AI를 위한 물리와 수학

명제·조건과 논리적 함의

조건이 충분하다는 말과 필요하다는 말을 진리표로 구분합니다.

P⇒Q ≡ ¬P∨Q ≡ ¬Q⇒¬P

∀x∃y R(x,y) ≠ ∃y∀x R(x,y)

양화사·증인과 반례

모든 입력마다 다른 답을 고를 수 있는 것과 공통 답 하나가 존재하는 것은 다릅니다.

집합·함수와 역상

원소의 소속과 함수의 입력·출력 공간을 구분하여 데이터 변환을 읽습니다.

f:D→C · image(f) ⊆ C

equivalence: reflexive ∧ symmetric ∧ transitive

동치관계와 부분순서

같다고 묶는 관계와 앞뒤를 비교하는 관계의 조건을 따로 검사합니다.

정의·가정과 증명 전략

유한 검사와 일반 증명을 구분하고 직접·대우·모순 논증을 연결합니다.

n² even ⇒ n even

P(0) ∧ ∀k≥0(P(k)⇒P(k+1)) ⇒ ∀n≥0 P(n)

수학적 귀납법과 유한 검사의 한계

시작점과 다음 단계의 연결로 무한한 명제를 증명하고 그럴듯한 패턴을 반례와 비교합니다.

a/b = (ka)/(kb), b≠0, k≠0

수·분수·비율과 단위

같은 양의 다른 표현과 서로 다른 차원의 양을 구분합니다.

실수와 복소수 평면

수의 범위를 넓히고 복소수 곱셈을 회전과 크기로 해석합니다.

z=a+bi · |z|=√(a²+b²)

방정식·부등식과 해의 집합

해를 하나의 숫자라고 가정하지 않고 없는 경우·여러 경우·구간으로 나눕니다.

ax=b · x²+ax+b≤0

(x²−1)/(x−1)=x+1 only if x≠1

다항함수·유리함수와 정의역

식을 약분해도 사라지지 않는 정의역의 제한을 그림에서 확인합니다.

logₐ y=x ⇔ aˣ=y, a>0, a≠1, y>0

지수·로그와 척도

곱셈을 덧셈으로 바꾸는 로그와 밑·정의역의 조건을 연결합니다.

삼각함수·좌표·거리와 각

각도를 좌표로 바꾸고 주기성과 거리 계산을 같은 그림에서 확인합니다.

p=(r cosθ,r sinθ)

h=f∘g · g(x)=ax+b · f(u)=u²

함수 합성과 역함수의 조건

계산 순서와 입력 범위가 역변환 가능성을 어떻게 바꾸는지 살펴봅니다.

수열·부분합과 급수

항이 작아지는 것과 누적 합이 수렴하는 것을 구분합니다.

S_N=Σₙ₌₀ᴺ⁻¹ arⁿ

f(n)=O(n) ⇔ ∃C>0,∃n₀,∀n≥n₀:f(n)≤Cn

점근 표기와 성장률

유한 관측과 충분히 큰 입력에서의 상한을 구분합니다.

P(n,k)=n!/(n−k)!; C(n,k)=P(n,k)/k!

세기·순열·조합

순서와 중복 허용 여부를 먼저 정하면 셀 대상이 명확해집니다.

이항계수·포함배제

겹친 원소를 두 번 셌다면 한 번 빼서 각 원소의 기여를 맞춥니다.

|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|

aₙ=paₙ₋₁+qaₙ₋₂; G(x)=x/(1−px−qx²)

점화식·생성함수

이전 상태를 잇는 규칙을 계수로 저장하면 무한 수열을 하나의 형식적 식으로 다룰 수 있습니다.

DAG ⇔ a topological order exists

그래프·트리·DAG

방향을 지운 트리와 방향 순환이 없는 그래프는 서로 다른 조건입니다.

(Aᵏ)ₛₜ = number of length-k walks

연결성·경로·순환

도달 가능성, 최단 경로, 고정 길이 보행 수는 서로 다른 질문입니다.

¬(x∧y)=¬x∨¬y; F=⊕ a_S∏x_i

Boolean 대수와 논리 표현

진리표·논리식·GF(2) 다항식은 같은 함수를 다른 규칙으로 표현합니다.

오토마타·형식언어

전체 입력을 기억하는 대신 앞으로의 판단에 필요한 유한 상태만 남깁니다.

δ*(q,wa)=δ(δ*(q,w),a)

부분순서·격자

비교할 수 없는 두 집합도 공통 하한과 공통 상한을 가질 수 있습니다.

A∧B=A∩B; A∨B=A∪B

sₜ₊₁=T(sₜ); sₜ₊λ=sₜ for t≥μ

유한 상태와 전이

결정적 유한계에서는 같은 상태를 다시 만나면 이후 궤적이 반복됩니다.

VECTOR LAB

벡터와 힘의 합

방향이 다른 두 힘은 어떻게 더해질까요?

F₁ + F₂ = Fnet

PROJECTION LAB

내적과 직교투영

한 벡터가 다른 방향을 얼마나 담고 있을까요?

u = projᵥ u + r

행렬과 선형변환

행렬 하나가 공간 전체를 바꾸는 방법

y = Ax

REGRESSION LAB

선형방정식과 최소제곱

모든 점을 맞출 수 없을 때, 무엇을 가장 가깝다고 할까요?

xᵀ(y − a*x) = 0

EIGEN LAB

고유값과 주성분 분석

변환에도 유지되는 방향으로 데이터의 퍼짐을 읽기

Aq = λq

GRADIENT LAB

그래디언트와 학습률

작게 내려가는 한 걸음이 학습이 되려면

pnext = p − η∇L

CHAIN RULE LAB

연쇄법칙과 국소 변화

작은 변화는 함수의 각 단계를 어떻게 통과할까요?

dy/dx = (dy/du)(du/dx)

JACOBIAN LAB

Jacobian과 계산 그래프

여러 입력과 출력의 변화는 어떻게 모아질까요?

ΔF ≈ Jd · ∇(qᵀF) = Jᵀq

BACKPROP LAB

역전파와 자동미분

하나의 손실에서 모든 매개변수의 기울기를 구해봅니다.

θnew = θ − η∇θL

SVD LAB

SVD와 저랭크 근사

직사각형 선형변환의 늘어남을 분해하고 버릴 정보의 크기를 계산합니다.

A = UΣVᵀ · ‖A−A₁‖F = σ₂

벡터공간·기저·랭크·영공간

독립인 방향의 수와 사라지는 입력의 차원을 함께 계산합니다.

dim ker A + rank A = 2

행렬식·trace와 기저 불변량

면적의 부호 있는 변화와 대각합의 기저 불변성을 구분합니다.

det A=ad−bc; tr A=a+d

대칭·양의 준정부호 행렬

대각 원소가 양수인 것과 모든 방향의 이차형식이 음이 아닌 것은 다릅니다.

A⪰0 ⇔ vᵀAv≥0 for every v

이차형식·행렬 부등식

한 방향의 상한과 모든 방향에서의 행렬 상한은 다른 주장입니다.

A⪯CI ⇔ λmax(A)≤C

Kronecker 곱·벡터화

행렬을 벡터로 펼칠 때 열 우선 순서와 곱의 순서를 함께 고정합니다.

vec(AXBᵀ)=(B⊗A)vec(X)

limₓ→₁f(x)=f(1) ⇔ continuity at 1

극한·연속·실수의 완비성

점의 함수값과 주변에서 접근하는 값을 분리하고 실수의 빈틈 없음이 쓰이는 곳을 찾습니다.

미분 가능성과 평균값정리

접선의 존재 조건과 구간 평균 변화율이 한 점에서 실현되는 조건을 구분합니다.

f′(c)=(f(b)−f(a))/(b−a)

F(x)=∫₀ˣt²dt=x³/3; F′(x)=x²

적분·누적과 미적분 기본정리

작은 면적의 합과 누적 함수의 도함수를 연결하고 유한 합의 오차를 계산합니다.

Taylor 전개와 나머지

다항 근사와 실제 오차, 오차를 보장하는 상한을 함께 읽습니다.

exp(x)=Σₖ₌₀ⁿxᵏ/k!+Rₙ(x)

Σ1/n diverges; Σ(−1)ⁿ⁺¹/n=ln2; Σ1/n²=π²/6

수열·급수의 수렴 판정

항이 0으로 가는 것과 부분합이 수렴하는 것은 다른 조건입니다.

점별 수렴과 균등 수렴

점마다 다른 대기 시간과 전체 구간에 공통인 대기 시간을 구분합니다.

∀x∀ε∃N … versus ∀ε∃N∀x …

continuous f on compact K ⇒ extrema attained

Compactness·연속성과 극값

상한이 존재하는 것과 함수가 그 값을 실제로 얻는 것은 다릅니다.

볼록성과 일차 지지 부등식

접선이 아래에서 함수를 받치는지 보고 한 점 검사와 전역 성질을 구분합니다.

f(y)≥f(x)+f′(x)(y−x)

lim∫fₙ ≠ ∫lim fₙ without suitable conditions

극한과 적분의 교환 조건

높아지고 좁아지는 봉우리가 점별 극한에서 사라져도 면적은 남을 수 있습니다.

암묵함수·역함수 정리

해가 존재하는 것과 미분 가능한 국소 해를 얻는 조건을 구분합니다.

F_y≠0 ⇒ dy/dx=−F_x/F_y

행렬·trace·logdet 미분

행렬 미분의 형상과 양의 정부호 정의역을 명시하고 차분으로 검산합니다.

d log det A=tr(A⁻¹dA)

벡터장·발산·회전

위치마다 주어진 벡터와 국소 팽창·회전을 구분합니다.

div F=a+d; curl_z F=c−b

선·면·체적 적분의 의미

같은 곡선에서도 접선 방향의 일과 법선 방향의 유출은 다릅니다.

∮F·dr versus ∮F·n ds

∯F·n dS=∭div F dV; ∮F·dr=∬curl F·n dS

Gauss·Stokes 정리와 방향

경계의 적분과 내부의 미분 연산을 연결하되 매끄러움과 방향 조건을 확인합니다.

H v = D(∇f)[v]; d²f(x+tv)/dt²=vᵀHv

고차 미분·Hessian과 방향 곱

Hessian 전체와 특정 방향 곱을 구분하고 이차 근사의 나머지를 확인합니다.

z=r exp(iθ) ⇒ zᵏ=rᵏ exp(ikθ)

복소평면·극형식과 거듭제곱

거듭제곱은 크기를 거듭제곱하고 각도를 배수로 바꾸지만 주값 각도는 감깁니다.

정칙성과 Cauchy–Riemann 조건

한 점의 미분 가능성과 열린 근방의 정칙성을 구분합니다.

uₓ=vᵧ, uᵧ=−vₓ

∮z dz=0; ∮dz/z=2πi for one CCW turn

복소 경로 적분과 Cauchy 정리

경로의 매개화·방향·내부 특이점을 함께 확인합니다.

∮f dz=2πi Σ winding·residue

유수·감김 수와 특이점

극의 차수와 유수는 다르며 경로 위의 극은 적분을 정의하지 못하게 합니다.

sin z/z →1; 1/z has a pole; exp(1/z) is essential

해석 함수와 고립 특이점

제거 가능·극·본질적 특이점은 서로 다른 Laurent 구조를 가집니다.

Log z=ln r+iθ; continued log=ln r+i(θ+2πk)

해석적 연속·로그와 가지

같은 종점이라도 따라온 경로의 감김 수에 따라 로그와 제곱근의 연속값이 달라집니다.

복소 선형대수·켤레 내적

복소 벡터의 길이는 켤레전치로 정의하며 전치만 쓰면 양성이 사라집니다.

⟨v,w⟩=v* w; ‖v‖²=v* v

∂z=½(∂x−i∂y); ∂z̄=½(∂x+i∂y)

Wirtinger 미분과 복소 손실 최적화

실수값 목적함수는 보통 정칙이 아니어도 두 실수 변수로 미분하고 최적화할 수 있습니다.

A exp(iφ)=exp(iφ₁)+A₂exp(iφ₂)

복소 신호·위상과 간섭

위상 차이는 같은 크기의 신호를 강화하거나 상쇄하며 영 진폭에서는 위상을 정의하지 않습니다.

텐서의 차수·축·shape

배열 차수와 행렬 랭크를 구분하고 축 순서를 바꾸면 성분 대응이 어떻게 달라지는지 확인합니다.

X[b,t,c] → X̃[b,c,t]

지표·자유축과 수축

합산할 지표와 남길 지표를 먼저 정한 뒤 출력 shape와 계산값을 확인합니다.

Yᵢⱼ=ΣₖXᵢⱼₖvₖ

다중선형사상과 텐서 계수

각 입력을 따로 고정했을 때의 선형성과 모든 입력을 함께 묶은 선형성을 구분합니다.

F(u,v)ₖ=ΣᵢⱼXᵢⱼₖuᵢvⱼ

trailing axes compatible ⇔ equal or one axis is 1

Broadcasting과 연산의 의미

shape 호환성과 계산의 뜻을 따로 확인하고 원소별 곱을 행렬곱으로 읽지 않습니다.

X≈Σᵣλᵣaᵣ⊗bᵣ⊗cᵣ = G ×₀U₀ ×₁U₁ ×₂U₂

CP·Tucker 분해와 복원

rank-one 항의 합과 작은 core의 다중선형 변환을 실제 원소별로 복원합니다.

Xᵢⱼₖ=ΣₐᵦG₀[1,i,a]G₁[a,j,b]G₂[b,k,1]

Tensor Train과 bond 차원

연결된 작은 core를 합산해 텐서를 복원하고 gauge 변화와 실제 랭크를 구분합니다.

(AB)C=A(BC); costs need not agree

Tensor Network와 수축 순서

같은 최종 값도 중간 텐서의 크기와 곱셈 수는 달라질 수 있습니다.

‖X−X̂‖F²=Σ omitted |λ|² for this orthogonal example

텐서 저랭크 근사와 오차

명시적 직교 예제의 최적 절단과 일반 텐서 근사의 어려움을 구분합니다.

대칭·반대칭 텐서와 분해

지표 교환의 부호와 직교 분해를 실제 원소로 확인합니다.

A=½(A+Aᵀ)+½(A−Aᵀ)=S+K

dense nᵈ; TT 2nr+(d−2)nr²

텐서 저장량·계산 복잡도

같은 랭크 기호를 써도 표현 형식의 제약과 저장량은 다르며 실제 시간 측정과도 다릅니다.

군·환·체와 모듈러 연산

덧셈 역원과 곱셈 역원을 구분하고 체가 되는 조건을 실제 표에서 확인합니다.

a+(−a)=0

준동형·동형과 구조 보존

공식이 몫집합 위에서 잘 정의되는지 확인한 뒤 핵·상·동형을 판단합니다.

f([x])=[kx]

부분군·잉여류와 몫구조

원소를 부분군만큼 다른 동치류로 묶고 몫 연산이 대표원과 무관한지 확인합니다.

⟨2⟩={0,2,4} in Z6

다항식 몫환과 유한체

다항식 계수를 비트로 표현하고 기약 다항식으로 나눌 때 체가 되는 이유를 확인합니다.

2=t, 4=t²

모듈과 환 위의 선형사상

체 위 벡터공간의 성질을 일반 환에 옮길 때 어떤 나눗셈이 실패하는지 살펴봅니다.

M=(Z6)²

R(x,y)=(-y,x), S(x,y)=(x,-y)

대수적 대칭과 군 작용

회전·반사 합성의 순서를 정하고 궤도와 안정자를 계산합니다.

유한체 위 다항식 시스템

계수체를 먼저 고르고 유한 격자의 모든 해와 잔차를 확인합니다.

x+y=3, xy=2 over F5

(1,2),(-2,1),(-1,-2),(2,-1)

군 평균으로 불변량 구성하기

궤도에서 특징을 평균해 불변량을 만들고 그 과정에서 사라지는 정보를 확인합니다.

대수적 표현·등변성과 적용 범위

대칭을 행렬로 표현하고 군에 따라 달라지는 등변 선형층의 제약을 계산합니다.

ρ(gh)=ρ(g)ρ(h)

확률공간·사건과 확률공리

표본 결과와 사건을 구분하고 가중치의 합으로 확률을 계산합니다.

Ω={0,1,2,3}, A={0,1}

PROBABILITY DISTRIBUTIONS LAB

조건부확률·독립성과 Bayes

어떤 사건으로 모집단을 제한하는지 확인하고 조건을 뒤집는 계산을 합니다.

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

확률분포와 표본

가능한 결과에 확률을 배정하고 반복 관측과 모형을 구분합니다.

K∼Binomial(n,p)

확률질량·밀도·누적분포

한 점의 확률과 단위 길이당 밀도를 구분하고 CDF의 점프를 읽습니다.

P(X=x)

EXPECTATION VARIANCE LAB

기댓값·분산과 불확실성

가능한 값의 가중 평균과 평균 주변의 퍼짐을 따로 계산합니다.

Var(X)=E[X²]−E[X]²

결합·주변·조건부 분포와 공분산

결합 표를 합하거나 정규화해 주변·조건부 분포를 얻고 의존성을 계산합니다.

p00=p11=3/8

다변량 Gaussian과 조건부 기하

공분산 타원·조건부 평균·분산을 연결하고 특이 Gaussian을 구분합니다.

Σ=[1,.5;.5,1]

확률변수 변환과 Jacobian

역상과 절댓값 Jacobian으로 밀도를 바꾸고 여러 역상을 합산합니다.

P(Y≤y)=P(g(X)≤y)

대수의 법칙·중심극한정리

평균의 집중과 표준화된 요동의 근사를 분리해 읽습니다.

Xi iid Bernoulli(p)