게이지 궤도·트리 고정·경계 앵커

1. 에너지가 같다는 것보다 강한 비교

두 좌표 표현이 달라 보여도 같은 상태를 나타낼 수 있다. 이를 판정하려면 허용된 변환 하나가 한쪽의 모든 관련 변수를 다른 쪽 변수로 바꿀 수 있어야 한다. 에너지 하나가 같다는 것은 훨씬 약한 조건이다. 서로 다른 여러 상태가 같은 에너지를 가질 수 있기 때문이다.

국소 기준·U(1) 연결·Wilson 루프를 먼저 복습하자. 이번에는 같은 유한 그래프에서 연결과 물질 상태 두 개를 독립적으로 입력한다. 변환이 존재하면 실제 변환을 구성하고, 존재하지 않으면 어떤 불변 관측이 다른지 찾는다. 아직 시간 발전이나 Gauss 제약을 다루는 단계는 아니다.

2. 군의 작용과 궤도를 정의한다

저장된 방향 간선 $e=(i,j)$의 단위 복소수 $U_{ij}$는 $j$ 기준 성분을 $i$ 기준으로 옮긴다. 노드별 위상 변환은

$$\psi_i\longmapsto g_i\psi_i,\qquad U_{ij}\longmapsto g_iU_{ij}g_j^*,\qquad |g_i|=1$$

로 작용한다. 이 표현에서 물질에는 $g_i$가 한 번 곱해진다. 다른 표현이나 다른 위상 가중치를 쓰면 뒤에서 세는 안정자도 다시 검토해야 한다.

$(U,\psi)$의 **궤도(orbit)**는 선언한 군의 작용으로 얻을 수 있는 모든 상태의 집합이다. 별도의 기준 고정이 없으면 군은 $U(1)^N$이다. 두 상태의 궤도가 같다는 것은 한 상태를 다른 상태로 옮기는 군 원소가 존재한다는 뜻이다.

이 군은 연속적인 군이다. 유리수 Cayley 매개변수는 계산기에 정확한 입력을 주는 방법이지, 게이지 군을 유한 격자로 제한하는 선언이 아니다. 구성한 변환의 분수는 입력 제한보다 길어질 수 있다.

3. 신장 숲으로 유일한 비교 경로를 만든다

연결 그래프의 신장 트리(spanning tree)는 모든 노드를 포함하면서 순환은 포함하지 않는다. 연결 성분이 $C$개이면 성분마다 트리 하나를 골라 신장 숲을 만든다. 간선 수는 $N-C$개다. 고립 노드도 노드 하나짜리 트리로 센다.

각 트리에 루트 하나를 고르면 루트에서 임의의 노드로 가는 단순 트리 경로가 유일하다. 자기 루프는 트리 간선으로 선택할 수 없고, 같은 두 노드 사이의 평행 간선 두 개를 함께 선택해도 순환이 생긴다. 이런 간선을 원래 그래프에서 없애는 것은 아니다. 트리 밖의 정보로 남겨 둔다.

경로를 따라 정방향이면 저장 링크, 역방향이면 켤레 링크를 곱한다. 두 상태의 좌표를 비교할 때는 같은 숲과 루트를 사용해야 한다.

4. 고정 위상을 추측하지 말고 구성한다

각 루트에서 $h_r=1$로 시작한다. 부모 $p$에서 자식 $q$로 가는 트리 간선에 대해

$$h_q=\begin{cases} h_pU_{pq},&\text{저장 방향과 같은 순회},\\ h_pU_{qp}^*,&\text{저장 방향과 반대 순회} \end{cases}$$

로 정한다. 따라서 $h_i$는 루트에서 $i$까지의 링크 곱이다. 다음과 같이 표현을 바꾸자.

$$Q_{ij}=h_iU_{ij}h_j^*,\qquad z_i=h_i\psi_i.$$

선택한 트리 간선의 링크는 모두 1이 된다. 정방향이면 $h_j=h_iU_{ij}$이므로 $Q_{ij}=h_iU_{ij}(h_iU_{ij})^*=1$이다. 이는 표현 변경이므로 물질도 함께 변환해야 한다. 링크를 지우고 다른 데이터를 그대로 두는 조작은 이 게이지 고정과 다르다.

5. 트리 밖의 링크는 기본 닫힌 곱이다

트리 밖 간선 $(i,j)$마다 루트에서 $i$까지 간 뒤 해당 간선을 지나고, $j$에서 트리를 따라 루트로 돌아오는 경로를 만든다. 그 곱은

$$W_e=h_iU_{ij}h_j^*=Q_{ij}$$

이다. 트리 밖 간선의 수는 $\beta_1=E-N+C$개다. 이 유한 U(1) 연결 모형에서는 이 값들이 연결의 게이지 몫을 나타내는 독립적인 원 좌표가 된다. 임의로 선택한 경로 목록과 달리 완전한 신장 숲 구성을 사용했다는 점이 중요하다.

이 계산에는 자기 루프와 평행 간선도 포함된다. 값은 복소수이므로 실수부만 남기면 정보가 줄어들 수 있다. 그래프에 실제 공간 배치가 없어도 경로 곱은 정의된다. 물리적 면적이나 장세기를 자동으로 부여한 것은 아니다.

6. 연결에 대한 완전성을 증명한다

같은 숲과 루트로 두 연결 $U,V$를 고정하는 위상을 $h^L,h^R$라고 하자. 트리 밖 좌표가 모두 같으면 트리 위 좌표는 양쪽 모두 1이므로 전체 고정 연결이 같다. 이제

$$g_i=(h_i^R)^*h_i^L$$

를 구성하면

$$g_iU_{ij}g_j^* =(h_i^R)^*Q^L_{ij}h_j^R =(h_i^R)^*Q^R_{ij}h_j^R=V_{ij}$$

이다. 실제 변환을 얻었으므로 충분성이 증명된다. 반대로 게이지 변환은 모든 닫힌 U(1) 곱을 유지하므로 동치인 연결의 트리 밖 좌표는 같다. 완전성을 주장하려면 필요성과 충분성을 모두 확인해야 한다.

이 변환은 유일하지 않다. 한 연결 성분의 모든 $g_i$에 같은 위상을 곱해도 연결에 대한 작용은 바뀌지 않는다.

7. 트리 조건 뒤에도 성분별 위상이 남는다

단위 트리 링크를 유지하는 변환은 모든 트리 간선에서 $g_i=g_j$를 만족해야 한다. 따라서 각 연결 성분에서 상수다. 트리 고정은 $N-C$개의 국소 위상 방향을 제거하고 $C$개의 공통 위상을 남긴다.

U(1)에서는 곱셈이 교환 가능하므로 이 공통 위상은 모든 링크를 유지한다. 하지만 물질 값은 회전시킬 수 있다. $h_r=1$은 대표 표현 하나를 구성하기 위한 약속이었으며, 원래 모형에서 루트의 물리적 기준이 고정되어 있었다는 증명은 아니다.

같은 U(1) 트리에서 루트만 바꾸면 그 성분의 모든 $h_i$에 공통 인자가 곱해진다. 고정 링크와 물질 Gram 항은 유지된다. 트리를 바꾸면 어떤 간선에 어떤 순환 좌표가 놓이는지가 달라질 수 있으므로 서로 다른 트리의 원시 좌표 배열을 그대로 비교해서는 안 된다.

8. 물질이 있으면 비교 조건을 추가한다

연결이 동치인 것에 더해, 각 성분에서 단위 위상 하나가 존재하여

$$z_i^R=\lambda z_i^L\quad\text{성분 안의 모든 노드에서}$$

성립해야 물질을 포함한 상태도 동치다. 실제 변환은 $g_i=(h_i^R)^*\lambda h_i^L$가 된다.

편리한 불변 관측은 성분별 Gram 행렬이다.

$$M_{ij}=(z_i)^*z_j =\psi_i^*h_i^*h_j\psi_j.$$

이는 두 끝점 사이의 유일한 트리 경로로 감싼 물질 관측량이다. 서로 다른 연결 성분 사이의 항은 포함하지 않는다. 두 성분의 독립적인 루트 기준을 연결하는 그래프 경로가 없기 때문이다.

9. Gram 조건은 왜 충분한가

$z^L$이 영벡터가 아니면 $z_p^L\ne0$인 피벗 $p$를 고른다. Gram 대각 항이 같으므로 $|z_p^R|=|z_p^L|$이고

$$\lambda=z_p^R/z_p^L$$

의 크기는 1이다. $M_{pj}$가 같다는 조건에서 모든 $j$에 대해 $z_j^R=\lambda z_j^L$를 얻는다. 왼쪽 벡터 전체가 0이면 Gram 대각도 모두 0이다. 같은 Gram 행렬을 갖는 오른쪽 벡터도 모두 0이어야 하며 공통 위상은 임의로 고를 수 있다.

여기서는 알고 있는 두 피벗의 비를 사용한다. 임의의 피벗 하나를 양의 실수로 만드는 게이지 단면은 다른 구성이고 제곱근이 필요할 수 있다. 예를 들어 $1+i$의 크기는 $\sqrt2$다. 현재 계산기는 그 추가 단면을 구현하지 않는다.

밀도만 같아서는 충분하지 않다. 단위 링크를 갖는 삼각형의 $(1,1,1)$과 $(1,i,1)$은 밀도가 같지만 비대각 Gram 항이 다르다. 링크를 유지하는 변환은 삼각형 전체에서 같은 위상이어야 하므로 이런 상대 위상 무늬를 만들 수 없다.

10. 안정자로 비식별성을 읽는다

안정자(stabilizer)는 현재 상태를 그대로 유지하는 변환의 집합이다. 연결만 보면 연결 성분마다 공통 위상 하나가 남으므로 U(1) 안정자의 차원은 $C$다.

물질을 함께 보면 성분 안의 비영 물질 하나만 있어도 그 공통 위상은 1이어야 한다. 모든 노드에서 물질이 0인 성분만 연속적인 안정자를 유지한다. 그런 성분 수를 $C_z$라 하면 상태의 궤도 차원은 $N-C_z$다.

평탄한 삼각형에서 물질이 비영이면 궤도 차원은 3이다. 물질이 모두 0이면 안정자 차원이 1이고 궤도 차원은 2다. 이는 운동학적 군 작용의 차원이며 정준 물리 자유도 수가 아니다. 또한 전체 공간을 매끄러운 좌표 하나로 표현할 수 있다고 단정해서는 안 된다. 영 물질에서는 안정자가 달라지고 위상 자체가 정의되지 않는다.

11. 기준 고정은 허용 군을 바꾼다

앵커(anchor)는 외부 기준에 대해 내부 기준을 고정한 노드다. 앵커 집합 $A$에 대해

$$\mathcal G_A=\{g\in U(1)^N:g_a=1\text{ for every }a\in A\}$$

를 허용 군으로 선언한다. 이는 편리한 루트를 다르게 고르는 것과 달리 동치 관계 자체를 바꾸는 일이다. 양끝이 앵커인 경로는 열려 있어도 끝점 변환 인자가 모두 1이므로 그 곱이 불변이다.

현재 실험에서 앵커는 이 부분군을 지정하는 역할만 한다. 임의의 경계 조건을 앵커와 같다고 선언하거나 경계 전하·정준 경계 생성자를 도입한 것은 아니다. 그런 내용에는 별도의 모형이 필요하다. 특히 $\psi_a=0$이라는 조건은 내부 기준을 고정하지 않는다. 어떤 단위 위상을 곱해도0이기 때문이다. 앵커는 허용 변환에 대한 별도의 제한이다.

12. 전체 트리를 고정할 수 있는 조건

루트 정규화 위상 $h$가 앵커 조건을 그대로 만족하려면 모든 $h_a=1$이어야 한다. 하지만 성분별 공통 위상 $\lambda$를 써서 $\lambda h_i$로 고정할 수도 있다. 이것이 허용되려면 같은 성분 안의 모든 앵커 값 $h_a$가 같아야 하고, 그때 $\lambda=h_a^*$로 고르면 된다.

앵커가 하나뿐이면 계산용 루트와 다른 곳에 있어도 항상 이 조정이 가능하다. 앵커가 여러 개이면 방해가 생길 수 있다. 링크가 $i,1$인 사슬의 양끝 곱은 $i$다. 양끝 기준을 고정한 채 링크 둘을 모두 1로 바꾸면 불변 곱이 1로 바뀌므로 불가능하다.

반면 링크가 $i,-i$이면 양끝 곱은 1이고 두 앵커와 전체 트리 고정이 양립한다. 단순히 앵커 수만 세어서는 이 조건을 판정할 수 없다. 실제 연결의 경로 곱을 확인해야 한다.

13. 앵커와 양립하는 부분 숲

모든 앵커 궤도에 대해 대표 표현을 만들려면 선언한 트리 간선 중 두 앵커를 연결하지 않는 최대 부분집합을 유지한다. 구현에서는 입력한 숲 순서대로 간선을 살펴보고, 이미 앵커를 포함한 두 부분 트리를 합치는 간선은 건너뛴다. 앵커가 있는 원래 성분의 각 결과 부분 트리에는 앵커 하나가 있고 그 노드를 루트로 쓴다. 앵커가 없는 원래 성분은 선언한 루트를 유지한다.

앵커 없는 원래 성분 수를 $C_0$, 앵커 노드 수를 $|A|$라 하면 유지하는 숲 간선 수는

$$N-|A|-C_0$$

이다. 이 숲의 고정 위상은 모든 앵커에서 1이다. 남는 연결 좌표 수는

$$E-N+|A|+C_0 =\beta_1+|A|-C_A$$

이며 $C_A=C-C_0$는 앵커를 포함한 성분 수다. 남는 간선 하나는 닫힌 곱 또는 앵커 루트 사이의 열린 경로를 나타낸다. 둘 다 선언한 부분군 아래에서 불변이다.

14. 앵커가 있는 삼각형을 손계산한다

앞의 두 상태를 사용하자.

$$U=(1,1,1),\quad\psi=(1,1,1),\qquad V=(-i,-i,-1),\quad\phi=(1,i,-1).$$

트리 간선은 $0\to1$, $1\to2$이고 루트는 0이다. 그러면 $h^L=(1,1,1)$, $h^R=(1,-i,-1)$이다. 양쪽 고정 연결과 고정 물질이 모두 같으므로 전체 군 아래에서는 같은 상태다.

이제 노드 0과 1을 앵커로 둔다. 같은 순서로 트리를 살피면 $0\to1$은 제외하고 $1\to2$를 유지한다. 오른쪽 고정 위상은 $(1,1,-i)$가 된다. 남은 두 좌표는 $Q_{01}=-i$, $Q_{20}=i$이고 왼쪽 좌표는 모두 1이다. 두 값을 곱한 닫힌 삼각형 곱은 여전히 같지만, 각각의 앵커 사이 관측이 다르다. 허용된 앵커 변환으로 두 연결을 옮길 수 없다.

노드 1만 앵커로 두면 연결은 동치지만 물질까지 포함하면 동치가 아니다. 허용된 고정 뒤 오른쪽 물질은 $(i,i,i)$, 왼쪽은 $(1,1,1)$이다. 공통 물질 위상이 이제 고정된 외부 기준과의 상대 위상이 되었기 때문이다.

15. 앵커가 있는 상태의 완전한 비교

같은 앵커 호환 숲으로 양쪽을 고정한다. 남는 모든 연결 좌표의 일치는 앵커 연결 동치의 필요충분조건이다. 변환 $(h_i^R)^*h_i^L$는 앵커에서 자동으로 1이 된다.

앵커를 포함한 원래 성분에서는 잔여 공통 위상이 없으므로 고정한 물질 값 자체를 비교한다. 앵커가 없는 성분에서는 앞의 Gram 조건을 사용하고 공통 위상 하나를 허용한다. 이 조합은 선언한 유한 U(1) 물질·연결 모형에 대한 완전한 판정이다.

앵커 군의 차원은 $N-|A|$이고 연결 안정자 차원은 $C_0$다. 물질을 포함하면 그중 앵커도 없고 물질도 모두 0인 성분만 안정자를 유지한다. 이 역시 게이지 궤도에 관한 계산이다. Gauss 제약이나 위상공간 축약을 대신하는 계산이 아니다.

16. 예측·비교·실제 변환 확인

준비한 예제에는 같은 궤도의 삼각형, 한두 앵커, 루트와 다른 위치의 앵커, 반대 플럭스, 물질 크기·상대 위상 불일치, 영 물질, 열린 사슬, 분리 성분, 자기·평행 간선, 고립 노드, 다른 트리와 유리수 입력이 있다.

각 쌍에서 네 판정을 따로 예측하자. 전체 군과 앵커 군 각각에 대해 연결만의 동치와 물질을 포함한 동치를 구분한다. 그런 다음 고정 경로, 남은 좌표와 실제 변환을 확인한다. 연결에 대한 변환은 물질 잔차가 0이 아닐 수 있다. 물질까지 옮긴다고 주장한 것이 아니기 때문이다. 전체 군의 변환은 앵커 조건을 어길 수 있으며 앵커 군의 변환만 그 조건을 반드시 만족해야 한다.

정확한 분수가 수치 판단의 기준이다. 현재 원고와 수치 기반을 준비했으며 독립 응답 검증·Worker·학습 시각화·실제 교재 등록은 후속 단계다.

17. 연구 연결과 해설 문제

AI 모형에서는 서로 다른 매개변수가 같은 관측을 표현하는 비식별성이 생길 수 있다. 불변 표현을 만들 때는 해당 과제에 충분한 정보를 보존하는지도 밝혀야 한다. 연결의 완전한 불변량이 물질 상태까지 완전히 분류하지는 않으며 외부 기준을 추가하면 중복으로 취급할 변화도 달라진다. 영 피벗의 위상은 정의되지 않고 아주 작은 피벗에서는 추정이 불안정할 수 있다. 정확한 산술로도 이런 모형 선택 문제를 없앨 수는 없다.

트리를 고정하면 U(1) 중복이 모두 없어지는가? 아니다. 앵커 없는 연결 성분마다 공통 위상 하나가 남고 물질을 회전시킬 수 있다.

닫힌 곱과 밀도가 같으면 물질 상태도 동치인가? 아니다. 트리 경로로 감싼 Gram 비대각 항에 상대 위상 정보가 있다.

순환 없는 그래프에 앵커 연결 정보가 남을 수 있는가? 그렇다. 고정된 끝점 사이의 열린 경로 곱이 불변이고 비자명할 수 있다.

루트가 앵커가 아니면 전체 트리 고정은 실패하는가? 루트 정규화 변환 자체는 앵커를 어길 수 있어도 공통 배율로 조정하면 허용된 전체 트리 고정이 가능할 수 있다. 모든 앵커의 전달 위상을 확인해야 한다.

실제 변환을 구성하는 이유는 무엇인가? 선언한 모든 변수를 직접 옮겨 충분성을 증명하기 위해서다. 점수 하나나 검증하지 않은 좌표 개수만으로는 이 증명을 대신할 수 없다.

물질의 Dirichlet 값이 $0$이면 그 기준도 앵커인가? 아니다. 모든 위상이0을 유지한다. 조건 $g_a=1$은 외부 기준을 어떻게 선언했는지에 따라 별도로 정당화해야 한다.

물질이 모두 0이면 무엇이 남는가? 연결 정보는 남고 앵커 없는 성분의 안정자가 커진다. 0인 피벗으로 나누어 위상을 정해서는 안 된다.

18. 근거와 적용 범위

군 값을 갖는 링크의 틀은 David Tong의 Gauge Theory 4장 §4.2.1에서 복습할 수 있다. Burbano와 Bauer의 그래프 게이지 이론 논문 §III.1·부록C.3.2는 SU(2)에서 최대 트리 구성과 남는 루트 변환을 설명한다.

여기의 분리된 U(1) 다중그래프, 독립적인 물질 상태 쌍, 앵커 부분군, 부분 숲 규칙과 완전성 증명은 별도로 유도한 교육 모형이다. 스칼라 분류 규칙을 비가환 trace에 그대로 적용하거나 양자 Hilbert 공간·시간 발전·연속체 극한을 구현했다고 주장하지 않는다. 다음 단원에서 정준 전기 변수와 Gauss 제약을 도입한 뒤 대칭·게이지 원주제 전체를 검토한다.