Taylor 전개와 나머지

도함수로 국소 근사를 정하기

Taylor 다항식이라는 이름보다 중요한 것은 어떤 점 주변에서 어떤 미분 정보를 맞추는지입니다. f(x)=exp(x)는 모든 차수의 도함수가 exp(x)이고 원점에서 모두 1입니다. 원점 Taylor 다항식은

n=0은 값, n=1은 값과 기울기, n=2는 곡률까지 맞춥니다. x=1,n=2이면 T₂(1)=2.5이고 실제 e≈2.71828과 차이가 약 0.21828입니다. 차수가 높다는 표현만으로 모든 입력에서 정확하다는 결론을 내릴 수는 없습니다.

나머지가 근사 주장의 일부다

0과 x 사이에서 충분히 미분 가능한 함수의 Lagrange 나머지는 어떤 중간점 ξ에 대해

exp에서는 구간의 도함수 크기가 e^|x| 이하이므로

이는 중간점 ξ를 직접 찾지 않아도 쓸 수 있는 상한입니다. 실제 오차를 표시한 열과 상한 열은 서로 다릅니다. n=2,x=1에서 상한은 e/6≈0.453이며 실제 오차보다 큽니다.

유한 정리와 무한급수를 구분하기

고정 x에서 위 상한이 n→∞일 때 0으로 가므로 exp는 자신의 Taylor 급수와 같습니다. 일반적인 매끄러운 함수가 항상 자기 Taylor 급수와 같지는 않습니다. 예를 들어 f(0)=0, x≠0에서 f(x)=exp(−1/x²)는 모든 원점 도함수가 0이지만 주변 함수값은 양수입니다. 이 사실의 완전한 미분 귀납 증명은 별도 심화 과제로 둡니다.

유한차 Taylor 정리의 가정과 해석적 함수의 무한 전개 성질을 구분하세요. 고차 미분이 존재한다는 사실만으로 나머지가 사라진다고 가정하면 안 됩니다.

그림과 독립 계산

그림은 [−2,2] 전체에서 exp와 현재 차수 다항식을 비교합니다. x 컨트롤은 그 중 하나의 수치 검산점입니다. 차수 8의 x=1 오차는 약 3.06×10⁻⁶이고 x=0에서는 차수 0도 정확합니다.

항을 매번 계승과 거듭제곱으로 계산하는 대신 이전 항에 x/k를 곱해 다음 항을 만들 수 있습니다. 실습은 이 재귀 계산을 사용합니다. 표시값의 반올림과 수학적 오차 상한은 다르며, 매우 작은 오차를 컴퓨터의 0과 동일시하지 마세요.

AI에서의 의미

손실의 국소 이차 모형, Newton 방법, 곡률 기반 불확실성 근사는 Taylor 논증과 연결됩니다. 전개점에서 멀어지거나 고차 미분이 커지는 영역에서는 이차 모형이 부정확할 수 있습니다. 어떤 영역에서 어떤 나머지 제어가 가능한지 확인해야 합니다.

확인 문제와 답

1. T₃(x)는? 1+x+x²/2+x³/6입니다.
2. 상한이 크다는 사실이 실제 오차도 크다는 뜻인가요? 아니요. 상한이 느슨할 수 있습니다.
3. x=0에서 exp와 T₀의 차이는? 0입니다.

추가 읽기: MIT 공식 강좌 안내. 강좌 범위를 확인해 보충 자료로 연결하며, 아래의 작은 예제와 논증은 직접 구성했습니다.