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기댓값·분산과 불확실성

가능한 값의 가중 평균과 평균 주변의 퍼짐을 따로 계산합니다.

87 / EXPECTATION VARIANCE LAB
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먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

가능한 값의 가중 평균과 평균 주변의 퍼짐을 따로 계산합니다.

-121축 범위는 현재 값에 맞춰 조절합니다.
가로: X의 값 · 세로: 확률질량
정규화한 확률평균 위치

P(X=−1,0,2) = (0.25, 0.5, 0.25)

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
1 / 4

가중치 정규화

가중치 (1,2,1)은 확률 (1/4,1/2,1/4)입니다.

p=(0.25,0.5,0.25)

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

평균 하나로 모든 불확실성을 설명할 수는 없다

두 예측기의 평균 오차가 같아도 변동은 크게 다를 수 있습니다. 기댓값은 가중 중심, 분산은 그 중심 주변의 제곱 퍼짐입니다. 둘 중 하나만으로 분포가 정해지지는 않습니다. 이 단원은 모든 가능성을 직접 볼 수 있는 작은 분포로 두 양을 유도합니다.

XX는 −1,0,2-1,0,2를 확률 1/4,1/2,1/41/4,1/2,1/4로 갖습니다. 실험은 음이 아닌 가중치를 받아 합으로 정규화합니다. 정규화를 명시하기 전에는 가중치를 확률이라고 부르지 마세요.

정의와 단위

양 정의
평균 μ\mu E[X]=∑xxp(x)E[X]=\sum_xxp(x)
이차 모멘트 E[X2]=∑xx2p(x)E[X^2]=\sum_xx^2p(x)
분산 E[(X−μ)2]E[(X-\mu)^2]
표준편차 Var⁡(X)\sqrt{\operatorname{Var}(X)}

이 유한분포는 필요한 모멘트가 모두 존재합니다. 값이 무한히 커질 수 있는 일반 변수는 적분 가능 조건을 확인해야 합니다. 정의하는 합이나 적분이 발산하면 공식을 적는다고 유한한 모멘트가 생기지 않습니다. XX가 m 단위라면 평균·표준편차는 m, 분산은 m²입니다.

기준 예제 손계산

평균은 (−1)/4+0/2+2/4=0.25(-1)/4+0/2+2/4=0.25입니다. 먼저 제곱하면 E[X2]=1/4+4/4=1.25E[X^2]=1/4+4/4=1.25이고, 평균을 제곱한 값은 0.06250.0625입니다.

E[(X−μ)2]=E[X2]−2μE[X]+μ2=E[X2]−μ2=1.1875.E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-2\mu E[X]+\mu^2 =E[X^2]-\mu^2=1.1875.

표준편차는 약 1.089725입니다. 평균 0.25는 가능한 관측값에 없지만 문제가 아닙니다. 가중 중심이지 반드시 나오는 결과가 아닙니다.

직접 계산으로도 검산하세요. 제곱 편차는 1.5625,0.0625,3.06251.5625,0.0625,3.0625이고 확률로 가중하면 1.1875입니다. 두 계산의 일치는 산술 검산이고, 위 전개가 일반 항등식을 설명합니다.

평행 이동과 배율 변경

선형성으로 E[aX+b]=aE[X]+bE[aX+b]=aE[X]+b입니다. 이 평균을 빼면

Var⁡(aX+b)=a2Var⁡(X)\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)

입니다. 상수를 더하면 중심만 이동하고 퍼짐은 같습니다. 두 배로 늘리면 표준편차는 두 배, 분산은 네 배입니다. 단위 없이 분산을 비교하면 스케일 차이를 놓칠 수 있습니다.

공분산은 E[(X−E[X])(Y−E[Y])]E[(X-E[X])(Y-E[Y])]입니다. 따라서 Var⁡(X+Y)=Var⁡(X)+Var⁡(Y)+2Cov⁡(X,Y)\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)입니다. 공분산을 확인하지 않고 분산만 더하면 불확실성을 과소평가할 수 있습니다. 유한 이차 모멘트 아래 독립이면 무상관이지만, 무상관이 항상 독립을 뜻하지는 않습니다.

평균이 제곱 손실에 중요한 이유

상수 예측 aa의 제곱 손실을 평균 주변에서 전개하면

E[(X−a)2]=Var⁡(X)+(a−μ)2E[(X-a)^2]=\operatorname{Var}(X)+(a-\mu)^2

입니다. E[X−μ]=0E[X-\mu]=0이어서 교차항이 사라집니다. 그러므로 유한 이차 모멘트가 있을 때 평균은 상수 예측 중 기대 제곱 오차를 최소화합니다. 모든 손실에서 평균이 최적인 것은 아닙니다. 절대 오차는 중앙값을 선택하므로 목적함수가 달라지면 최적 예측도 달라집니다.

실험을 정확히 읽기

파랑 막대는 확률, 주황 선은 평균의 가로 위치입니다. 선 높이는 표시용이며 추가 확률질량이 아닙니다. 가중치를 바꾸면 중심과 퍼짐이 함께 달라집니다. 한 점 집중 예제는 X=2X=2가 확실하여 분산이 0입니다. 비대칭 예제의 확률 (0.6,0.2,0.2)(0.6,0.2,0.2)는 평균 −0.2-0.2, 분산 1.36을 줍니다.

이것은 알려진 분포에서 계산한 모집단 양입니다. 표본으로 분산을 추정하는 문제는 별도입니다. 흔히 쓰는 표본 분모 n−1n-1은 독립 동일분포 같은 가정 아래 정당화되며 모집단 분산의 정의를 바꾸는 것이 아닙니다.

연습과 연구 연결

  1. 2X+32X+3의 평균과 분산은? 답: 3.5와 4.75입니다.
  2. 유한 이차 모멘트에서 E[X2]≥E[X]2E[X^2]\ge E[X]^2인 이유는? 답: 차이가 음이 아닌 분산입니다.
  3. 평균이 같고 분산이 다른 두 분포를 만드세요.
  4. 논문의 오차막대가 표본 간 변동인지, seed 간 변동인지, 평균 추정의 불확실성인지 구분하세요. 서로 다른 표집 질문입니다.

배경은 MIT Introduction to Probability를 참고하세요. 실제 데이터로 확장할 때는 표집 단위와 의존성 가정을 먼저 기록하세요.

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설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. 분산의 단위는?
2. 평균을 제곱하면 항상 E[X²]인가요?

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