관측·고정 개입·확률적 정책

같은 시스템에 던지는 세 질문

X=1을 받은 사례는 얼마나 좋은 결과를 내는가? 모두에게 X=1을 주면 어떻게 되는가? 외부 정책이 확률 r로 X=1을 배정하면 어떻게 되는가? 세 질문은 비교 모집단이나 배정 기제가 다르다. 조건부 예측, 고정 개입, 확률적 정책의 표기와 출력값을 구분해야 한다.

Z는 과제 난이도, X는 시스템 설정, Y는 이진 결과라고 하자. 교육용 결과 평균 기제를 다음과 같이 정한다. 실제 성능을 적합한 경험 법칙은 아니다.

X의 계수 0.2는 같은 Z 층 안에서의 평균 효과다. 독립인 균등 잡음 U_Y가 q(z,x)보다 작으면 Y=1로 만든다. Z=1일 모집단 확률은 pi, 관측 배정 확률은 e_z=P(X=1|Z=z)다.

관측은 난이도 구성을 재가중한다

X=a를 관측했다면 Bayes 규칙을 적용한다.

관측 평균은 이 조건부 층 구성으로 q(z,a)를 평균한 값이다. pi=0.5, e_0=0.1, e_1=0.9이면 관측 X=1 사례의 90%가 어려운 과제다. 평균은 0.1×0.3+0.9×0.9=0.84다. 이는 이미 배정받은 집단을 예측하는 값이며 원래 모집단의 설정을 바꾼 효과가 아니다. 표의 P(Z)와 P(Z|X=a)를 비교하면 어떤 구성 변화가 생겼는지 보인다.

고정 개입은 목표 모집단을 유지한다

X의 배정식을 상수 a로 바꾸고 P(Z)와 결과 기제를 유지한다.

같은 매개변수에서 mu_1=0.5×0.3+0.5×0.9=0.6, mu_0=0.4다. 평균 처치 효과는 0.2다. DAG에서 Z→X를 지우는 것은 난이도에 따른 기존 배정을 교체했다는 뜻이다. X→Y는 남겨서 바뀐 설정이 결과 기제로 전달되게 한다.

독립적인 외부 정책 동전

Z와 U_Y에 독립인 새로운 동전으로 확률 r에 따라 X=1을 배정하자. 정책 동전의 결과에 따라 각각 고정 개입을 실행하므로

파란 곡선은 이 정책 평균이고 점은 현재 r이다. 주황 수평선은 관측 질의 평균이며 r과 무관하다. pi=0.5, r=0.5이면 정책 평균은 0.5다. 고정된 두 개입을 일정한 가중치로 섞기 때문에 선형이다. Z에 따라 배정 확률이 달라지는 정책이라면 층별 가중치가 필요하다. 피드백, 개체 간 간섭, 정책 변경에 따른 기제 변화도 현재 모형에는 포함하지 않는다.

정의된 값과 식별된 값 구별하기

pi=1, e_0=e_1=1, 질의 a=0으로 두자. 관측 사례는 모두 X=1이어서 P(X=0)=0이다. 관측 조건부 평균은 0이 아니라 미정이다. 반면 선언한 SCM에는 보지 못한 배정의 결과식도 있으므로 mu_0=0.7로 정의된다.

실습은 목표 확률이 양수인 모든 Z 층에서 질의 처치가 관측될 가능성이 있는지 별도로 검사한다. 이 Support 조건이 충족될 때만 backdoor 식별 평균을 표시한다. Oracle 값을 계산했다고 관측되지 않은 가정을 실증한 것은 아니다. 관측 연구에서는 일관성과 조건부 교환가능성도 필요하다. 지금은 독립 잡음의 생성 모형이 이 가정을 명시적으로 제공한다. 목표 질량이 0인 층은 합에 기여하지 않으므로 불필요한 Support를 요구하지 않는다.

손계산 문제와 풀이

pi=0.5, e_0=e_1=0.5로 설정하자. 관측 X=1 평균, 고정 do(1) 평균, r=0.5 정책 평균을 비교하라.

풀이. 배정이 Z와 독립이므로 관측 집단의 층 구성은 원래 P(Z)와 같다. 관측 평균과 고정 do(1) 평균은 모두 0.6이다. 정책은 절반에게 평균 0.4인 do(0)을 실행하므로 전체 정책 평균은 0.5다. 관측과 특정 고정 개입이 일치해도 모든 확률적 정책이 그 개입과 같아지는 것은 아니다.

AI 정책 평가와 연결하기

추천기나 제어기를 바꿀 때 포함 대상, 행동 배정 규칙, 불변이라고 가정한 환경 기제, 결과를 측정할 시간 범위를 먼저 정하자. 로그의 조건부 성능에는 사용자나 과제의 선택 효과가 섞일 수 있다. 지금 단원은 알려진 모집단 기제를 계산한다. 다음 식별 가능성과 off-policy 단원에서는 기제를 모를 때 관측 로그만으로 무엇을 복원할 수 있는지 다룬다.

원전과 더 읽기

• Judea Pearl, A Causal Calculus for Statistical Research: 관측과 개입 연산자.
• Miguel Hernán·James Robins, Causal Inference: What If: 개입의 정의·교환가능성·positivity.

수치 결과 기제와 정책 계산은 직접 구성한 교육용 예제다.