가역성·주기성과 혼합

왕복 흐름이 맞아도 영원히 교대할 수 있다

방이 두 개 있다고 합시다. 종이 울릴 때마다 모두 다른 방으로 이동합니다. 각 방에 절반씩 있는 준비는 정상입니다. 두 방을 바꾸어도 비율이 같기 때문입니다. 그러나 처음에 모두 첫 번째 방에 있으면 분포가 두 방 사이에서 영원히 교대합니다. 정상 상태의 균형 잡힌 통행량과, 특정 초기화에서의 수렴은 다른 성질입니다.

앞 단원에서는 정상 흐름을 구성하고 비대칭 제안을 보정했습니다. 이번에는 고정 전이를 반복하면 어떤 일이 생기는지 묻습니다. 전체 분포를 유도하고, 부호 있는 오차를 살펴보며, 각 시점 분포의 수렴과 분포들을 시간 평균한 값의 수렴을 구별합니다. 두 상태 모형은 모든 경계를 명시적으로 확인할 수 있을 만큼 작습니다.

일반적인 정의와 유한 체인 수렴 정리는 Levin–Peres 교재의 1.3절, 1.5–1.6절, 4.3–4.4절을 참고하세요. 기약성과 비주기성은 유용한 충분조건입니다. 아래에서는 그 가정을 범위 밖에 적용하는 대신, 가약적인 흡수 경우까지 포함해 이 단원의 두 상태 가족을 직접 풉니다.

두 전이 확률과 별도의 초기화를 정하자

상태의 이름은 0과 1입니다. 0→1로 이동할 확률을 a, 1→0으로 이동할 확률을 b라고 합시다. 행은 출발, 열은 도착으로 읽습니다.

$$P=\begin{pmatrix}1-a&a\\b&1-b\end{pmatrix},\qquad 0\leq a,b\leq1.$$

유한 실습은 정수 분자 A,B와 공통 양의 분모 D로 a=A/D,b=B/D를 지정합니다. 분자는 0부터 D까지이고 D는 1,000,000 이하입니다. 별도의 분자 U와 분모 V로 초기 상태 1의 확률을 정합니다.

$$u=\frac UV,\qquad \mu(0)=(1-u,u),\qquad 0\leq U\leq V,\quad 1\leq V\leq10^6.$$

초기 확률 u는 a,b와 독립적으로 지정합니다. 초기화를 바꾸는 것은 준비를 바꾸는 것이며 전이 행렬을 바꾸는 일이 아닙니다. 선택한 N≤512에 대해 t=0부터 N까지 기록합니다. 종 한 번은 이산 전이 한 번을 나타내며, 물리적 초나 연속 시간의 전이율이 아닙니다.

대상	의미	구별해야 할 것
a,b	다른 방으로 이동하는 조건부 확률	현재 방의 점유 확률
u	초기 상태 1의 확률	P로부터 유도한 정상 확률
μ(t)	t번 전이한 뒤의 분포	무작위 경로가 점유하는 상태
N+1	0부터 N까지 기록한 분포 수	적용한 전이 횟수 N

정상성을 풀되 항등 전이의 가족은 유지하자

정상분포에는 독립적인 수지식 하나가 있습니다.

$$\pi_0a=\pi_1b,\qquad \pi_0+\pi_1=1.$$

a+b>0이면 이를 풀어서 유일한 정상분포를 얻습니다.

$$\pi_0=\frac b{a+b},\qquad \pi_1=\frac a{a+b}.$$

유일성에 a와 b가 모두 양수일 필요는 없습니다. a=0,b>0이면 상태 0이 흡수 상태이고 π=(1,0)이 유일한 정상분포입니다. 반대 경우에는 π=(0,1)입니다. 일시적인 초기 확률이 흡수 상태로 흘러 들어가더라도 다른 닫힌 통신류가 생기는 것은 아닙니다.

a=b=0이면 위 공식에서 0으로 나누게 됩니다. 행렬은 항등행렬이고 모든 분포가 정상입니다. 따라서 선택한 평형 하나가 아니라 정상분포의 가족을 제공합니다. 각 초기화가 자기 자신의 극한으로 남습니다. 그 가족에서 참조를 고르지 않았다면 유일한 정상분포까지의 거리는 미제공입니다. 참조가 없다는 것을 거리 0으로 표현하지 않습니다.

상세평형을 쓰고 정상 지지집합에서만 반전하자

두 상태에서는 정상 수지식이 유일한 비대각 상세평형 식이기도 합니다. 따라서 이 가족의 모든 정상법칙은 상세평형을 만족합니다. 교대 체인과 항등 전이의 정상법칙도 포함하지만, 임의의 초기 분포가 혼합된다는 뜻은 아닙니다.

정상 상태의 통계적 시간 반전은 정상 확률이 양수인 상태에서만 나눗셈을 정의해야 합니다.

$$P^{\mathrm{rev}}_{ij}=\frac{\pi_jP_{ji}}{\pi_i}\qquad\text{only where }\pi_i>0.$$

a,b>0이면 정상분포의 지지집합이 전체 상태이고 역전이는 P와 같습니다. 흡수 예 π=(1,0)에서 상태 0의 역전이 행은 (1,0)입니다. 정상 상태 1을 조건으로 하는 행은 미제공입니다. 그 조건 사건의 확률이 0이기 때문입니다. 원래의 일시적 전이 행을 복사해서 채우면 관측한 정상 지지집합 밖의 역과정을 만들어내게 됩니다.

이 설명은 정상 경로의 확률에 관한 것입니다. 물리적 운동량 반전이나 일시적인 상태에 임의로 둔 초기 준비까지 포함하지 않습니다.

분포 갱신을 아핀 재귀로 줄이자

t에서 상태 1의 확률을 xt라고 합시다. 상태 0에서 들어오는 양과 상태 1에 남는 양을 더하면 다음과 같습니다.

$$x_{t+1}=a(1-x_t)+(1-b)x_t=a+(1-a-b)x_t.$$

한 단계 정방향 흐름은 (1−xt)a이고 역방향 흐름은 xtb입니다. 그 차이는 xt+1−xt입니다. 이 차이가 음수이면 상태 0을 향하는 순흐름이 있다는 뜻이며 전이 확률이 음수라는 뜻이 아닙니다.

a=1/4,b=1/2,u=0에서 상태 1의 처음 기록들은 다음과 같습니다.

t	xt	1/3에서의 부호 있는 편차	총변동
0	0	−1/3	1/3
1	1/4	−1/12	1/12
2	5/16	−1/48	1/48
3	21/64	−1/192	1/192

이는 정확한 분포 계산입니다. 표본 경로에는 네 확률 자체가 아니라 각 시점의 상태 0 또는 1이 들어갑니다. 분포를 정확히 갱신했다고 해서 한 경로에서 얻은 추정량의 표본 분산까지 제공되는 것은 아닙니다.

닫힌식을 유도하고 고유값의 부호를 유지하자

a+b>0에서 재귀식의 정상 고정점을 빼봅시다. λ=1−a−b로 두면 다음을 얻습니다.

$$x_t-\pi_1=(u-\pi_1)\lambda^t,\qquad x_t=\pi_1+(u-\pi_1)\lambda^t.$$

상수 방향의 고유값은 1이고, 합이 0인 분포 차이 방향의 고유값은 λ입니다. 두 행이 모두 π인 행렬을 Π라고 쓰면 같은 사실을 행렬로 표현할 수 있습니다.

$$P^t=\Pi+\lambda^t(I-\Pi),\qquad \Pi=\begin{pmatrix}\pi_0&\pi_1\\\pi_0&\pi_1\end{pmatrix}.$$

t=0에서는 λ=0이어도 거듭제곱 값을 1로 두며 P의 0제곱은 항등행렬입니다. λ=0이면 첫 전이를 적용하기 전이 아니라 한 번 적용한 뒤에 π로 초기화가 사라집니다. a=b=0에서는 xt=u를 직접 사용합니다. a+b로 나누어 정상법칙을 만들어내지 않습니다.

양의 λ가 1보다 작으면 부호 있는 편차가 부호를 유지하며 줄어듭니다. λ가 음수이면 매 단계 부호가 바뀝니다. 예를 들어 a=b=3/4이면 λ=−1/2이고 u=0에서 0,3/4,3/8,9/16을 얻습니다. 준비가 1/2의 위아래를 번갈아 넘습니다. 이 부호 변화는 음의 확률이나 음의 분산을 뜻하지 않습니다.

통신류와 귀환 주기를 확인하자

a,b>0이면 두 상태가 서로 통신합니다. 매번 반드시 상태를 바꾸는 a=b=1에서만 주기가 2입니다. 그 밖에는 적어도 한 상태에 머무름 고리가 있어 통신류의 주기가 1입니다.

이동 확률 중 정확히 하나가 0이면 통신류는 두 개지만 닫힌 통신류는 하나뿐입니다. 다른 상태는 일시적입니다. a=0,b=1에서는 일시적 상태 1을 떠난 뒤 돌아올 수 없어 귀환 주기를 제공하지 않습니다. 흡수 상태 0의 주기는 1입니다. a=b=0에서는 두 한 상태 통신류가 모두 닫혀 있고 각각 주기가 1입니다.

커널	정상법칙이 유일한가?	통신 구조	각 시점 분포의 수렴
a,b>0이면서 a=b=1은 아님	그렇다	기약·주기 1	모든 초기화에서 수렴
a=b=1	그렇다	기약·주기 2	이미 정상인 분포에서만 수렴
a,b 중 정확히 하나가 0	그렇다	닫힌 흡수 통신류 하나	모든 초기화에서 수렴
a=b=0	아니다	닫힌 한 상태 통신류 둘	각 초기화가 자신에게 남음

극한이 존재한다는 말과, 유일하게 지정한 참조로 수렴한다는 말을 구별하는 표입니다. 특히 가약성만으로 흡수 체인의 정상법칙 유일성이나 모든 초기화에서의 수렴을 부정할 수는 없습니다.

세 가지 극한 진술을 나누자

정상법칙이 유일하고 |λ|<1인 경우에는 닫힌식으로 xt가 π1에 수렴함을 바로 증명합니다. a=b=1에서는 λ=−1이고 비정상 준비의 교대 오차가 사라지지 않습니다. u=1/2이면 처음부터 정상이지만 같은 커널의 다른 초기 분포는 혼합되지 않습니다.

항등 전이도 각 시점 분포의 극한을 갖습니다. 극한은 u입니다. 유일한 정상 참조가 없다는 말은 그 분포가 수렴하지 않는다는 뜻이 아닙니다. 모형은 이 초기값 의존 극한을 제공하면서 참조가 필요한 거리는 미제공으로 남깁니다.

세 번째 진술은 분포들을 시간에 따라 평균한 값에 관한 것입니다. 선택한 시점의 분포가 수렴하지 않아도 평균한 분포는 수렴할 수 있습니다. 기록 수를 명시하고 이 결과를 별도로 유도하겠습니다.

실제 총변동 거리를 유도하자

두 상태의 성분 오차는 크기가 같고 부호가 반대입니다. 따라서 다음과 같습니다.

$$\|\mu(t)-\pi\|_{\mathrm{TV}}=|x_t-\pi_1|=|u-\pi_1|\,|\lambda|^t\qquad(a+b>0).$$

이는 일반적인 여러 상태의 행 수축 상계와 달리, 이 두 상태 가족 전체에서 성립하는 등식입니다. 부호 있는 성분 오차가 교대해도 총변동은 증가하지 않습니다. 교대 성분을 평활화해서 없애면 정보를 잃습니다. 부호가 바뀌는 것을 거리가 커지는 것으로 해석하는 것도 오류입니다.

a=0,b=1/2,u=1인 흡수 예에서는 xt=2^−t이고 π=(1,0)까지의 거리도 2^−t입니다. u=0에서 시작한 결정적 교대 예에서는 거리가 계속 1/2입니다. 둘 다 정상법칙에서 상세평형을 만족하지만 초기 준비의 변화는 크게 다릅니다.

혼합 기준에는 최악의 초기 거리를 사용하자

특별히 유리한 초기화가 아니라 커널을 평가하려면 가능한 초기 분포에서 거리를 최대화합니다. 스칼라 선형 오차의 최댓값은 두 점질량 중 하나에서 얻습니다.

$$d(t)=\max_{x\in\{0,1\}}\|P^t(x,\cdot)-\pi\|_{\mathrm{TV}}=\max(\pi_0,\pi_1)|\lambda|^t.$$

이 실습에서는 등호를 포함한 사분의 일 거리 기준을 사용합니다.

$$t_{1/4}=\min\{t\geq0:d(t)\leq1/4\}.$$

a=b=1/4이면 d(0)=1/2,d(1)=1/4이어서 도달 시점은 1입니다. a=0,b=1/2이면 d(t)=2^−t여서 도달 시점은 2입니다. 뒤의 결과는 흡수 커널을 직접 계산한 거리이며 기약 체인의 정리를 적용한 것이 아닙니다.

이미 정상인 초기화의 t=0 거리는 0이어도 d(0)은 양수일 수 있습니다. 그 초기화만으로 최악 초기화의 혼합을 인증하지는 못합니다. 선택한 기록 범위가 기준 도달 전에 끝나면 결과는 기록 범위 안에서 미도달입니다. 영원히 도달하지 않는다는 뜻은 아닙니다. 거의 항등이거나 거의 교대인 확률에서는 512번보다 훨씬 많은 전이가 필요할 수 있습니다. 정확한 교대는 별개입니다. d(t)=1/2로 계속 남아 기준에 도달하지 않습니다. 항등 전이에는 이 기준에서 선택한 유일 참조가 없습니다.

부호를 포함한 spectral gap과 절댓값 gap을 구별하자

Spectral gap이라는 숫자를 해석할 때는 λ의 부호가 중요합니다. 이 가족에서 관련된 두 양은 다음과 같습니다.

$$g_{\mathrm{signed}}=1-\lambda=a+b,\qquad g_{\mathrm{absolute}}=1-|\lambda|.$$

a=b=1에서 부호를 포함한 gap은 2지만 절댓값 gap은 0입니다. 부호를 포함한 gap이 크다는 이유만으로 분포 혼합이 빠르다고 주장하면 이 가역 예에서 실패합니다. λ=−1이 교대 오차의 크기를 유지하므로 절대 수축 인자는 여전히 1입니다.

a=b=999999/1000000이면 부호를 포함한 gap은 2에 가깝지만 절댓값 gap은 2/1000000뿐입니다. 체인은 결국 수렴하지만 교대 오차는 천천히 줄어듭니다. 아주 작은 이동 확률과 거의 결정적인 상태 교환이 모두 느린 수축을 만들 수 있습니다. 부호를 포함한 gap을 일반적인 혼합 진술과 연결할 때에는 충분한 머무름과 같은 가정이 중요합니다.

분포를 평균하되 표본 오차 결과로 바꾸지 말자

초기 분포를 포함해 기록한 N+1개 분포의 평균을 냅니다.

$$\bar\mu(N)=\frac1{N+1}\sum_{t=0}^{N}\mu(t),\qquad \bar x_N=\frac1{N+1}\sum_{t=0}^{N}x_t.$$

a+b>0이면 λ≠1이므로 유한 기하급수를 합할 수 있습니다.

$$\bar x_N=\pi_1+(u-\pi_1)\frac{1-\lambda^{N+1}}{(N+1)(1-\lambda)}.$$

정확한 교대에서는 λ=−1입니다. 상태 0에서 시작해 N=2까지의 상태 1 확률은 0,1,0이고 평균은 1/3, 1/2까지의 거리는 1/6입니다. N=3까지 평균하면 정확히 1/2이지만 현재 분포는 상태 1에 집중됩니다. N이 커질 때 각 시점의 분포가 수렴하지 않아도 평균 분포는 π로 수렴합니다.

항등 전이에서는 평균도 초기 분포로 남으며 균일해지지 않습니다. 모형은 확률 법칙들을 평균합니다. 같은 초기화의 경로에서 경험적 점유 비율을 구했을 때 그 기댓값과 같지만, 무작위 시간 평균의 분산·신뢰구간·유효 표본 수를 제공하지는 않습니다. 그 계산에는 한 시점의 주변분포뿐 아니라 표본 경로의 결합 의존성이 필요합니다.

고유값과 정규화한 관측 상관을 나누자

유일한 정상법칙 아래에서 상태 1의 지시변수를 X라고 합시다. 정상 분산과 한 지연 공분산은 다음과 같습니다.

$$\operatorname{Var}_{\pi}(X)=\pi_0\pi_1,\qquad \operatorname{Cov}_{\pi}(X_0,X_1)=\pi_0\pi_1\lambda.$$

두 정상 확률이 모두 양수이면 공분산을 분산으로 나누어 정규화한 한 지연 상관 λ를 얻습니다. a=b=1에서는 상관이 −1, 공분산이 −1/4, 분산이 +1/4입니다. 음의 의존성이 분산을 음수로 만드는 것은 아닙니다.

흡수 정상법칙에서는 지시변수가 상수입니다. 분산과 공분산은 정확히 0이지만 정규화 상관은 0으로 나누어야 하므로 미제공입니다. 행렬에는 여전히 대수적인 고유값 λ가 있습니다. 항등 전이에서는 선택한 정상 참조가 없어 그 참조의 분산·상관도 제공하지 않습니다. 정상 가족 중 하나를 선택하는 것은 추가적인 준비 결정입니다.

이는 이진 지시변수 모형이며 단위 분산의 Gaussian AR(1) 과정이 아닙니다. 같은 고유값 형태는 앞의 상관 평균 단원과 유용한 연결을 주지만, 두 모형의 주변법칙이나 불확실성 계산까지 같게 만들지는 않습니다.

선형 표시 범위 아래의 정확한 편차를 유지하자

입력 분자와 분모는 정확한 정수이므로 유한 행렬 거듭제곱과 부호 있는 차이를 정확한 유리수로 계산할 수 있습니다. 별도로 구한 닫힌식과 분포 갱신은 소수로 투영하기 전에 일치해야 합니다. 반올림한 1/3이나 정상 확률은 정확한 분수 자체가 아닙니다.

A=500000,B=499999,D=1000000,u=0으로 둡시다. λ=10^−6이고 다음이 성립합니다.

$$\pi_1=\frac{500000}{999999},\qquad x_t-\pi_1=-\frac{\pi_1}{10^{6t}}.$$

t=64에서 부호 있는 오차와 총변동은 비영이지만 선형 부동소수점 투영은 비영 표시 범위 밖입니다. 두 확률 막대가 반올림한 정상 막대와 같아 보일 수 있습니다. 그러나 정확한 현재 분포는 정상이 아닙니다. 오차를 0으로 바꾸면 수학적 진술이 달라집니다.

모형은 정확한 유리수 경계와 부호를 유지합니다. 크기의 로그는 아주 작은 비영 값을 표시할 때 도움이 되지만 근사이며 인증된 초월함수 구간은 아닙니다. 정확한 0에는 유한 로그 크기가 없습니다. 그림용 작은 상수나 두 반올림 확률 사이의 허용 오차로 정확한 정상성·통신 가능성·기준 도달을 판정하지 않습니다.

교대와 혼합을 실제 실험에서 구별하자

두 방 사이에서 질량을 옮기는 실험으로 생각해보세요. A,B,D가 방 사이의 전이 규칙을 정하고 U,V는 처음에 상태 1에 놓인 질량 U/V를 정합니다. 전이 규칙의 분모 D와 초기 준비의 분모 V는 별개입니다. 기본 A=1,B=2,D=4에서 a=1/4,b=1/2이고 정상 상태 1 확률은 1/3입니다.

조작	확인할 관측	설명할 질문
‘양의 고유값·단조 접근’과 ‘음의 고유값·교대 접근’을 비교한다	상태 1의 부호 있는 편차와 TV 거리	거리는 줄어드는데 편차 부호는 번갈아 바뀔 수 있는가?
‘완전 교대·짝수 종료’에서 ‘전이 한 단계’를 누른다	현재 법칙은 반대 상태로 옮겨가고 점별 극한은 미제공이다	정상·상세평형인 참조가 있어도 현재 법칙이 수렴하지 않는 이유는 무엇인가?
‘교대 커널·정상 초기값’을 고른다	현재 TV는 0이지만 최악 초기값 TV는 1/2로 남는다	좋은 초기값 하나가 모든 초기값에 대한 혼합을 증명하는가?

N을 바꾸면 같은 초기 법칙에서 N번 전이한 결과를 다시 계산합니다. 전이 한 단계도 이 N을 증가시키며 임의 표본을 한 번 뽑는 버튼이 아닙니다. 로그 거리 표시에서는 정확한 0을 축 아래 점으로 분리하고, 부호 있는 편차 그림은 선형 축을 유지합니다. Cesaro 막대는 t=0부터 N까지 N+1개 분포를 평균합니다. 기록 표의 페이지 이동은 이 평균의 범위나 N을 바꾸지 않습니다.

먼저 예측하고 계산한 뒤 설명하자

1. 비대칭 재귀 풀기

a=1/4,b=1/2,u=0을 사용합니다. π1,λ,x3와 선택한 준비의 t=3 총변동을 구하세요.

해설. π1=a/(a+b)=1/3이고 λ=1/4입니다. 닫힌식으로 x3=(1/3)(1−1/64)=21/64입니다. 거리는 1/192입니다. 최악의 초기 거리는 대신 (2/3)(1/64)=1/96입니다. 이 비대칭 예에서 거리를 최대화하는 초기화는 u=0이 아닙니다.

2. 각 시점과 평균의 거동 비교하기

a=b=1,u=0이고 N=3까지 기록합니다. 현재 상태 1 확률, 그 거리, 평균 확률과 두 gap은 얼마인가요?

해설. x3=1이고 각 시점 거리는 1/2입니다. 네 기록은 0,1,0,1이므로 평균은 1/2입니다. 부호를 포함한 gap은 2이고 절댓값 gap은 0입니다. 평균의 등식은 각 시점 분포의 수렴을 증명하지 않습니다. 비정상 준비는 계속 교대합니다.

3. 가약적인 흡수 체인 확인하기

a=0,b=1/2,u=1을 사용합니다. 정상법칙은 유일한가요? 사분의 일 기준은 언제 도달하고, 정상 지시변수의 정규화 상관을 제공할 수 있나요?

해설. 가약적이지만 유일한 정상법칙은 (1,0)입니다. xt=2^−t이고 최악 초기 거리는 t=2에서 처음 1/4이 됩니다. 정상 지시변수의 분산과 공분산은 0이므로 정규화 상관은 미제공입니다. 정상 확률이 0인 상태 1의 역전이 행도 미제공입니다.

4. 항등 경계 해석하기

a=b=0,u=1/3으로 둡니다. 각 시점 극한, 평균 극한과 유일한 정상법칙까지의 거리를 구하세요.

해설. 분포가 (2/3,1/3)으로 남으므로 두 극한 모두 그 초기법칙입니다. 유일한 정상법칙과 선택한 참조 거리는 없습니다. 미제공 거리를 0으로 부르면 초기화를 참조로 몰래 선택한 것입니다. 이 준비가 수렴하지 않는다고 부르는 것도 잘못입니다.

5. 유리한 초기화와 커널 기준 구별하기

a=b=1/3,u=1/2를 사용하고 t=0만 기록합니다. 현재 준비의 거리 0이 사분의 일 혼합을 인증하나요? 도달을 관측하지 못했다면 영원히 도달하지 않나요?

해설. 선택한 준비는 정상이지만 t=0의 최악 초기 거리는 1/2입니다. 기록에는 기준 도달이 없습니다. t=1까지 늘리면 최악 거리가 1/6이어서 기준을 만족합니다. 이 범위에서 미도달이라는 말과 영구적 비수렴을 구별해야 합니다.

6. 겹쳐 보이는 반올림 막대 진단하기

A=500000,B=499999,D=1000000,u=0,t=64를 사용합니다. 확률 표시가 정상 표시와 같아 보이면 총변동은 정확히 0인가요?

해설. 아닙니다. π1=500000/999999에서 총변동은 π1/10^384이므로 양수입니다. 선형 표시는 불가능하지만 정확한 분수와 부호는 남습니다. 독립적으로 계산한 재귀와 행렬 갱신이 비영 오차에 대해 일치합니다. 막대가 같아 보이는 것으로 정상성을 증명할 수 없습니다.

유한 혼합을 AI와 후속 연구에 연결하자

고정된 두 상태 예는 초기화 편향, 정상 불변성, 음의 의존성, 최악 초기 수축과 평균 주변분포를 나눠 보여줍니다. 안정적으로 보이는 샘플러, 이진 진단 기록이나 보고된 spectral gap을 해석할 때 필요한 구별입니다. 천천히 수축하는 준비와 주기적으로 수렴하지 않는 준비에는 다른 설명이 필요합니다.

학습하거나 추정한 전이 행렬에는 커널 자체의 불확실성이 추가됩니다. 더 큰 과정을 두 레이블로 거칠게 묶어도 자동으로 Markov 과정이 되지는 않습니다. 시간에 따라 바뀌는 커널, 일반 지지집합 그래프, 고차원 고유값 추정과 의존성을 고려한 Monte Carlo 오차에는 추가 가정과 증명이 필요합니다. 연속 시간 생성자도 다른 시계를 사용하므로 여기 확률을 단순히 전이율로 바꾸어 부를 수 없습니다.

이 유한 계산은 명시한 가족의 입문 유도를 제공합니다. 일반 이론, 경험적 샘플러 검증, 물리적 열역학이나 더 넓은 연구 교육과정까지 완료한 것은 아닙니다.