면적 제약 변분·허용 방향과 승수

적분 제약은 방향도 제한한다

J[y]=∫₀¹(y′)²/2 dt를 양 끝값 0과 면적 ∫₀¹y dt=A 아래 최소화하자. A는 부호 있는 면적이므로 음수도 허용한다. 음의 확률이 아니라 기준선 아래 곡선을 나타낸다.

끝점을 만족하는 후보도 면적을 어길 수 있다. 끝점에서 0인 방향도 면적을 바꿀 수 있다. 현재 곡선의 가능성과 방향의 허용성을 따로 검사해야 한다.

부호를 명시한 승수

L[y,λ]=J[y]+λ(∫y−A)로 정의하면 부분적분으로

끝점 조건에서 y=−λt(1−t)/2이고 ∫₀¹t(1−t)dt=1/6이므로

L의 부호 관례를 바꾸면 승수 부호는 바뀌지만 최소 곡선은 같다. 등식 제약 승수에는 비음수 조건이 없다.

정지 포물선을 넘어 전역 최소 증명

가능 차이 h=y−y는 끝점과 면적 적분이 0이다. 교차항 ∫y′h′=−∫y*″h=12A∫h=0이므로 J[y]−J[y*]=∫(h′)²/2≥0이다. 끝점 고정 때문에 비영 상수 차이도 불가능하여 최소점이 유일하다.

이 증명에는 가능성이 필요하다. 면적이 틀린 곡선에서 더 작은 에너지를 얻어도 제약 최솟값의 반례가 아니다. 화면도 이런 후보에는 가능한 목적 초과 인증을 제공하지 않는다.

후보와 방향 조절기를 구별하기

후보는 y=6At(1−t)+b sin 2πt+v sin πt다. 둘째 sine mode 적분은 0, 첫 mode 적분은 2/π이므로 면적 잔차는 2v/π다. v=0일 때 가능하다.

방향 h=sin 2πt+c sin πt의 면적 변화는 2c/π다. c=0이어야 허용 방향이다. 제약 최적점에서 δJ가 0이어야 하는 것은 허용 방향에 대해서다. 임의 방향의 비영 δJ는 승수 항과 함께 δL=δJ+λδG로 상쇄된다.

직접 풀기와 풀이

A=0.5,b=v=c=0이면 곡선은 3t(1−t), 에너지 1.5, 승수 −6이다. b=0.2를 더하면 면적은 0.5지만 목적 초과는 0.04π²≈0.394784다. sin 2πt 방향 변분도 0.4π²로 비영이므로 이 가능 진동 곡선은 정지점이 아니다.

b=v=0으로 복구하고 c=1로 두자. 방향이 면적을 바꾸어 δJ=12/π지만 λδG=−12/π가 상쇄한다. 허용되지 않는 방향의 비영 변분이 왜 제약 최적성과 모순되지 않는지 설명하자. 질량 보존·밀도 정규화·변분 물리 모형에서도 정의역과 부호를 맞추어 같은 원리를 사용한다.

더 읽기: MIT의 변분법 강의.