삼각함수·좌표·거리와 각

각도를 좌표로 바꾸기

단위원에서 cosθ는 가로, sinθ는 세로 좌표입니다. 반지름 r을 곱하면 p=(r cosθ,r sinθ)입니다. 같은 구성으로 주기성과 원점에서 각을 복원할 수 없는 이유도 설명합니다.

실험은 무차원 좌표와 고정점 q=(1,0)을 씁니다. 두 축의 단위 길이가 같아 원을 원으로 그리고 방향을 왜곡하지 않습니다.

도와 라디안

한 바퀴는 360도이자 2π 라디안입니다. 라디안은 호의 길이/반지름이라는 무차원 비율에 각도 규약을 준 것입니다.

화면의 도 입력을 변환한 뒤 삼각함수를 계산합니다. 라디안 함수에 60을 그대로 넣으면 60도의 사인이 아닙니다.

sinθ의 미분이 cosθ인 공식도 라디안 입력을 사용합니다. 변수가 도의 숫자라면 연쇄법칙으로 π/180이 붙습니다. 단위·매개변수화가 미분에 영향을 주는 예입니다.

기준 삼각형 계산

θ=60°=π/3, r=2이면 cosθ=1/2,sinθ=√3/2라 p=(1,√3)입니다. q=(1,0)까지는 가로 차이가 0이어서 거리 √3입니다.

일반적으로 직교 유클리드 좌표에서는

입니다. 단위와 계량을 전제합니다. 위도·경도나 학습 특징 공간에 이 식을 쓴다고 물리적 거리가 자동으로 되지는 않습니다.

항등식과 주기

단위원으로 cos²θ+sin²θ=1입니다. 회전을 합성하면

와 사인의 덧셈공식을 얻습니다. 2π를 더해도 점은 같아 −300도와 60도는 같은 좌표입니다. 0이 아닌 점을 고정해도 각의 표현은 유일하지 않습니다.

tanθ=sinθ/cosθ는 분모가 0이 아닐 때만입니다. 수직 방향에 임의의 유한 탄젠트를 넣지 않습니다. 유리함수의 정의역 규칙과 연결됩니다.

각을 복원하는 규약

atan2는 두 좌표의 부호로 사분면을 정합니다. arctan(y/x)만 쓰면 사분면 정보를 잃고 x=0에서도 실패합니다. atan2도 주값 가지를 골라 경계에서 한 바퀴만큼 점프할 수 있습니다.

r=0이면 모든 θ가 같은 원점으로 갑니다. 입력 칸에 각이 남아 있어도 결과 점이 그 각을 담고 있지는 않습니다. 그래서 복원 각은 —입니다.

실험과 AI 연결

파랑은 기준 단위원, 주황은 위치 벡터입니다. 반지름은 점을 바꾸고 sin·cos의 정의를 바꾸지 않습니다. 표의 거리는 원점이 아니라 q까지입니다. 원점 거리라면 r입니다.

회전·위상·주기 특징은 신호·로봇·위치 표현에 나타납니다. sin/cos 쌍으로 각의 감김을 피할 수 있지만 cos²+sin²=1 제약이 생깁니다. 두 출력을 제약 없이 예측한다고 자동으로 단위원 위에 남지는 않습니다.

연구에서는 좌표·계량·각도 규약을 적고 감긴 각·영벡터·사분면 경계를 검사하세요.

연습과 근거

1. r=2,θ=90도의 p는? 답: 정확한 산술에서 (0,2)입니다.
2. −180도는? 답: −π 라디안입니다.
3. q까지 거리와 반지름이 일반적으로 다른 이유는?
4. 179도와 −179도를 숫자와 단위원 점으로 비교하고 단순 제곱 오차의 한계를 설명하세요.

배경은 OpenStax Algebra and Trigonometry 2e를 참고하세요. 동일 축 배율과 계량은 이 실험의 명시한 조건입니다.