열적 요동과 힘에 대한 응답

자발적인 요동과 통제한 응답을 비교한다

유체 속에서 용수철에 잡힌 작은 입자를 생각하자. 외부 힘을 더하지 않아도 입자는 요동한다. 한 시각의 변위와 나중 변위의 상관을 기록할 수 있다. 다른 실험에서는 알고 있는 힘을 가하고, 여러 번 반복한 평균 위치가 얼마나 변하는지 측정한다. 요동·소산 관계는 명시한 가정 아래에서 이 두 실험을 연결한다.

한 입자의 불규칙한 위치는 평균 응답 곡선과 다르다. 정상적인 입자 구름의 사진도 시간 상관 기록과 다르다. 그래프를 비교하기 전에 힘과 그 시간 모양, 측정 좌표, 초기분포와 상관의 시간 순서를 정해야 한다.

먼저 평형의 관계를 유도한 뒤 같은 Gaussian 구름을 유지하는 순환 구동을 추가한다. 그러면 평형에서 쓰던 어느 지름길이 실패하고, 정상 흐름 정보가 그 차이를 어떻게 보정하는지 직접 볼 수 있다.

열적 모형의 가정을 명시한다

앞의 확률 흐름 단원에서는 임의의 감쇠·확산 계수에서 온도를 추론하지 않았다. 여기서는 양의 열저장고 열에너지 θ=kBT, 스칼라 이동도 μ, 용수철 강성 κ, Einstein 관계 D=μθ라는 물리 가정을 추가한다. 두 좌표는 모두 시간 반전에서 짝인 위치다.

$$dX_t=[AX_t+\mu f(t)]\,dt+\sqrt{2\mu\theta}\,dW_t, \quad A=-\gamma I+\omega R,\quad\gamma=\mu\kappa, \quad R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$

이동도의 단위는 m/(N·s), 강성은 N/m, θ는 J, 힘 f는 N이고 γ와 ω는1/s다. 확산은 m²/s다. ω=0이면 힘은 퍼텐셜 κ|x|²/2의 기울기 힘이다. ω≠0에서는 비보존 힘(ω/μ)Rx가 순환을 구동한다. 보통의 Cartesian 좌표 그림에서 양의 ω는 반시계 방향이다.

이 관계들은 새 열적 모형에 넣은 가정이며 정상 히스토그램에서 따라오는 결론이 아니다. 앞의 모든 Markov·Gaussian 예제에 뒤늦게 열저장고를 붙이지 않는다. 표의 행렬 항에서는 첫째·둘째 위치 좌표를 인덱스0과1로 표시한다.

섭동 전 정상법칙을 확인한다

추가 힘을 가하기 전에 평균0의 Gaussian으로 초기화하고 미래 Brownian 증분과 독립으로 둔다. 좌표별 분산은 v=θ/κ다. 공분산 방정식에서 정상성을 확인하면

$$\Sigma=vI,\quad v=\frac{\theta}{\kappa},\quad D=\mu\theta, \qquad A\Sigma+\Sigma A^T+2DI=0.$$

회전 항은 공분산 방정식에서 상쇄된다. 따라서 ω를 바꾸어도 Gaussian 법칙은 같지만 서로 다른 시각의 위치 관계는 변한다. 평형에서는 같은 Gaussian을 조화 퍼텐셜의 Boltzmann 무게로도 얻는다. 구동된 경우에는 같은 밀도만으로 상세 균형을 확인할 수 없다.

아래 상관은 섭동하지 않은 정상 과정에서 측정한다. 결정론적 외부 힘을 가하면 평균이 바뀐다. 이 affine 모형에서는 바뀌는 평균을 뺀 공분산은 vI로 남지만, 힘을 가한 과정의 원시 이차 모멘트에는 평균의 외적도 들어간다. 중심 공분산과 원시 모멘트를 구별해야 한다.

순간 충격과 계단 힘을 구별한다

회전 행렬 R과 구별하도록 응답 커널에는 별도 글꼴의 기호를 쓴다. 인과성은 나중에 가한 힘이 앞선 관측에 영향을 주지 않는다는 뜻이다.

$$\delta\langle X(t)\rangle=\int_0^t\mathcal R(t-s)f(s)\,ds, \qquad \mathcal R(t)=\mu e^{At}\ (t>0), \qquad C(t)=\mathbb E[X_tX_0^T]=v e^{At}.$$

음의 시차에서 커널은0이다. 영 시각은 오른쪽 극한 μI로 읽는다. 힘의 순간 충격은 적분 세기 I_f의 단위가 N·s이며 평균 변위 ℛ(t)I_f를 만든다. 시각0부터 계속 켜 놓는 힘 F는 단위가 N이고 평균 변위 χ(t)F를 만든다. χ는 커널을 시간 적분한 값이다.

$$\chi(t)=\int_0^t\mathcal R(s)\,ds, \qquad m_{\rm step}(t)=\chi(t)F, \qquad m_{\rm impulse}(t)=\mathcal R(t)I_f.$$

커널의 단위는 m/(N·s), χ는 m/N이다. 숫자 계수가1로 같아도 단위 힘과 단위 힘 충격은 다른 입력이다. 시각0에서 계단 힘의 평균은0이지만 이상적 순간 충격의 오른쪽 극한 평균은 μI_f다. 이는 과감쇠 방정식의 이상적 충격이며 유한한 관성을 가진 입자의 가속도를 계산한 것이 아니다.

평형 관계와 미분 부호를 유도한다

ω=0이면 행렬 지수는 exp(−γt)I다. 양의 시차 상관을 미분하고 vγ=μθ를 쓰면

$$C(t)=v e^{-\gamma t}I, \qquad -\frac{C'(t)}{\theta} =\frac{\gamma v}{\theta}e^{-\gamma t}I =\mu e^{-\gamma t}I=\mathcal R(t).$$

음수 부호는 증가하는 시차 t에 대한 미분에 붙는다. 정상 두 시각 상관에서 더 이른 관측 시각을 미분하면 부호가 반대다. 시간 약속 없이 공식을 복사하면 응답의 부호부터 잘못 예측할 수 있다.

적분하면 평형의 계단 감수성을 얻는다.

$$\chi(t)=\frac{1-e^{-\gamma t}}{\kappa}I =\frac{C(0)-C(t)}{\theta}.$$

μ=κ=θ=1이고 첫째 좌표 방향으로 힘을 가하면 t=1의 커널은 exp(−1)I≈0.367879I다. 반면 F=(1,0)에 대한 계단 평균은 약(0.632121,0)이다. 충격 응답은 감쇠하고 계단 평균은 이동한 정상값에 접근한다. 둘을 같은 응답처럼 한 그래프의 이름만 바꾸어 보여 주면 안 된다.

물리 조작을 하나씩 바꾼다

분산, 완화율과 평균 응답은 계수의 서로 다른 조합에 의존한다. 아래 평형 비교는 모두 t=1, F=(1,0)이다.

준비	좌표 분산 v	완화율 γ	계단 평균 첫 성분
μ=κ=θ=1	1	1/s	0.632121m
μ=2, κ=θ=1	1	2/s	0.864665m
κ=2, μ=θ=1	1/2	2/s	0.432332m
θ=3, μ=κ=1	3	1/s	0.632121m

이동도를 늘리면 시계가 바뀌지만 평형 폭과 정적 변위 F/κ는 같다. 강성을 늘리면 구름이 좁아지고 정적 변위도 줄어든다. μ,κ,ω를 고정하고 열에너지만 늘리면 자발적 요동은 커지지만 결정론적 평균 응답은 바뀌지 않는다. 더 뜨거운 예제에서도 같은 커널을 얻으려면 상관 미분을 새 θ로 나누어야 한다.

이는 지정한 선형 열적 모형의 통제 비교다. 실제 물질의 이동도나 강성이 온도에 따라 바뀌지 않는다는 일반적인 주장이 아니다.

같은 Gaussian 구름 안에 회전을 추가한다

ω가0이 아니면 전파자는 감쇠하며 회전한다. 공분산의 순서를 E[X_t X_0의 전치]로 고정하면

$$C(t)=v e^{-\gamma t} \begin{pmatrix}\cos\omega t&-\sin\omega t\\\sin\omega t&\cos\omega t\end{pmatrix}, \qquad\mathcal R(t)=\mu e^{-\gamma t} \begin{pmatrix}\cos\omega t&-\sin\omega t\\\sin\omega t&\cos\omega t\end{pmatrix}.$$

비대각 항에는 부호가 있다. 상관이나 응답 계수는 확률이 아니므로 음수 항을 잘라서는 안 된다. ω의 부호를 바꾸면 가로 응답도 반대가 된다. C를 전치해도 부호가 바뀌므로 시간 순서가 눈에 보여야 한다.

μ=κ=θ=ω=1, t=1에서 실제 응답의 첫 열은 약(0.198766,0.309560)이다. 평형식−C'/θ를 그대로 넣으면(0.508326,0.110794)가 나온다. 정상 구름의 폭이 평형 기준과 같아도 크기와 방향이 모두 틀린다.

정상 흐름이 만드는 보정을 찾는다

정상 확률흐름 속도는 v_s(x)=ωRx다. 이는 수송장 J/p이며 Brownian 경로의 보통 의미의 순간 속도가 아니다. 더 이른 시각의 이 장과 나중 위치의 상관을 계산하면

$$K(t)=\mathbb E[X_t v_s(X_0)^T] =C(t)(\omega R)^T=-\omega C(t)R.$$

C'=AC와 γ=μκ를 쓰면

$$\mathcal R(t)=-\frac{C'(t)+K(t)}{\theta}, \qquad -\frac{C'(t)}{\theta}-\mathcal R(t) =-\frac{\omega}{\kappa}R e^{At}.$$

이 식은 평형 지름길에서 빠진 정보가 무엇인지 알려 준다. 잘못된 예측은−C'/θ, 보정은−K/θ다. 드리프트의 감쇠와 순환 흐름을 따로 읽는다. 평형에서는 K=0이라 익숙한 관계로 돌아간다.

아주 간단한 검사는 t=0+다. 실제0,1응답은0이다. 단위 계수와 ω=1에서 잘못된0,1예측은1, 흐름 보정은−1이다. 영 시각의 대각만 확인하면 실패를 놓친다. 이 스칼라 이동도 모형에서 영 시차 가로 응답이 비영이면, 둘째 좌표 방향의 힘이 첫째 좌표의 순간 변위로 직접 바뀐다고 잘못 해석하게 된다.

밀도 score와 응답을 연결한다

가산 힘에 따른 밀도 생성자의 섭동은−μf·기울기다. 그 연산자가 정상 밀도에 작용한 결과를 정상 밀도로 나누면 켤레 관측량을 얻는다.

$$B_j(x)=-\mu\partial_j\log\rho(x)=\frac{\mu}{v}x_j, \qquad\mathcal R_{ij}(t)=\mathbb E[X_i(t)B_j(X_0)] =\frac{\mu}{v}C_{ij}(t).$$

이는 공간에 대한 밀도 score와 명시한 섭동 연산자의 조합이다. 매개변수화한 정상 밀도를 가한 힘에 대해 미분한 것과 바로 같지는 않다. 두 개념을 추가 유도로 연결할 수는 있지만 “score”라는 이름만으로 동일시하지 않는다.

score 기반 AI에도 구체적인 교훈이 있다. 한 시각의 score만으로 생성자 전체나 모든 종류의 응답을 식별하지 못한다. 여기서는 힘이 어떻게 들어가는지도 알고 두 시각 상관 C도 사용한다. 이동도나 회전 구동이 바뀌면 한 시각 Gaussian score는 같아도 응답은 달라질 수 있다.

구동된 커널을 적분해 계단 실험을 예측한다

감쇠 행렬 A는 가역이다. 커널을 적분하면

$$\chi(t)=\mu A^{-1}(e^{At}-I), \qquad\chi(\infty)=-\mu A^{-1}, \qquad m_{\rm step}(t)=\chi(t)F.$$

평형 적분(C(0)−C(t))/θ를 그대로 사용하면 일반적으로 다르다. 단위 구동 예제와 F=(1,0)에서 t=1의 실제 계단 평균은 약(0.555397,0.245837)이다. 잘못된 평균은 약(0.801234,−0.309560)이다. 실제 장시간 평균은(1,0)이 아니라(1/2,1/2)다. 이동한 구름에도 배경 비보존 힘이 작용하기 때문이다.

이 affine 모형의 결정론적 평균 방정식은 정확히 선형이므로 선택한 유한 힘에 대해서도 식이 정확하다. 일반 응답 이론은 보통 영 섭동에서의 미분을 다루며 비선형 보정은 따로 제한해야 한다. 여기의 유한 힘 결론을 임의의 학습된 동역학 모형에 옮기지 않는다.

유효 열에너지 비율은 진단량으로 읽는다

평형식을 한 성분에 억지로 맞추려고 다음 비율을 만들 수 있다.

$$\theta^{\rm eff}_{ij}(t)=-\frac{C'_{ij}(t)}{\mathcal R_{ij}(t)}, \qquad \theta^{\rm eff}_{\rm diag}=\theta\left(1+\frac{\omega}{\gamma}\tan\omega t\right), \quad \theta^{\rm eff}_{\rm off}=\theta\left(1-\frac{\omega}{\gamma}\cot\omega t\right).$$

해당 응답 분모가0이 아닐 때만 적용한다. 영 시차의 비대각 응답은0이므로 평형의0/0도 포함해 이 비율은 미정의다. 그래프의 극한이 무한해 보이는 것과 그 시각에 값이 정의되는 것은 다르다.

단위 구동 예제의 t=1에서 대각 비율은 약2.557408J, 비대각 비율은0.357907J다. 열저장고의 θ는1J로 지정했는데도 그렇다. t=1/4에서는 비대각 비율이 약−2.916317J다. 이 음수 진단량이 음수인 열저장고 온도를 뜻하지 않는다. 모든 시각과 성분에 맞지 않는 평형 공식을 하나의 온도로 고칠 수 없다는 뜻이다.

응답이0에 가까우면 작은 측정 오차도 큰 비율 오차를 만든다. 유리수 각도355/226은 π/2에 가깝지만 같지는 않다. t=1의 대각 응답은 작고 음수이며 정확한 구조적0이 아니다. 큰 비율을 해석하기 전에 이 차이를 보존해야 한다.

작은 값과 정확한 항등식의 의미를 보존한다

계산은 정확 유리수 계수와 방향성 지수·삼각함수 구간을 사용한다. 아주 작은 비영 선형 응답이 작업 정밀도에서 미해결이라고 물리적으로0이 되는 것은 아니다. 감쇠 로그와, 삼각함수 부호가 확인된 경우 별도의 절대 응답 로그를 읽을 수 있다.

$$\log|\mathcal R_{ij}(t)| =\log\mu-\gamma t+\log|g_{ij}(\omega t)|, \qquad g_{ij}\in\{\cos,\sin,-\sin\}.$$

로그는 커널의 단위 m/(N·s)를 기준으로 삼는다. 정말0인 사인 성분에는 유한 로그가 없다. 성분 진단 비율에서는 공통된 엄격히 양의 지수를 해석적으로 먼저 상쇄할 수 있다. 따라서 직접 선형 응답 표시가 미해결이어도 비율은 가용할 수 있다.

보정 응답과 score 응답은 이 가족의 정확한 대수 항등식을 사용한다. 항등식 잔차0은 그 유도를 확인하며, 잡음 있는 경험 곡선을 정확히 빼서0이 나왔다거나 일반 데이터에 대해 증명했다는 뜻이 아니다. 그림 좌표와 반올림 숫자는 표시를 위한 것이고 부호·상쇄가 중요하면 포함 구간을 확인한다.

통제 비교와 연구 확장을 계획한다

22개 준비에는 평형 계수 변화, 양방향 회전, 종방향·가로 힘, 서로 다른 충격/계단 방향, 영 시차·짧은 시차·촘촘한 기록, 극단 감쇠와 영 응답 근처를 넣었다. 더 빠른 시계의 준비에서는 관측 시간을 줄여 같은 시차 위상을 유지한다. 해당 상관은 같지만 충격 커널의 크기는 재척도된다. 같은 물리 시간과 같은 위상은 다른 비교다.

섭동 전 상관, 힘 응답 커널, 적분한 평균 변위를 별도 그래프로 보이고 모든 축에 단위를 쓴다. 실제 응답, 잘못된 평형 예측과 흐름 보정을 부호를 자르지 않고 비교한다. 선택 시간 기록을 바꾸는 조작은 무작위 경로를 새로 만들거나 앙상블 곡선을 한 궤적으로 이름만 바꾸는 기능이 아니다.

Seifert 리뷰의8.2–8.3절은 평형과 정상 비평형 응답을 구별하고 켤레 관측량을 확인하는 틀로 참고한다. 여기의2차원 공식과 예제는 직접 계산이며 논문의1차원 고리 실험을 그대로 재현한 것은 아니다.

비선형 관측량, 비정상 초기화, 일반 섭동 연산자, 주파수 응답과 유한 자료에서 미분을 추정하는 문제로 이어간다. 별도 주제인 linear response와 entropy production도 남아 있다. 이 첫 가해 모형만으로 요동·소산 이론이나 전체 연구 교육과정을 다 마쳤다고 판단하지 않는다.

해설이 있는 연습 문제

1. 평형 커널을 복원하라

C(t)=v exp(−γt)I에서 힘 응답 커널을 유도하고 단위를 확인하라.

해설.−C'/θ=(γv/θ)exp(−γt)I다. v=θ/κ, γ=μκ이므로 앞 계수는 μ다. 상관 미분은 m²/s이고 θ의 단위 J=N·m로 나누면 m/(N·s)다. 힘을 시간 적분하기 전 커널에 필요한 단위다.

2. 영 시각에서 계단과 충격을 나누어라

F=(1,0)N, 충격 적분 I_f=(0,1)N·s, μ=1이면 오른쪽 극한 평균 변화는 각각 무엇인가?

해설. 계단 감수성은0에서 시작하므로 계단 평균은(0,0)m다. 충격 커널은 μI에서 시작하므로 순간 충격 평균은(0,1)m다. 숫자 진폭이 같아도 단위와 작용 방향이 다르다.

3. 가로 응답의 부호 오류를 찾아라

단위 계수와 ω=1에서 영 시차의 실제 커널, 잘못된 예측과 흐름 보정의0,1항을 구하라.

해설. 실제 항은0이다. C'01(0)=−1이므로−C'01/θ=1이다. K01(0)=1이므로−K01/θ=−1이다. 합은0이다. C를 전치하거나 흐름 항을 빼면 이 검사를 통과하지 못한다.

4. 더 뜨거운데 평균 응답은 같은 구름을 설명하라

μ,κ,ω와 외부 힘을 고정하고 θ를 세 배로 늘리면 무엇이 바뀌는가?

해설. D와 v가 세 배이므로 섭동 전 상관도 세 배다. A와 결정론적 평균 방정식은 바뀌지 않아 충격 커널과 계단 평균은 같다. 상관으로 계산할 때 새 θ로 나누면 올바른 응답으로 돌아온다. 실제 물질에서 이동도나 강성이 온도에 따라 변한다면 다른 비교가 필요하다.

5. 보편적인 유효 온도를 거부하라

단위 구동 예제의 t=1에서 대각 진단은2.557408J, 비대각 진단은0.357907J다. 둘 중 하나로 열저장고 θ를 모든 곳에서 바꿀 수 있는가?

해설. 아니다. 비율은 성분과 시차에 의존하고 열저장고 θ는1J로 지정했다. 다른 시차에서 비대각 비율이 음수라도 열저장고 온도가 음수인 것은 아니다. 응답 분모가0이면 측정된 온도가 아니라 미정의 비율이다.

6. 모형의 항등식과 데이터 검증을 구별하라

보정 응답 잔차는 정확히0인데 측정 응답에는 잡음이 있다. 이0은 무엇을 증명하며 미해결 극소 응답은 어떻게 처리해야 하는가?

**해설.**0은 명시한 OU 생성자·열적 관계와 대수적 단순화에서 나온다. 측정 데이터가 그 모형을 따른다는 증거는 아니다. 미해결 선형 응답과 구조적0을 구별하고 로그·포함 구간을 확인하며, 데이터에서 추정한 상관 미분이나 비율의 불확실성도 보고해야 한다.