정준 그래프·Gauss 제약·물리 위상공간

1. 게이지 궤도만으로 물리 위상공간이 되지는 않는다

앞 단원에서는 국소 기준을 바꾸어 연결을 서로 옮길 수 있는지 비교했습니다. 그러나 링크마다 공액 운동량을 도입하거나 Gauss 제약을 부과하지는 않았습니다. 표현의 중복을 없애는 일과 전기적 변수가 전하 조건을 만족하도록 제한하는 일은 서로 다릅니다.

진자를 떠올려 보세요. 각도는 배치이고, 각도와 각운동량을 함께 주어야 위상공간의 점이 됩니다. 이번 그래프에서는 간선마다 진자의 각도 같은 원형 좌표와 실수 운동량을 둡니다. 국소 기준 선택은 좌표의 중복을 만들고, 주어진 전하는 허용 운동량을 제한합니다.

다룰 대상은 유한한 고전 모형입니다. compact U(1) 연결·실수 전기 운동량·고정 내부 전하·명시한 외부 앵커를 사용합니다. 물질 동역학, 양자 전기 스펙트럼, 연속체 극한과 시간 적분은 구현하지 않습니다. 그림의 노드 배치도 실제 공간 좌표가 아닙니다. 이 범위에서 제약과 몫공간을 정확하게 검사합니다.

2. 원형 좌표와 공액 운동량

저장 간선 e마다 위상과 실수 운동량을 정의합니다.

$$U_e=e^{iA_e},\qquad A_e\in\mathbb R/(2\pi\mathbb Z),\qquad E_e\in\mathbb R.$$

아직 제약을 부과하지 않은 위상공간은 여러 원의 곱에 대한 여접다발입니다. 국소 각도 좌표에서 Poisson 괄호의 규약을 다음과 같이 정합니다.

$$\{A_e,E_f\}=\delta_{ef},\qquad \{A_e,A_f\}=\{E_e,E_f\}=0.$$

차원은 간선 수의 두 배입니다. 원 전체에서 연속인 실수 각도 하나를 고를 수는 없으므로 전역적으로 사용하는 값은 U입니다. 각도 표시가 가지 절단을 넘어도 연결 자체가 불연속이 된 것은 아닙니다. 전역적으로는 {Ue,Ef}=i δef Ue로 표현할 수 있습니다.

여기서 ‘전기’라는 이름은 선언한 정준 정규화의 E를 뜻합니다. 연속체 전기장과 정준 운동량을 연결하는 계수·부호는 규약과 추가 항에 따라 달라집니다. 이번 E는 실수이며, 양자화 후의 정수 스펙트럼을 가정하지 않습니다.

3. 발산을 쓰기 전에 방향을 정한다

간선이 i에서 j로 저장되어 있으면 접속행렬 B의 해당 열에 i행은+1, j행은−1을 넣고 나머지는0으로 둡니다. 자기 루프는 같은 행에서 두 기여가 상쇄되어0열이 됩니다.

삼각형 0→1, 1→2, 2→0에서는

$$B=\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}, \qquad BE=\begin{pmatrix}E_0-E_2\\E_1-E_0\\E_2-E_1\end{pmatrix}.$$

양의 E는 저장 방향을 기준으로 한 흐름 변수입니다. 같은 상태를 유지하면서 저장 방향을 뒤집으려면 E의 부호와 U의 켤레도 함께 바꾸어야 합니다. 음의 E는 잘못된 입력이 아니라 반대 방향의 값을 뜻합니다.

B의 각 열을 모두 더하면0입니다. 따라서 한 연결 성분 전체의 발산 합은0이며, 평행 간선이나 자기 루프가 있어도 같습니다. 이 단순한 항등식이 전하 조건의 해가 존재하는지 결정합니다.

4. Gauss 법칙과 기준 변환의 생성자

비앵커 노드의 집합을 I라 하고 B에서 그 행만 남긴 행렬을 BI라 씁니다. 제약과 생성자는

$$G_i=(BE)_i-\rho_i=0\quad(i\in I),\qquad G[\alpha]=\sum_{i\in I}\alpha_iG_i$$

입니다. 전하는 고정 매개변수이므로 A나 E로 미분하면0입니다. 앵커에서 α를0으로 확장하면 생성자와의 괄호로부터

$$\delta A=B_I^T\alpha,\qquad \delta E=0,\qquad U_{ij}'=g_iU_{ij}g_j^*,\quad g_i=e^{i\alpha_i}$$

를 얻습니다. 기준 변환은 각도는 바꾸지만 전기 운동량은 바꾸지 않습니다. 따라서 Gauss 법칙을 어긴 E를 게이지 변환으로 고칠 수 없습니다. 모든 G는 E만의 함수이므로 서로의 Poisson 괄호는0입니다. 다만 제약 행들 사이에는 종속성이 있을 수 있습니다.

시간 성분이나 트리 게이지를 고른다고 제약 방정식이 사라지지는 않습니다. 게이지 고정은 표현을 선택하는 일이고, Gauss 조건은 허용 운동량 수준집합을 선택하는 일입니다.

5. 앵커가 있으면 경계 전하 교환이 가능하다

앵커는 외부 위상 기준을 고정하며 허용 변환은 그곳에서 항등입니다. 이 모형은 I의 노드에만 Gauss 목표를 부과합니다. 앵커의 전하 입력은 수치0이 아니라 null입니다. 앵커 발산은 E에서 계산하며 해당 상태를 지탱하는 경계의 공급·흡수를 나타냅니다.

앵커가 있는 한 연결 성분의 모든 행을 더하면

$$\sum_{i\in I}(BE)_i=-\sum_{a\in\mathcal A}(BE)_a$$

입니다. 제약면에서는 왼쪽이 주어진 내부 전하의 합입니다. 따라서 내부 순전하가0이 아니어도 앵커 발산이 이를 맞출 수 있습니다. 전체 접속행렬의 열 합이0이라는 이유로 내부 전하만의 중성을 요구하면 안 됩니다.

반대로 앵커 없는 성분에는 경계의 자유가 없습니다. 그 성분의 주어진 전하 합은0이어야 합니다. 분리된 그래프에서는 전체 전하 합이0이어도 성분마다 중성이 아니면 해가 없습니다. 서로 다른 성분 사이로 선속을 보낼 간선이 없기 때문입니다.

6. 정준 쌍을 세기 전에 독립 제약을 센다

노드 수 N, 간선 수 M, 앵커 수 a, 앵커 없는 연결 성분 수 C0에 대해

$$r=\operatorname{rank}B_I=N-a-C_0,\qquad k=M-r$$

입니다. 앵커 없는 성분에서는 모든 접속행렬 행의 합이0이고, 이것이 유일한 행 종속성입니다. 앵커 있는 성분에서는 적어도 한 행을 제외하므로 그 종속성이 사라져 남은 행들이 독립입니다. 자기 루프는0열을 더할 뿐 rank를 높이지 않습니다.

전체 허용 군의 차원은 N−a입니다. 그러나 앵커 없는 성분마다 공통 위상이 모든 링크를 유지하므로 연결 안정자의 차원은 C0입니다. 실제로 작용하는 궤도 차원은 r입니다. 안정자를 고려하지 않고 군의 차원을 그대로 빼면 제거할 변수를 과다 계산합니다.

정확 계산에서는 이 식을 유리수 행 소거 결과와 대조합니다. 구현이 공식을 출력했다는 사실만으로 올바른 차원이라고 인정하지 않습니다.

7. 빈 수준집합에는 물리 차원을 표시하지 않는다

먼저 BI E=ρI의 해가 있는지 확인합니다. 해가 있으면 제약면과 게이지 몫의 차원은

$$\dim\mathcal C_\rho=2M-r,\qquad \dim\mathcal P_\rho=2M-2r=2k$$

입니다. 독립인 일차 제약 하나가 운동량 방향 하나를 제한하고, 그 유효 게이지 흐름의 몫을 취하면서 좌표 방향 하나를 더 제거합니다. 이것이 두 배가 되는 이유입니다. 앞 단원에서 표시한 정적인 군 작용의 궤도 차원과 다릅니다.

전하 수준집합 자체가 불가능하면 물리 차원은 ‘없음’으로 보고합니다. 빈 공간에 양의 차원 수치를 붙이지 않습니다. 또한 해가 존재하는 전하 조건이라도 현재 입력한 E가 그 조건을 어길 수 있습니다. 수준집합의 호환성과 현재 입력의 허용 여부를 구별해야 합니다.

이 계산은 순수 연결의 고전 모형에 대한 것입니다. 정준 물질을 추가하면 그 운동량·전하·안정자도 달라지므로 확대된 계를 유도하지 않고 같은 차원 공식을 사용하면 안 됩니다.

8. 앵커 호환 숲은 좌표 선택이다

원래 그래프의 신장 숲에서 시작해 두 앵커 부분 트리를 합치지 않는 간선만 남깁니다. 앵커 부분 트리는 해당 앵커를 루트로, 앵커 없는 성분은 지정한 계산 루트를 사용합니다. 남긴 간선은 r개, 나머지는 k개입니다.

고정 위상 h로 남긴 트리 링크를1로 만듭니다. 나머지 간선은 루트에서 돌아오는 닫힌 곱이나 앵커 사이 열린 곱을 하나씩 제공합니다. 앞 단원의 궤도 좌표를 이제 정준 모형의 배치 부분에 적용하는 것입니다.

원래의 전체 신장 숲과 허용 변환으로 고정할 부분 숲을 혼동하지 마세요. 세 노드 사슬의 두 끝점을 앵커로 두면 원래 숲에는 간선이 두 개 있지만 하나만 고정할 수 있습니다. 남은 열린 좌표는 두 외부 기준 사이에서 관측 가능합니다.

9. 부호 있는 경로 행렬로 정준 좌표를 만든다

각 비숲 간선 a에 대해 완전한 루트 경로를 기록합니다. 간선의 정방향 출현마다+1, 역방향마다−1을 더해 P의 한 행을 만듭니다. 반복 통과도 포함합니다. 그림에서 간선이 강조되어 있어도 왕복 부분은 대수적으로 상쇄됩니다.

$$Q_a=\prod_e U_e^{P_{ae}},\qquad \theta_a=(PA)_a\pmod{2\pi},\qquad B_IP^T=0.$$

P의 비숲 간선 열만 모으면 단위행렬입니다. 자신의 간선은 정방향으로 한 번 나오고 다른 비숲 간선은 나오지 않기 때문입니다. 그 간선의 E를 πa로 정의하면 국소 각도 좌표에서

$$\{\theta_a,\pi_b\}=\delta_{ab},\qquad \{\theta_a,G_i\}=0$$

입니다. 전역적으로는 {Qa,πb}=i δab Qa를 사용합니다. K=Pᵀ의 열들은 동차 전기 제약의 영공간을 생성합니다. 이는 이 그래프와 경계 군에 대한 완전한 순환·열린 경로 좌표이며, 임의로 몇 개만 관측한 불완전한 루프 목록과 다릅니다.

10. 전하 조건을 affine 공간으로 푼다

모든 비숲 전기 운동량을0으로 두고 숲 간선만 사용하는 특수해 E0를 고릅니다. 전하 조건이 호환되면 이 해가 존재하며 유일합니다. 모든 허용 전기장은

$$E=E^{(0)}+K\pi,\qquad B_IE^{(0)}=\rho_I,\qquad B_IK=0$$

로 표현됩니다. 전하가 정하는 부분과 자유로운 순환·경계 사이 흐름을 분리한 식입니다. 계산기는 부분 트리의 전하 수지로 해를 구하고, 독립 참조는 유리수 선형계를 직접 풉니다. 두 방법의 일치로 방향 부호와 경계 처리를 검산합니다.

잘못된 입력에서도 비숲 값 π를 유지하면 제약을 만족하는 올림값을 만들 수 있습니다. 그러나 같은 물리 상태도, 게이지 변환도, 일반적인 최소거리 보정도 아닙니다. 다른 숲은 다른 보정을 선택할 수 있습니다. 직교 투영을 원한다면 거리의 계량과 최적화 문제를 별도로 선언해야 합니다.

11. 중성 삼각형 손계산: 정준 쌍 하나가 남는다

앞의 방향 삼각형에서 앵커 없이 U=(i,1,1), E=(1,1,1), 전하0을 둡니다. 숲은 간선0,1입니다. 모든 발산이0이며 r=2, k=1, P=(1,1,1), E0=0, π=E2=1입니다.

불변 위상은 Q=U0U1U2=i입니다. 전기 계수를 모두1, 삼각형 경로의 가중치를1로 두면

$$H=\tfrac12(E_0^2+E_1^2+E_2^2)+1-\operatorname{Re}Q =\tfrac32+1=\tfrac52$$

입니다. 축약 좌표에서는 H=3π²/2+1−cos θ입니다. 원형 좌표와 실수 공액 운동량 한 쌍이므로 물리 위상공간 차원은2입니다. 발산이0이라는 조건이 순환 흐름까지 없애지는 않았습니다.

같은 전하0 목표에 E=(1,0,0)을 입력해 보세요. 발산이 (1,−1,0)이므로 허용되지 않습니다. 비숲 값 π=0을 유지한 올림값은 E=(0,0,0)입니다. 이 과정은 전기장을 바꿉니다. 국소 기준 선택으로 할 수 있는 일이 아닙니다.

12. 고정 전하는 affine 원점을 바꾸지만 rank는 바꾸지 않는다

E=(1,0,0)을 유지하면서 ρ=(1,−1,0)을 지정하면 이제 Gauss 조건을 만족합니다. 숲0,1에서 특수해는 E0=(1,0,0), 비숲 운동량은 π=E2=0입니다. 호환되는 우변을 바꾸어도 접속행렬 rank는 바뀌지 않으므로 물리 위상공간 차원은 여전히2입니다.

원래 연결·전기장·계수·퍼텐셜 경로를 유지한 채 숲1,2와 루트1을 고르면 새 특수해는 (0,−1,−1), 새 운동량은 간선0의 E값인1입니다. Kπ를 더하면 원래 (1,0,0)을 회복합니다.

좌표가 바뀌어 축약 운동 에너지 다항식의 계수는 달라지지만 같은 전기장에서 평가한 Hamiltonian은 유지됩니다. 반면 ‘새 비숲 간선마다 새 퍼텐셜 항’을 정하면 모형 자체가 달라질 수 있습니다. 이번 모형은 숲을 바꾸어도 명시한 퍼텐셜 경로를 유지합니다.

ρ=(1,0,0)은 별개의 문제입니다. 앵커 없는 성분의 총전하가0이 아니므로 어떤 전기장도 조건을 만족하지 못합니다. 최소제곱 잔차가 작다는 사실이 이 불가능한 정확 수준집합의 물리 상태를 만들어 주지는 않습니다.

13. 앵커 사슬 손계산: 내부 전하와 경계 선속

간선 0→1,1→2, 앵커0,2, 내부 전하 ρ1=1을 사용합니다. E=(1,2), U=(i,1)이면 발산은 (1,1,−2)입니다. 가운데 행에만 목표 전하를 부과하고, 앵커 값은 그 수지를 맞춥니다.

남기는 숲은 간선0이고, 비숲 간선은1입니다.

$$P=(1,1),\quad K=(1,1)^T,\quad E^{(0)}=(-1,0),\quad \pi=E_1=2,\quad E=(-1+\pi,\pi).$$

독립 제약 하나와 유효 게이지 방향 하나가 있습니다. 원래 네 위상공간 차원에서 두 차원을 제거해 물리 차원2를 얻습니다. 앵커 없는 중성 열린 사슬에서는 남는 정준 쌍이 없다는 점과 비교하세요.

앵커 사이 열린 경로 퍼텐셜에 가중치2를 주면

$$H=\tfrac12(-1+\pi)^2+\tfrac12\pi^2+2(1-\cos\theta)$$

입니다. Q=i, π=2에서 H=9/2입니다. 이 열린 퍼텐셜은 외부 끝점 기준을 사용합니다. 앵커 모형의 허용 불변량이라는 뜻이지, 모든 열린 곱이 Maxwell 자기 관측량이라는 뜻은 아닙니다.

14. Hamiltonian은 숲과 독립적으로 선언한다

양의 전기 계수 we와 음이 아닌 경로 가중치 κt를 허용합니다.

$$H(A,E)=\tfrac12\sum_e w_eE_e^2+ \sum_t\kappa_t\left(1-\operatorname{Re}W_t\right),\qquad W_t=\prod_e U_e^{s_{te}}.$$

저장 경로는 실제로 이어져야 하며 닫히거나 두 앵커를 연결해야 합니다. 그 부호 벡터 st는 BI st=0을 만족합니다. 비앵커에서 끝나는 단독 열린 간선 항은 거부합니다. 닫힌 경로는 왕복을 포함할 수 있으며 완전한 곱과 부호 합을 정확히 계산합니다.

고정 전하에서 축약 전기 에너지의 계량은 KᵀWK, 선형 항은 KᵀWE0, 상수는 (E0)ᵀWE0/2입니다. 양의 계수와 K의 독립 열 때문에 정준 쌍이 있으면 계량은 양의 정부호입니다. 위상 퍼텐셜은 비숲 지수를 통해 Q로 표현합니다. 이는 선언한 Hamiltonian의 좌표 변환이며, 임의 그래프가 전자기학을 근사한다는 규칙은 아닙니다.

15. 정확한 순간 흐름과 제약 보존

선언한 Hamiltonian을 미분하면

$$\dot A_e=w_eE_e,\qquad \dot E_e=-\sum_t\kappa_t s_{te}\operatorname{Im}W_t,\qquad \dot U_e=iU_e\dot A_e$$

입니다. 모든 허용 항에 대해 BI st=0이므로 BI Ė=0입니다. 정확한 벡터장이 주어진 내부 Gauss 수준집합에 접한다는 뜻입니다. 열린 앵커 퍼텐셜로 경계 전하를 교환할 때 앵커 발산은 변할 수 있지만 내부 제약을 어긴 것은 아닙니다.

중성 삼각형의 Q=i, π=1에서는 θdot=3, πdot=−1입니다. 모든 전기 운동량의 변화율이−1이므로 발산을 만드는 차이는 변하지 않습니다. 앞의 전하 있는 앵커 사슬에서는 θdot=3, πdot=−2이며 두 간선의 변화율이 모두−2라 가운데 발산 변화율은0입니다.

Gauss 변화율0은 처음의 위반도 유지할 뿐 자동으로 고치지 않습니다. 이 값은 순간 미분입니다. 유한한 시간 간격을 쓰는 알고리즘은 원형 정규화·에너지 거동·symplectic 구조·오차를 별도로 검사해야 합니다. 예를 들어 U에 대한 덧셈형 Euler 갱신은 일반적으로 단위원을 벗어납니다. 정확한 미분을 계산했다는 사실만으로 정확한 궤적을 보장할 수 없습니다.

16. 예외 사례는 중요한 검사다

자기 루프는0 접속행렬 열을 갖지만 원형 좌표와 전기 운동량을 유지합니다. 평행 링크는 두 노드 사이에서도 진짜 순환을 만들 수 있습니다. 고립된 비앵커 노드는 전하0의 호환성을 요구하지만 유효 게이지 방향은 추가하지 않습니다. 모든 노드가 앵커이면 부과할 Gauss 행도 허용 국소 변환도 없어 M개의 정준 쌍이 모두 남습니다.

빈 간선 목록, 남은 정준 쌍0개, 불가능한 전하 수준집합은 서로 다릅니다. 수치 카드를 채우려고 없는 결과를0으로 바꾸지 마세요.

분수 Cayley 매개변수는 위상을 정확하게 나타내며 −1점은 별도로 표현합니다. 잔차와 독립 대조에는 정수·분수 산술을 사용합니다. 그림 좌표는 근사값이며 제약을 정확히 만족하는지 판정하는 근거가 아닙니다.

17. AI 연구와 연결하는 방법

학습할 Hamiltonian의 모든 위상 특징이 BI s=0인 지수 s를 사용하면 선형 Gauss 수준집합 보존을 구조적으로 확보할 수 있습니다. 몇 개의 게이지 변환 표본만 확인하는 것보다 강한 조건입니다. 다만 앵커 입력에서 허용한 경계 특징이 더 큰 게이지 군에서도 허용되는 것은 아닙니다.

호환되는 수준집합에서 영공간 표현 E=E0+Kπ를 사용하면 제약을 정확하게 만족시킬 수 있습니다. 손실 함수의 잔차 벌점이나 특정 노름으로 예측값을 투영하는 방법과는 다릅니다. 제약 잔차·근사 오차·조건수·경계 가정을 구분해 비교해야 합니다.

좌표나 숲 불변성을 검사할 때는 같은 물리 Hamiltonian을 유지하세요. 기준 공변성과 Gauss 허용 여부를 모두 확인해야 합니다. 에너지나 위상 불변량이 같아도 상태가 전하 제약을 어길 수 있습니다. 학습한 시간 발전에는 잔차의 누적 변화와 시간 간격 수렴도 추가해야 합니다. 어느 한 검사만으로 일반화나 연속체 물리 해석이 증명되지는 않습니다.

18. 해설 문제

A. 독립 Gauss 조건 하나는 왜 축약 후 위상공간 두 차원을 제거하나요?

해설: 수준집합에서 운동량 방향 하나를 제한합니다. 그 유효 게이지 흐름은 공액 좌표 방향을 바꾸며 몫을 취할 때 이 방향도 제거됩니다. 종속인 Gauss 행은 추가 차원을 제거하지 않습니다. 이 모형의 호환되는 수준집합은 축약 후2(M−r)차원입니다.

B. 분리된 두 비앵커 성분에서 전체 전하0이면 충분한가요?

해설: 아닙니다. 한 삼각형에 (1,0,0), 다른 삼각형에 (−1,0,0)을 두면 전체 합은0이지만 각 성분의 중성 조건을 어깁니다. 두 성분 사이로 선속을 전달할 간선이 없으므로 정확 수준집합은 비어 있습니다.

C. 중성 삼각형의 잘못된 E=(1,0,0)을 게이지 변환으로 고칠 수 있나요?

해설: 없습니다. 게이지 변환은 A를 바꾸고 E는 유지합니다. 같은 비숲 운동량에서 얻는 올림값 E=(0,0,0)은 다른 전기장이지 원래 전기장의 다른 표현이 아닙니다. 화면에서도 이를 동치 상태로 표시하면 안 됩니다.

D. 앵커 전하 목표를 왜 null로 두나요?

해설: 이번 경계 모형은 그곳의 Gauss 값을 미리 정하지 않습니다. E에서 필요한 앵커 발산을 계산합니다. 전하 있는 사슬 E=(1,2)에서는 내부 전하1을 앵커 발산1,−2가 맞춥니다. 앵커에도 목표0을 쓰면 더 강하게 제한된 다른 문제를 지정한 것입니다.

E. 신장 숲을 바꾸면 Hamiltonian도 바뀌나요?

해설: 좌표·특수해·축약 계수는 달라집니다. 그러나 전기 계수와 실제 퍼텐셜 경로를 고정한 Hamiltonian은 바뀌지 않습니다. 퍼텐셜 목록을 새 비숲 간선 기반의 다른 항들로 교체하면 Hamiltonian이 달라질 수 있으므로 좌표 불변성 검사라고 부르면 안 됩니다.

F. 자기 루프는 왜 물리적 정준 쌍을 유지하나요?

해설: 접속행렬 열이0이므로 그 각도는 노드 게이지 변환에 따라 바뀌지 않고 전기 운동량도 노드 발산에 기여하지 않습니다. 이미 불변인 좌표와 자유 공액 운동량을 갖습니다. 지정한 자기 루프 퍼텐셜은 그 운동량에 힘을 줄 수 있습니다.

G. 정확한 Gauss 변화율0이면 수치 시뮬레이터를 검증한 것인가요?

해설: 아닙니다. 이 정확한 순간 Hamiltonian 벡터장의 접함을 확인한 것입니다. 이산 적분기는 원형 좌표·에너지·symplectic 구조를 왜곡할 수 있습니다. 시간 적분에는 알고리즘과 간격 수렴의 별도 근거가 필요하며 이번 실험은 시간을 적분하지 않습니다.

자료와 범위

정준 제약의 배경은 Tong, Gauge Theory §2.2.1, 양자 주기 격자의 제약은 Kaplan–Stryker, arXiv:1806.08797v2 §I를 참고하세요. 위의 임의 고전 그래프·경계 규약·손계산 축약은 교육 모형에서 유도하고 독립 검산한 내용이며, 양자·연속체 이론에는 추가 가정이 필요합니다.