정현파 외력과 초기값 과도 응답

반복해서 밀어도 운동은 곧바로 반복되지 않는다

그네를 일정한 간격으로 민다고 생각해 보자. 운동은 미는 주기뿐 아니라 처음 위치와 속도에도 달려 있다. 주파수 응답 곡선은 특정한 반복 운동을 알려 주지만, 힘을 켠 직후부터 어떤 일이 일어나는지는 초기값 문제를 풀어야 알 수 있다.

이 단원에서는 정현파 외력에 대한 실제 시간 응답을 유도한다. 이계 선형 미분방정식, 복소수, 역학적 에너지가 선수 지식이다. 먼저 운동이 줄어들지, 유지될지, 커질지 예측하고 같은 물리적 시각의 위치·속도·에너지를 비교하자.

계와 단위를 먼저 정한다

질량에 선형 용수철과 점성 감쇠기가 연결되어 있다고 하자.

$$m\ddot x+c\dot x+kx=F_0\cos(\Omega t),\qquad x(0)=x_0,\quad\dot x(0)=v_0.$$

질량 $m$의 단위는 kg, 변위 $x$는 m, 강성 $k$는 N/m, 감쇠계수 $c$는 N s/m, 힘 진폭 $F_0\ge0$는 N이다. 각주파수 $\Omega\ge0$는 rad/s, 시간은 초다. $m,k>0$, $c\ge0$를 가정한다. 감쇠력은 속도에 비례한다. 마찰력이 속도의 부호에만 의존하거나 용수철이 비선형이면 다른 방정식이 필요하다.

외력은 처음에 양의 최댓값이다. 시작 위상을 바꾸면 초기값 실험도 바뀐다. 1 rad/s는 초당 한 바퀴가 아니다. 이때 주기는 $2\pi$초다.

특수해와 초기조건의 기억을 분리한다

선형성에 따라 $x=x_p+x_h$로 쓸 수 있다. 특수해 $x_p$는 외력이 있는 방정식을 만족한다. 동차해 $x_h$는 $m\ddot x_h+c\dot x_h+kx_h=0$을 만족하면서 특수해에 부족한 초기조건을 보충한다.

$$x_h(0)=x_0-x_p(0),\qquad \dot x_h(0)=v_0-\dot x_p(0).$$

두 해는 실제 질량 두 개의 운동이 아니라 한 운동을 표현하는 두 항이다. 두 항이 거의 상쇄되는 시각에는 각각은 커도 실제 변위는 작을 수 있다. 무감쇠 공진 부근에서 큰 특수해와 큰 동차해를 따로 계산해 빼면 부동소수점 유효숫자를 잃을 수 있다는 점도 기억하자.

주기 특수해를 유도한다

외력을 $\operatorname{Re}(F_0e^{i\Omega t})$로 쓰고 $x_p=\operatorname{Re}(Xe^{i\Omega t})$를 대입하면

$$X=\frac{F_0}{k-m\Omega^2+ic\Omega},\qquad x_p=A\cos(\Omega t-\phi)$$

를 얻는다. 여기서 $A=F_0/\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+c^2\Omega^2}$, $\phi=\operatorname{atan2}(c\Omega,k-m\Omega^2)$다. 따라서 $x_p(0)=A\cos\phi$, $\dot x_p(0)=A\Omega\sin\phi$다. 고유 각주파수보다 빠르게 구동하면 위상 지연이 $\pi/2$보다 커지므로 사분면을 구분하는 두 인자 각도 함수를 사용한다.

이 식은 분모가 0이 아닐 때만 유효하다. 0이 아닌 외력의 정확한 무감쇠 공진에서 식을 쓸 수 없다는 것은 유계 주기해라는 가정의 실패다. 초기값 방정식 자체가 풀리지 않는다는 뜻이 아니다. 힘 진폭이 0이면 내재적 전달함수가 특이해도 영 특수해를 항상 선택할 수 있다. 이때 실제 운동은 동차 초기값 해다.

세 감쇠 영역을 이해한다

$\alpha=c/(2m)$, $\omega_0=\sqrt{k/m}$라 하자. $\alpha<\omega_0$일 때 $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$로 놓으면, $a=x_h(0)$, $b=\dot x_h(0)$에 대해

$$x_h=e^{-\alpha t}\left[a\cos(\omega_dt)+\frac{b+\alpha a}{\omega_d}\sin(\omega_dt)\right]$$

이다. 임계감쇠 $\alpha=\omega_0$에서는 중근에 따라 $x_h=[a+(b+\alpha a)t]e^{-\alpha t}$가 된다. 과감쇠에서는 서로 다른 두 실근 $-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}$에 대응하는 지수함수 두 개가 감쇠한다. 자유 운동이 진동하지 않아도 외력이 주기적이면 주기 특수해는 존재할 수 있다.

$c>0$이면 동차 성분이 사라지고, $c=0$이면 남는다. 따라서 모든 동차 성분을 ‘시간이 지나면 없어지는 과도 응답’이라고 부르면 무감쇠 경우를 잘못 설명하게 된다.

맥놀이에는 두 시간 척도가 있다

초기 위치·속도가 0이고 감쇠가 없으며 공진을 벗어나면

$$x(t)=\frac{F_0}{m}\frac{\cos(\Omega t)-\cos(\omega_0t)}{\omega_0^2-\Omega^2}$$

이다. 두 주파수가 가까우면 빠른 진동에 느린 포락선이 생긴다. 코사인 차의 항등식으로 두 시간 척도를 분리할 수 있다. 공진에서도 연속인 표현은

$$x(t)=\frac{F_0t}{m(\omega_0+\Omega)} \sin\!\left(\frac{\omega_0+\Omega}{2}t\right) \operatorname{sinc}\!\left(\frac{\omega_0-\Omega}{2}t\right),\quad \operatorname{sinc}(z)=\frac{\sin z}{z},\quad\operatorname{sinc}(0)=1$$

이다. 여기서는 하나의 자유도에 가해진 외력과 자유 운동이 간섭한다. 여러 진동자가 결합해 만드는 정상모드는 다음 주제에서 따로 다룬다.

정확한 공진은 시간에 따라 성장한다

$c=0$, $\Omega=\omega_0$에서 초기조건이 0이면

$$x(t)=\frac{F_0}{2m\omega_0}t\sin(\omega_0t)$$

이다. 포락선은 시간에 비례해 커진다. 유한한 시각의 변위는 유한하지만, 장시간 뒤 정착할 유계 반복 운동은 없다. 실제 용수철은 결국 선형 근사의 범위를 벗어난다. 무한히 계속되는 성장은 이상화된 모델 안의 예측이다.

장시간 주파수 응답에서 $c\to0$을 취하는 것과, 초기값 문제의 유한 시각 응답에서 극한을 취하는 것은 다른 연산이다. 비교할 때 초기조건과 관측 시간을 함께 명시해야 한다.

공진과 감쇠 경계를 통과하는 계산 표현

계산 모델은 외력의 시계를 상태에 추가한다.

$$\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x\\v\\u\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&1&0&0\\-k/m&-c/m&F_0/m&0\\0&0&0&-\Omega\\0&0&\Omega&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\v\\u\\z\end{pmatrix},\qquad (u(0),z(0))=(1,0).$$

그러면 $u=\cos(\Omega t)$, $z=\sin(\Omega t)$다. 행렬지수로 유한 시간의 선형 흐름을 계산하면 공진 분모로 나눌 필요가 없다. 행렬 크기를 줄인 뒤 Taylor 급수와 제곱을 사용해 부동소수점 근삿값을 구한다. 정확 산술이나 보증된 오차 경계를 제공하는 계산은 아니다.

지원 범위는 명시한 SI 단위에서 $m,k\in[0.25,4]$, $c\in[0,8]$, $F_0\in[0,4]$, $\Omega\in[0,8]$, $x_0,v_0\in[-4,4]$, $t\in[0,32]$다. 이는 교육용 실험의 범위이지 자연법칙의 제한이 아니다.

위치·위상·에너지를 함께 읽는다

인터랙티브 패널은 힘·변위·속도를 각각의 물리 축에 표시하고 위치–속도 궤적과 에너지를 함께 보여 준다. 외력은 최댓값에서 시작한다. 조회 시각 조작으로 같은 실제 초기값 해 위의 선택 점을 옮겨 보자. 선택한 시각은 모든 그림에서 일치시킨다. 시작 직후 변위는 일반적으로 단일 정현파가 아니므로 정상상태 위상 지연 하나로 전체 곡선을 설명할 수 없다.

모델은 선형 흐름의 표본 257개를 반환한다. 점을 연결하는 것은 그리기 방식이며, 256회의 시간 적분 갱신을 실행한 것이 아니다. 그리기 구간당 최대 위상 진행량도 제공한다. 표본을 늘리는 것은 그림의 해상도를 높이는 일이며 물리 방정식을 바꾸는 일이 아니다.

유한 시간의 에너지 수지를 유도한다

운동 방정식에 $v=\dot x$를 곱하면

$$E=\frac12mv^2+\frac12kx^2,\qquad \dot E=F_0\cos(\Omega t)v-cv^2,\qquad E(T)-E(0)=W_{\rm drive}-Q_{\rm heat}$$

를 얻는다. 열 $Q_{\rm heat}=\int_0^Tcv^2dt$는 음수가 아니다. 반면 외력이 속도에 반대 방향이면 구동 일이 음수가 될 수 있다. 계산은 두 적분을 각각 적응형 Simpson 공식으로 근사하고 에너지 수지 잔차를 보고한다. 먼저 진동과 감쇠의 시간 척도를 분해한 뒤 필요한 구간을 추가로 세분화하며, 그림용 표본과는 따로 계산한다. 국소 세분화 오차 추정치와 계산 완료 상태를 제공하지만 이는 진단값이지 보증된 전체 오차 상한이 아니다. 시작부터 측정한 평균 $W/T$는 정상 주기 평균과 다를 수 있다.

계산 예제: 순수한 주기해를 선택한다

SI 단위에서 $m=k=c=F_0=\Omega=1$이면 $\ddot x+\dot x+x=\cos t$다. $x_p=\sin t$를 대입하면 $-\sin t+\cos t+\sin t=\cos t$이므로 해임을 확인할 수 있다. $x_0=0,v_0=1$로 시작하면 동차 보정이 사라진다.

$T=2\pi$초 동안 입력 전력과 열 발생률은 모두 $\cos^2t$ W다. 각각의 적분은 $\pi$ J이고 역학적 에너지는 계속 $1/2$ J다. 저장 에너지가 일정해도 계를 통과하는 에너지 흐름은 0이 아닐 수 있다.

계산 예제: 유한한 공진 성장

$m=k=F_0=\Omega=1$, $c=0$, $x_0=v_0=0$으로 두자. $t=\pi/2$초에서 $x=\pi/4$ m, $v=1/2$ m/s이므로 $E=1/8+\pi^2/32$ J다. 이 유한한 결과는 공진과 모순되지 않는다. 공진은 진폭이 성장한다는 뜻이며 힘을 켜자마자 변위가 무한대라는 뜻이 아니다.

해설이 있는 연습문제 여섯 개

1. 초기조건의 기억: 첫 예제에서 $x_0=v_0=0$으로 바꾸면 동차 초기조건은? 해설: $a=0,b=-1$이다. 특수해의 초기속도 1 m/s를 동차해가 상쇄해야 실제 초기속도가 0이 된다.
2. 임계감쇠: $m=k=1$의 임계 $c$는? 해설: $c^2=4mk$에서 $c=2$ N s/m다. 주기 외력에 대한 주기 특수해는 여전히 존재한다.
3. 음의 일: $F(0)=1$ N, $v_0=-1$ m/s일 때 초기 입력 전력은? 해설: $-1$ W다. $c=1$이면 열 발생률은 $+1$ W이므로 역학적 에너지는 처음에 초당 2 J 감소한다.
4. 정적 평형: $\Omega=0$, $x_0=F_0/k,v_0=0$이면? 해설: 변위가 있는 평형에 머문다. 저장 에너지는 $F_0^2/(2k)$이고 유한한 구동 주기는 없다.
5. 성장하는 포락선: $m=k=F_0=1$인 공진해를 미분하라. 해설: $v=(\sin t+t\cos t)/2$다. 포락선도 미분해야 하므로 $\sin t/2$를 빠뜨리면 안 된다.
6. 잔차의 의미: 열을 $W-\Delta E$로 정의하면 보존 검증이 되는가? 해설: 대수적으로 잔차가 0이 되도록 만든 셈이다. 구동 일과 열을 각각 계산한 뒤 에너지 변화와 비교해야 한다.

AI 모델의 검증 문제로 사용한다

학습한 동역학 모델은 학습에 없던 초기조건, 외력 위상, 감쇠 경계, 유한 시간 공진을 재현해야 한다. 단위와 관측 시간을 기록하자. 감쇠 궤적 하나에서 위치 손실이 작다는 사실만으로 외력·위상·에너지 전달을 학습했다고 결론 낼 수 없다.

독립 기준값 생성기는 SciPy DOP853으로 위치·속도·일·열을 계산하고 허용오차를 줄여 비교하며, 별도의 SciPy 행렬지수와도 대조한다. 교육용 모델과 기준값은 같은 물리 방정식을 풀지만 구현 코드를 공유하지 않는다. 유한한 관측과 수치 일치만으로 시험 범위 밖의 정확성을 보장할 수는 없다.

참고 자료와 다음 질문

강제 운동과 동차해는 MIT 8.03SC 강의 3, 1–5쪽을 참고한다. 다음 단원에서는 주파수에 따른 이득·위상·흡수 전력을 유도하고, 각각의 최댓값이 왜 서로 다른 질문의 답인지 살펴본다.