상호작용·비가우스 연결 상관

1. 공분산 행렬만으로 알 수 없는 것

네 개의 이진 검출기가 각각 +1 또는 −1을 보고한다고 생각해 봅시다. 모든 검출기의 평균이0이고 모든 쌍의 공분산도0입니다. 그러면 네 검출기가 독립일까요? 그렇지 않습니다. 네 출력의 곱이 +1 쪽으로 치우치는 의존성은 이차 통계만으로 보이지 않을 수 있습니다.

이 단원에서는 평균과 공분산이 같지만 사차 연결 상관이 다른 두 분포를 만듭니다. 모든 배치의 확률은 엄격히 양수입니다. 또한 이웃 스핀의 상호작용을 살펴보며 원천 변화가 공분산 자체를 바꾸는 모습을 비교합니다. 앞 단원의 고정된 이차 가우스 가족에서 성립했던 성질을 일반 분포에 그대로 적용하지 않는 연습입니다.

모형은 유한한 고전 평형 분포입니다. 첨자는 시간 순서가 아닌 위치 또는 성분을 가리킵니다. 통계적 의존성을 발견했다고 인과적 설명을 얻은 것은 아니며, 이 계산은 관측 자료에서 인과 효과를 추정하는 절차가 아닙니다.

2. 배치 공간과 상호작용을 선언하기

n=4,…,8개 위치에 sᵢ∈{−1,+1}인 스핀을 놓습니다. 열린 사슬에는 (0,1),…,(n−2,n−1) 간선이 있고 주기 고리는 (n−1,0)을 추가합니다. 이웃 스핀 곱의 합을 S, 첫 네 위치의 곱을 R로 정의합니다.

$$S(s)=\sum_{(i,j)\in E}s_i s_j,\qquad R(s)=s_0s_1s_2s_3,\qquad U(s)=-J S(s)-gR(s)-\sum_i h_i s_i.$$

사체 항은 지정한 위치0,1,2,3에 한 번만 작용합니다. 모든 네 위치 조합이나 이동하는 네 위치 창을 합산하는 항이 아닙니다. n>4에서도 이 정의는 같습니다. 이 항을 명시적으로 추가하면 배치 공간을 바꾸지 않고 높은 차수 의존성의 반례를 만들 수 있습니다.

J>0은 이웃 정렬을, J<0은 반대 방향을 선호합니다. g>0은 첫 네 위치에서 아래 스핀의 수가 짝수인 배치를 선호합니다. 유한 계수에서 어느 한 배치만 강제되는 것은 아니며 모든 배치의 확률이 양수입니다.

3. 입력 인자는 물리적 에너지가 아니다

Boltzmann 상수를1로 둡니다. 반올림한 지수함수로 가중치를 구하는 대신 양의 유리수 인자를 입력합니다.

$$q=e^{J/T},\qquad r=e^{g/T},\qquad p_i=e^{h_i/T},\qquad w(s)=q^{S(s)}r^{R(s)}\prod_i p_i^{s_i}.$$

q=2는 J=T log2라는 뜻이지 J=2라는 뜻이 아닙니다. pᵢ=1은 물리 원천 hᵢ=0을 뜻합니다. 1보다 작은 인자는 음의 물리 계수에 대응하지만 인자 자체에 음수를 넣어서는 안 됩니다.

허용 범위는 q,r,pᵢ∈[1/16,16], 0<T≤16입니다. 분자·분모는 각각12자리까지이며0, 소수점, 지수 표기, 앞자리0, 잘못된 벡터 길이를 거부합니다. 동치인 분수 표기는 원래 입력에 보존하되 산술에서는 기약분수로 계산합니다. 이 규약은 모든 실수 에너지를 유리수 인자로 표현할 수 있다고 주장하는 것이 아닙니다.

4. 셈 측도로 정규화하기

2ⁿ개 배치를 각각 한 번씩 셉니다.

$$Z=\sum_{s\in\{-1,+1\}^n}w(s),\qquad P(s)=\frac{w(s)}{Z},\qquad \langle A\rangle=\sum_s P(s)A(s).$$

적분 셀의 너비, 연속 측도, 버리는 배치, Monte Carlo 초기 안정화 구간은 없습니다. 유한한 양의 인자라면 Z는 양의 유한 값입니다. 계산은 모든 배치 확률과 총자화 히스토그램을 반환하므로 확률 합을 직접 확인할 수 있습니다.

물리 계수에 대한 양의 지수함수의 유한 합은 매끄럽습니다. 유한 히스토그램의 뾰족한 모양을 열역학적 특이점으로 부르면 안 됩니다. 자발적 대칭 깨짐에서 무한계 극한의 순서를 구분하는 배경은 Tong의 통계장이론 §1.2.1을 참고하세요.

5. 정수 가중치로 정확하게 계산하는 이유

기약분수 인자 a/b가 σ=±1제곱으로 나타날 때 ab를 곱하면 σ=+1에서는 a², σ=−1에서는 b²가 됩니다. 위치별 인자, 각 간선 인자, 사체 인자에 이 작업을 적용합니다.

$$D=\prod_f a_f b_f,\qquad W(s)=D w(s)\in\mathbb N, \qquad P(s)=\frac{W(s)}{\sum_{s'}W(s')}.$$

D는 최소 공통분모일 필요가 없습니다. 확률에서는 소거되고 분배함수는 Z=(∑W)/D로 정확하게 남습니다. 큰 정수는 계산 비용을 늘리지만 물리적 발산을 뜻하지는 않습니다.

아래 스핀을 비트1로 표시하면 스핀 곱은 해당 비트들의 홀짝 문자입니다. 구현은 정수 가중치의 Walsh 변환으로 모든 부분집합 모멘트를 구합니다. 이 변환을 두 번 적용하면 정확히 2ⁿW로 돌아와야 합니다. 독립 참조는 변환을 재사용하지 않고 각 유리수 가중치와 스핀 곱을 직접 합산합니다.

6. 반복 삽입의 중복도를 지키기

μᵢ=⟨sᵢ⟩, Cᵢⱼ=⟨sᵢsⱼ⟩−μᵢμⱼ로 정의합니다. sᵢ²=1이므로 원래 모멘트는 단순해집니다.

$$\langle s_i^2\rangle=1,\qquad \langle s_i^3\rangle=\mu_i,\qquad C_{ii}=1-\mu_i^2.$$

하지만 중심화한 제곱 (sᵢ−μᵢ)²은 항상1이 아닙니다. 원래 스핀 곱을 단순화한 뒤 평균 항을 정확히 넣는 것은 괜찮지만, 중심화한 반복 삽입까지 무조건1로 바꾸면 안 됩니다.

네 관측 첨자는 이름표가 있는 삽입 자리이며 같은 위치가 반복되어도 됩니다. 분할이나 Wick 쌍짓기를 만들 때 자리의 중복도는 유지해야 합니다. 네 자리가 모두 같은 위치여도 쌍짓기는 세 가지입니다.

7. 원천이 모멘트와 연결 상관을 생성한다

현재 분포에 물리 원천 h와 별개인 무차원 보조 원천 t를 도입하여 M(t)=⟨exp(tᵀs)⟩로 둡니다. M(0)=1이며 M의 미분은 원래 모멘트, log M의 미분은 누적량을 생성합니다.

$$\partial_{t_i}\log M(0)=\mu_i,\qquad \partial_{t_i}\partial_{t_j}\log M(0)=C_{ij}.$$

독립인 변수 묶음에서는 M이 곱으로 분해되고 log M은 합이 됩니다. 따라서 독립 묶음을 함께 가로지르는 혼합 미분이0입니다. 이것이 하나의 비가우스 변수의 높은 누적량도0이라는 뜻은 아닙니다. 정의와 삽입 자리의 분할 유도는 Helias와 Dahmen의 §§II.3–II.4를 참고하세요.

물리 원천을 미분할 때는 T,J,g와 다른 물리 원천을 고정하고 pᵢ=exp(hᵢ/T)를 바꿉니다. 미분마다1/T가 삽입됩니다. 입력 화면이 유리수 인자를 받더라도 이 국소 미분은 연속인 물리 원천의 함수에서 수학적으로 정의됩니다.

8. 삼차 누적량은 응답 변화까지 담는다

삼차 누적량은 중심 삼차 모멘트와 같습니다.

$$\kappa_{ijk}=\langle s_i s_j s_k\rangle -\mu_i\langle s_j s_k\rangle-\mu_j\langle s_i s_k\rangle -\mu_k\langle s_i s_j\rangle+2\mu_i\mu_j\mu_k.$$

그 부호가 쌍 공분산의 부호만으로 결정되지는 않습니다. 전체 스핀 반전에 대칭인 입력에서는 모든 홀수 원래 모멘트와 삼차 누적량이0입니다. 국소 원천이 이 대칭을 깨면 삼차량이 나타날 수 있습니다.

감수율은 χᵢⱼ=Cᵢⱼ/T입니다. 고정된 이차 가우스 가족과 달리 여기서는 h에 따라 C도 바뀔 수 있습니다. 원천에 대한 감수율의 미분은 ∂χᵢⱼ/∂hₖ=κᵢⱼₖ/T²입니다. 삼차 누적량은 공분산의 다른 이름이 아니라 선형 응답이 처음 어떻게 변하는지를 나타냅니다.

9. 사차 누적량은 공분산 쌍 세 항을 제거한다

ηᵢ=sᵢ−μᵢ로 두면 사차 누적량은 다음과 같습니다.

$$\kappa_{ijkl}=\langle\eta_i\eta_j\eta_k\eta_l\rangle -C_{ij}C_{kl}-C_{ik}C_{jl}-C_{il}C_{jk}.$$

이 항등식은 가우스 가정 없이 현재의 유한 분포에도 적용됩니다. 가우스 Wick 규칙이라면 중심 사차 모멘트가 세 쌍 항의 합과 같아져 κ₄=0이 됩니다. 여기서는 그 등식이 강제로 적용할 계산 규칙이 아니라 확인할 가설입니다.

원래 모멘트로 풀면 네 삽입 전체 항1개, 삼차와 평균 곱4개, 이차끼리 곱3개, 이차와 두 평균의 곱6개에 계수+2, 네 평균 곱에 계수−6이 붙습니다. 네 삽입 자리의 분할15가지를 모두 세는 구조이며 반복 위치에서도 그대로 유효합니다.

10. 독립이어도 가우스는 아니다

q=r=pᵢ=1이면 스핀은 독립이고 평균0입니다. 네 개의 서로 다른 위치를 관찰하면 혼합 사차 누적량은0입니다. 그러나 한 위치를 네 번 관찰하면 다릅니다.

$$\langle s_0^4\rangle=1,\qquad C_{00}=1,\qquad \kappa_{0000}=1-3=-2.$$

독립 Rademacher 스핀은 가우스 변수가 아닙니다. 분산1인 가우스 변수의 사차 모멘트는3입니다. 서로 다른 위치의 독립성과 한 위치 분포의 모양은 다른 질문입니다.

따라서 사차 누적량이 비영이라는 사실만으로 서로 다른 위치 사이의 상호작용을 증명할 수 없습니다. 관측 첨자와 어떤 기준 분포를 기각하려는지 함께 적어야 합니다.

11. 같은 평균과 공분산으로 다른 사차 구조 만들기

q=pᵢ=1에서 r만 바꿉니다. R=±1이므로 rᴿ=(r+r⁻¹)/2+R(r−r⁻¹)/2로 쓸 수 있습니다. 스핀을 합산하면

$$Z=2^{n-1}(r+r^{-1}),\qquad \mu=0,\qquad C=I, \qquad \langle R\rangle=\kappa_{0123}=\frac{r^2-1}{r^2+1}.$$

첫 네 스핀의 진부분집합은 균일 분포를 유지합니다. 관찰하지 않은 스핀을 반전시키면 홀짝 기여가 상쇄되기 때문입니다. 따라서 모든 쌍 공분산이 그대로여도 네 변수의 공동 의존성은 달라집니다.

n=4,r=2에서 R=+1인8배치는 각각 확률1/10, R=−1인8배치는 각각1/40입니다. 두 집단의 총확률은4/5와1/5이고 사차 누적량은3/5입니다. r=1인 독립 기준의 평균·공분산은 같지만 사차 누적량은0입니다. 어느 분포에도 확률0인 배치는 없습니다.

12. 치우친 스핀에서 잘못된 빼기 드러내기

q=r=1, p₀=2이고 나머지 pᵢ=1로 둡니다. 첫 스핀의 두 확률은4/5와1/5이므로 μ₀=3/5입니다. 첨자0을 네 번 관찰하면 다음 값을 얻습니다.

양	정확한 값
분산	16/25
중심 삼차 모멘트·삼차 누적량	−96/125
원래 사차 모멘트	1
중심 사차 모멘트	832/625
공분산 세 쌍 항의 합	768/625
올바른 사차 누적량	64/625
원래 사차에서 원래 이차 쌍 곱만 뺀 잘못된 값	−2

잘못된 식은 부호마저 다릅니다. 필요한 평균 항과 삼차 항을 버렸기 때문입니다. 이 스핀은 나머지 스핀과 독립인 상태를 유지하지만 원천에 따라 자신의 공분산과 높은 응답이 변합니다.

13. 이웃 상호작용만으로도 비가우스 연결량이 생긴다

기본 네 위치 고리의 입력은 q=2,r=pᵢ=T=1입니다. 완전 정렬2배치는 각각 가중치16, 서로 다른 방향의 간선이2개인12배치는 각각1, 교대2배치는 각각1/16입니다. 따라서 Z=353/8입니다.

첫 공분산 행은 (1,255/353,225/353,255/353)입니다. 서로 다른 네 관측 위치에서 원래 사차와 중심 사차 모멘트는 모두225/353입니다. Wick 세 쌍 곱의 분자는65025,50625,65025이고 공통 분모는124609입니다. 결과적으로 κ₀₁₂₃=−101250/124609입니다.

이 예제에서 사체 인자는1입니다. 이차 에너지 상호작용만 있어도 높은 연결 상관은 생길 수 있습니다. 반대로 어떤 특정 사차 누적량이0이라고 분포 전체가 가우스라고 판정할 수는 없습니다.

14. 유한 부피 대칭을 상 진단과 구분하기

모든 pᵢ=1이면 전체 반전 s↦−s가 S와 R을 보존합니다. 각 배치와 반전 배치의 가중치가 같고 모든 홀수 부분집합 모멘트가 정확히0입니다. 짝수 차수 상호작용이 정렬을 매우 강하게 선호해도 이 결과는 같습니다.

원천이 있을 때 모든 pᵢ를 역수로 바꾸면 분포가 반전됩니다. 평균과 홀수 누적량의 부호는 바뀌고 공분산과 사차 누적량은 유지됩니다. 수치 미분 없이 수행할 수 있는 정확한 대칭 검사입니다.

총자화 히스토그램이 두 봉우리를 가져도 전체 평균은0일 수 있습니다. 평균0은 큰 요동과 공존하며 독립성을 뜻하지 않습니다. 유한계의 이 그림만으로 자발적 대칭 깨짐을 증명하지 않습니다.

15. 경계와 좌절이 분포를 바꾼다

q=2,r=pᵢ=T=1인 열린 네 위치 사슬의 Z는125/4, 첫 공분산 행은 (1,3/5,9/25,27/125)입니다. 마지막 간선을 추가해 고리를 만들면 그래프와 분배함수, 상관이 바뀝니다. 단순히 그림을 둥글게 배치하는 변화가 아닙니다.

q<1에서 짝수 고리는 모든 이웃을 교대로 놓을 수 있지만 홀수 고리는 불가능합니다. 모든 간선 스핀 곱을 다시 곱하면 각 스핀이 두 번 나타나 항상+1입니다. 홀수 개 간선을 모두 선호하는−1로 만들면 전체 곱이−1이 되어 모순입니다. 적어도 한 간선은 선호 패턴을 만족할 수 없습니다.

이것은 정확한 조합론적 장애입니다. q=1/2인 다섯 위치 고리의 그림은 이를 보여 주지만 증명 자체는 아닙니다. 몇 개 위치의 상관을 지수함수로 맞추어 무한계 상관 길이를 선언하지 않습니다.

16. 상호작용 계수에도 짝을 이루는 관측량이 있다

θ=log q, γ=log r로 쓰면 각 계수의 미분은 S와 R을 삽입합니다.

$$\partial_\theta\log Z=\langle S\rangle,\quad \partial_\theta^2\log Z=\operatorname{Var}(S),\quad \partial_\gamma\log Z=\langle R\rangle,\quad \partial_\theta\partial_\gamma\log Z=\operatorname{Cov}(S,R).$$

계산은 이 충분통계들의 모멘트와 Var(R)=1−⟨R⟩²을 반환합니다. 물리 계수 J,g를 미분하면1/T가 추가됩니다. q 자체를 미분하는 경우도 구분해야 하며 ∂q log Z=⟨S⟩/q입니다.

지수족을 학습할 때 모수 기울기는 그 모수와 짝을 이루는 관측량에 연결됩니다. 사체 통계를 이차 통계로 바꾸면 같은 모형을 계산하는 것이 아니라 학습할 모형을 바꾸는 것입니다.

17. 온도는 어떤 경로로 바꾸는가

q,r,p를 유지한 채 T만 두 배로 바꾸면 분포 전체가 같습니다. J,g,h는 T와 인자 로그의 곱이므로 모두 두 배가 됩니다. 공분산은 그대로지만 감수율 C/T는 절반입니다. 이것은 물리적 에너지의 재척도이며 같은 Hamiltonian을 가열한 것이 아닙니다.

실제 에너지를 고정하고 T=1에서2로 바꾸려면 q=4→2, r=9→3, p₀=4→2, 나머지 원천 인자1을 사용합니다. 인자가 제곱근으로 바뀌어 J=log4, g=log9, h₀=log4가 유지됩니다. 특별히 고른 이 예제는 제곱근도 유리수라 정확히 표현할 수 있습니다.

고정 T에서 물리 원천 미분의 계층은 다음과 같습니다.

$$\partial_{h_i}\log Z=\mu_i/T,\quad \partial_{h_i}\partial_{h_j}\log Z=C_{ij}/T^2,\quad \partial_h^3\log Z=\kappa_3/T^3,\quad \partial_h^4\log Z=\kappa_4/T^4.$$

평균의 선택된 이차·삼차 원천 미분은 각각 κ₃/T², κ₄/T³입니다. 첫 관측 자리는 어느 평균을 읽는지, 나머지 자리는 어느 원천을 바꾸는지 지정합니다.

18. 정확한 계산이 확인하는 범위

확률·모멘트·누적량·응답은 모두 기약 유리수입니다. 물리적 에너지를 정의하는 로그는 해석식으로 남기며 log2가 유리수라고 주장하지 않습니다. 최대256배치를 전부 합산하는 방법이므로 위치 수에 지수적으로 비용이 증가합니다.

생산 계산은 공통 분모의 정수와 Walsh 변환을 사용합니다. 별도 Python Fraction 참조는 유리수 가중치를 직접 합산하고 스핀 곱 및 삽입 자리의 분할로 누적량을 만듭니다. 중심화한 곱도 직접 합산하여 비교합니다. 명시적 예제·고정 난수 입력·극한 인자에서 대조합니다.

정규화·양의 확률·스핀 대각 항등식·반전 대칭·반복 첨자·변환 역복원은 추가 검사입니다. 유한한 참조 모음의 일치를 모든 허용 입력의 형식적 증명으로 부르지 않습니다. 브라우저 Worker와 실제 교재 연결에는 전송·생명주기·접근성을 별도로 확인해야 합니다.

19. AI 연구에 연결해 보기

모집단 평균과 공분산만 읽는 이차 특징 표현은 독립 기준과 순수 사체 예제를 구분하지 못합니다. 홀짝 특징 s₀s₁s₂s₃를 추가하면 구분할 수 있습니다. 이것은 표현의 정보에 관한 정확한 반례이며 모든 신경망에 특정 구조가 필요하다는 주장은 아닙니다.

에너지 기반 모형을 평가할 때 훈련 쌍 상관의 일치뿐 아니라 충분통계와 별도 평가 자료의 높은 모멘트도 비교해 볼 수 있습니다. 실제 자료에서 사차 누적량을 추정하면 표본 불확실성과 전처리 민감도가 생깁니다. 여기 계산은 모집단 값을 제공하므로 그 경험적 오차는 별도 실험으로 확인해야 합니다.

이어지는 공간 스펙트럼 단원은 위치 차이와 파수에 따른 공분산을 다룹니다. 높은 차수 의존성과 공간 감쇠는 서로를 대신하는 개념이 아니며 두 관점을 함께 살펴야 합니다.

20. 해설을 포함한 확인 문제

1. 쌍 공분산0이면 독립인가요? 아닙니다. q=pᵢ=1,r=2에서 μ=0,C=I이지만 κ₀₁₂₃=3/5입니다. 사차 관측이 독립 스핀 기준과 구분합니다.
2. 사차 누적량이 비영이면 상호작용이 있나요? 반드시 그렇지는 않습니다. 독립 평균0 스핀 하나를 네 번 관찰하면 κ₀₀₀₀=−2입니다. 첨자 중복과 같은 위치 분포의 모양을 구분해야 합니다.
3. 네 위치 순수 사체 예제에서 r=2의 분배함수는? 가중치2인8배치와1/2인8배치를 더해 Z=20입니다. 개별 확률은1/10과1/40입니다.
4. 평균이 있을 때 원래 사차에서 원래 이차 쌍만 빼면 왜 틀리나요? 평균과 삼차 항을 빠뜨립니다. 치우친 독립 스핀에서는−2를 주지만 올바르게 중심화하고 공분산 쌍을 빼면64/625입니다.
5. 고정 q,r,p에서 T만 두 배로 바꾸면? 분포·공분산은 같고 물리 에너지는 두 배, 감수율은 절반입니다. 에너지를 고정한 가열이 아닙니다.
6. 물리 원천0에서 홀수 모멘트는 왜0인가요? 전체 반전으로 같은 가중치와 반대 홀수 관측량을 가진 배치를 짝지을 수 있습니다. 짝수 이웃·사체 상호작용은 이 대칭을 보존합니다.
7. 홀수 반강자성 고리는 모든 간선을 만족할 수 있나요? 불가능합니다. 모든 간선 곱의 곱은+1이어야 하는데 홀수 개의 선호하는−1을 곱하면−1이기 때문입니다.
8. 평균의 삼차 원천 미분은 어느 누적량으로 구하나요? 사차 누적량을 T³으로 나눕니다. 첫 삽입 자리는 평균 성분, 나머지 세 자리는 원천 변화 성분입니다.

21. 읽을거리와 다음 단계

유한 Ising 모형과 유한계·무한계의 구분은 Tong의 §1, 원천 규약은 §2.2를 비교해 읽으세요. 모멘트·누적량과 가우스 Wick 규칙의 특수성은 Helias와 Dahmen의 §§II–III를 참고하세요.

유리수 인자 매개화, 입력 한도, 순수 사체 교육 반례와 정확한 참조 검사는 이 교재를 위해 여기서 유도한 구성입니다. 이를 위 자료에서 인용한 고유 구성이라고 소개하지 않습니다. 일반 상호작용 연속 장·재규격화·임계 지수·양자 시간순서 상관은 별도 학습 범위입니다.