고 계수의 정확도와 반올림도 확인해야 합니다.
행렬과 Normal을 함께 회전한다
회전 행렬 R로 좌표를 바꾸면 다음과 같습니다.
주황은 같은 물리 normal을 회전 좌표의 각 phi-theta로 바꾸어 계산한 값입니다. Q만 돌리고 normal 성분을 그대로 두면 다른 물리 방향을 비교하게 됩니다. Trace·determinant는 회전 불변이지만 부동소수점 재계산에는 작은 차이가 남을 수 있습니다.
세 가지 형태를 손으로 비교하기
u_xx+u_yy에서는 Q=I라 모든 방향 값이 1입니다. u_xx-u_yy는 cos(2phi)여서 대각 normal에서 0이 됩니다. u_xx만 있으면 cos²(phi)인 비음수 rank-one입니다. 이 방향들은 입자의 시간 궤적이 아니라 미분의 방향입니다.
직접 풀기: 혼합항 관례
u_xx+u_xy+u_yy에서는 B=1/2, D=-3/4이므로 elliptic입니다. Phi=pi/4에서 값은 1.5입니다. 잘못 B=1을 입력하면 rank-one으로 다른 식을 만든 셈입니다. 올바른 계수를 pi/2만큼 돌려 같은 물리 normal의 값이 유지되는지 검산하세요. 식 전체에 -1을 곱해도 elliptic 유형이 바뀌지 않는 이유도 설명하세요.
더 읽기: MIT PDE 입문.
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