축퇴 사영과 순차 관측

1. 같은 수치 뒤에 다른 상태가 숨어 있다

측정에서2라는 값을 얻으면 상태 벡터도 특정할 수 있을까? 대응하는 고유공간이 일차원일 때에만 ray까지 정해진다. 더 큰 고유공간에서는 여러 상태가 같은 결과를 확률1로 만든다. 값의 구별과 그 공간 안의 기저 구별은 다른 실험이다.

이 차이를 보기 위해 C³를 사용한다. 세 복소 좌표는 기저의 이름이며 삼차원 물리 위치의 세 축이 아니다. 입력은 순수 상태 ψ=z/||z||다. 이하에서는 이상적인 사영 측정 도구를 명시한다. 관측량만으로 측정 장치를 유도하는 대신, 측정 뒤 상태 변화까지 실험의 가정에 포함한다.

2. rank1과 rank2 고유공간 만들기

영이 아닌 원시 복소 벡터 v가 P를 정한다. 직교 여공간으로의 Q는 rank2다. 유리수 수치 λ와 μ로 관측량 A를 만든다.

$$P=\frac{vv^\dagger}{v^\dagger v},\qquad Q=I-P,\qquad A=\lambda P+\mu Q,\qquad \operatorname{rank}P=1,\quad \operatorname{rank}Q=2.$$

λ≠μ이면 결과는 P와 Q에 대응하는 두 가지다. Q 안에 무수히 많은 ray가 있어도 고유값 결과는 하나다. λ=μ이면 A는 I의 스칼라 배이고 스펙트럼 사영은 I 하나다. 그때도 P와 Q를 구별해 기록하면 A의 수치만으로 제공되지 않는 정보를 추가한 실험이 된다.

v의 위상이나 크기는 P를 바꾸지 않는다. 고유값 정렬에서 사영을 함께 옮기면 바뀌는 것은 표시 순서뿐이다. 행렬과 실제 측정 도구가 달라지는 것은 아니다.

3. 선택적 사영은 양의 확률에서만 정의된다

이번에는 이상적인 Lüders 갱신을 택한다. 결과 k를 얻었다는 조건 아래, 해당 고유공간 전체로 사영한 벡터를 정규화한다.

$$p_k=\frac{\|P_kz\|^2}{z^\dagger z},\qquad \psi_k=\frac{P_kz}{\|P_kz\|}\quad(p_k>0).$$

사영 벡터가0이면 그 준비에서 결과 k는 일어나지 않는다. 그런 분기의 조건부 상태는 없다. 영 벡터를 정규화 상태처럼 반환하거나 분모에 epsilon을 넣으면 존재하지 않는 준비를 만들어낸다. 따라서 계산에서는 그 분기의 조건부 진폭을 null로 반환한다.

rank2 고유공간으로의 사영은 그 안의 중첩을 유지할 수 있다. 수치를 측정했다고 내부의 기저 벡터 하나를 고를 필요는 없다. 기저별로 무조건 붕괴시키면 명시한 측정 도구와 다른 예측이 나오는 이유다.

4. 결과를 무시해도 측정은 일어난 것이다

선택적 출력에는 기록된 결과가 포함된다. 비선택적 출력은 측정은 수행했지만 결과 기록을 무시한 집단을 기술한다. 여기서는 그 유도된 출력을 밀도행렬로 표현한다. 임의의 혼합 상태를 새 입력으로 받는 엔진은 아니다.

$$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|,\qquad \rho_A=\sum_k P_k\rho P_k=\sum_k p_k|\psi_k\rangle\langle\psi_k|.$$

마지막 합에는 확률이 양수인 분기만 넣는다. trace는1이고 순수 입력에서도 혼합 출력이 생길 수 있다. purity Tr(ρ_A²)는 순수 출력에서1, 혼합 출력에서는1보다 작다. 이는 집단의 성질이며 명시하지 않은 추가 결과의 확률이 아니다.

결과를 읽지 않았다는 사실이 측정을 없애주지는 않는다. 이 갱신은 서로 다른 측정 고유공간 사이의 coherence를 지운다. 같은 축퇴 고유공간 안의 coherence는 남을 수 있다. 무엇이 보존되는지는 실제 측정 도구에 달려 있다.

5. rank1 세분화는 다른 측정 도구다

Q를 서로 직교하는 rank1 사영 S와 T로 나누자. P,S,T의 합은 I이고 수치 표지는 λ,μ,μ다. 세분화한 실험에서는 같은 μ 안에서도 S와 T 기록을 구별한다.

$$Q=S+T,\qquad ST=0,\qquad \rho_{\mathrm{fine}}=P\rho P+S\rho S+T\rho T.$$

재현 가능한 비교를 위해 계산은 Q로 사영했을 때 영이 아닌 첫 표준 축을 고른다. 그 방향에서 S를 만들고 T=Q−S로 둔다. 이는 선택한 한 기저 세분화이며 A 자체에 내재한 선호 기저가 아니다. 독립 참조에서는 Gram–Schmidt로 같은 방향을 구성한다.

S/T 기록을 버리면 보고한 A 수치의 분포는 coarse 측정과 일치한다. 하지만 비선택 상태는 달라질 수 있다. 관측량의 수치만으로 가능한 모든 측정 구현의 상태 갱신이 정해지지는 않는다. 여기서는 coarse Lüders 도구와 선택한 세분화 도구를 명시적으로 비교한다.

6. 중첩이 남는 예제를 계산하기

P는 e₀ 방향, Q는 e₁과 e₂가 만드는 평면으로의 사영으로 두자. λ=1, μ=2, ψ=(e₁+e₂)/√2이면 결과2가 확률1이다. coarse 사영은 ψ를 그대로 둔다. S와 T를 각각 e₁,e₂ 방향으로 잡으면 세분화 분기는 각각 확률1/2이다.

$$\rho_A=\frac12\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad \rho_{\mathrm{fine}}=\frac12\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

e₁과 e₂ 사이의 비대각 원소가 세분화에서 사라지는 coherence다. 나중에 B=|ψ⟩⟨ψ|를 검사하면 coarse 뒤에는1을 확률1로, 세분화 뒤에는1을 확률1/2로 얻는다. 처음의 A 수치 분포는 같지만 이후 결과가 다르다.

양	coarse Lüders A	rank1 세분화
보고한 A 값	2가 확률1	2가 확률1
비선택 purity	1	1/2
이후 B=1 확률	1	1/2
두 출력의 Frobenius 거리 제곱	두 출력을 비교하면1/2	같은 비교

이 예제에서는 A와 B가 가환한다. 그 성질은 명시한 coarse 스펙트럼 측정에 적용된다. B와 가환하지 않는 임의의 세분화로 바꿔도 같다는 허가는 아니다.

7. 순차 확률에는 갱신 순서가 들어간다

별도의 스펙트럼 사영 R_j를 갖는 B를 구성하자. A 다음 B 실험에서는 첫 사영이 원시 상태에 먼저 작용한다.

$$p_{A\to B}(i,j)=\frac{\|R_jP_i z\|^2}{z^\dagger z},\qquad p_{B\to A}(j,i)=\frac{\|P_iR_j z\|^2}{z^\dagger z}.$$

첫 표의 행은 A, 열은 B 결과다. 역순 표의 행은 B, 열은 A다. 같은 표지 쌍의 확률을 비교하려면 역순 표를 전치한 뒤 비교해야 한다. 그렇지 않으면 인덱스 차이를 관측 순서 효과로 오해할 수 있다.

첫 주변분포는 원래 Born 분포다. 둘째 주변분포는 첫 측정으로 바뀐 집단의 분포여서 원래 상태에서의 B 분포와 다를 수 있다. 첫 확률이0이면 조건부 둘째 분포는 미정의라 null이고, 해당 결합 확률 행은 정확히0이다.

8. 간단한 수치로 보는 순서 효과

A=diag(1,2,2)를 유지하고 B는 (e₀+e₁)/√2 방향의 rank1 사영으로, 입력은 e₀로 두자. A부터 측정하면 반드시1이고 이어 B=0과1이 각각 확률1/2이다. B부터 측정하면 두 분기가 각각1/2이고, 두 조건부 상태 모두에서 A=1과2가 각각 확률1/2이다.

표지 쌍 (A 값,B 값)	A 다음 B	B 다음 A
(1,0)	1/2	1/4
(1,1)	1/2	1/4
(2,0)	0	1/4
(2,1)	0	1/4

둘째 실험에서 A=1 확률은1이 아니라1/2이다. 차이는 순서를 갖는 측정 갱신에서 생긴다. 물리 시간 애니메이션이나 수치 적분 간격이 원인이 아니다. 모든 표 원소는 정확 유리수 확률이다.

9. 한 준비로 가환성을 인증할 수 없다

연산자 commutator는 선택한 입력과 무관하다. 그 값이0이라는 조건은 한 상태에서 두 순차 분포가 우연히 같다는 조건보다 강하다.

$$[A,B]=AB-BA,\qquad \|[A,B]\|_F^2=\operatorname{Tr}([A,B]^\dagger[A,B]).$$

앞 A,B에 입력만 e₂로 바꾸자. 두 순서 모두 (A=2,B=0)을 확률1로 보고한다. 하지만 e₀/e₁ 평면에서 다른 작용을 하므로 commutator는 여전히 영이 아니다. 한 준비를 검사했다고 연산자 항등식이 증명되지는 않는다.

정확 엔진은 행렬 commutator를 검사한다. 작은 영 아닌 유리수 원소를 반올림해 가환으로 분류하지 않는다. 그림은 반올림 좌표를 사용할 수 있지만 그 좌표로 가환성을 결정하지 않는다.

10. 독립 확인과 모형의 범위

둘째 주변분포는 밀도행렬로도 계산할 수 있다. 이는 첫 결과를 합해서 없애는 조작의 의미를 다른 표현으로 확인한다.

$$\sum_i p_{A\to B}(i,j)=\operatorname{Tr}(R_j\rho_A),\qquad \sum_jp_{A\to B}(i,j)=p_A(i).$$

생산 코드는 사영 벡터 norm을 정확하게 계산한다. 독립 기호 참조는 trace 식과 따로 구한 고유공간을 사용한다. 사영 법칙, 확률 합, 두 주변합, 조건부 정규화, 출력 purity, 음수 고유값 정렬, 정확히 같은 유리수 표지, 영 확률 분기를 대조한다. 정규화 진폭에만 방향성512bit 제곱근 구간이 필요하다.

unitary 시간 진화, 일반 POVM, 연속 스펙트럼 위치 측정, 환경 모형을 제공하지 않는다. 유한 행렬 좌표만으로 무한 차원 연산자의 자기수반 정의역을 결정하지도 않는다. 일반 측정 도구는 다른 갱신을 가질 수 있으므로 여기서 명시한 Lüders와 세분화 선택은 필수 가정이다.

11. 풀이가 있는 연습

1. λ=μ=5이면 A의 스펙트럼 결과는 몇 개인가?

해설. 값5와 사영 I 하나다. 선택한 coarse Lüders 갱신은 모든 입력을 보존한다. 세 갈래 기록을 구별하면 더 세밀한 측정 도구를 도입한 것이다.

2. 중첩 예제에서2를 얻으면 e₁이나 e₂가 선택되는가?

해설. 아니다. coarse 사영은 Q이고 Qψ=ψ다. 내부 기저 하나를 선택하는 것은 원래 명시하지 않은 세분화다.

3. 확률0 분기에는 어떤 조건부 상태가 대응하는가?

해설. 없다. 결합 행은0이고 조건부 벡터와 둘째 분포는 정의되지 않는다. 정규화한 영 벡터는 존재하지 않는다.

4. 같은 A 수치 분포인데 이후 결과가 왜 다른가?

해설. 두 도구 모두2를 확률1로 보고하지만 e₁/e₂ coherence가 다르다. 이후 B 검사의 확률이1과1/2로 갈린다.

5. e₂에서 순서가 같으면 [A,B]=0인가?

해설. 아니다. 그 상태는 비가환 작용이 드러나는 평면 밖에 있다. commutator는 여전히 영이 아니고 e₀에서는 순서 효과를 볼 수 있다.

6. 역순 결합 표를 왜 전치해야 하는가?

해설. 역순 표의 행은 B, 열은 A다. 같은 두 표지의 확률을 비교하도록 축을 먼저 맞춰야 한다.

12. 추론 연결과 다음 주제

coarse 결과만으로 실험에서 기록하지 않은 내부 정보를 추론하면 안 된다. 즉시 출력의 histogram이 같아도 이후의 행동이 다른 두 절차가 존재한다. AI 평가, 잠재 표현, 순차 의사결정 실험을 설계할 때도 유용한 주의점이다. 다만 양자 갱신은 별도의 수학 모형이며, 미리 존재하는 숨은 기저 표지에 대한 보통의 Bayes 조건부 확률과 같다고 보지 않는다.

일반 밀도 연산자, 측정 불확정성, 얽힘, 양자 채널은 이후에 다룬다. 여기서 유도한 출력 집단은 그 주제로 가는 연결이며, 해당 주제나 측정 장치의 완성된 이론을 대신하지 않는다.

유한 사영과 Born 규칙은 Preskill §2.1, adjoint와 유한 Hermitian 배경은 TU Delft §8.7–8.8에서 확인했다. C³ 세분화 비교와 확률 표는 이 교재를 위해 직접 유도했다.