조건부확률·독립성과 Bayes

조건은 분모를 바꾼다

조건부확률은 관측한 사건 B에 속한 경우만 남겨 다시 정규화한 확률입니다. 실습은 A와 B의 네 교차 개수를 입력합니다. 기준은 둘 다 1, A 아님과 B가 2, A와 B 아님이 1, 둘 다 아님이 6입니다. 전체 10개 중 B는 3개이고 그 안에서 A는 1개이므로 P(A|B)=1/3입니다. 예측 사건과 조건 사건을 명확히 구분하세요.

조건 방향을 뒤집는 Bayes

P(B|A)의 분모는 A의 개수 2라 값은 1/2입니다. P(A|B)와 다릅니다. 같은 결합확률을 P(B|A)P(A) 또는 P(A|B)P(B)로 쓰면 Bayes 공식이 나옵니다. 기준에서는 (1/2)(1/5)/(3/10)=1/3입니다. 분모 P(B)는 A가 있는 경우와 없는 경우를 합해 구할 수도 있습니다. 작은 표에서 기저 비율의 역할을 확인하세요.

독립은 서로소와 다르다

독립은 결합확률이 두 주변확률의 곱인 조건입니다. 두 사건의 확률이 양수이면 서로소 사건은 오히려 독립일 수 없습니다. 함께 일어날 확률은 0이지만 곱은 양수이기 때문입니다. 독립 예제의 개수 (1,2,2,4)에서는 전체 9, 두 주변확률은 각각 1/3이고 결합확률은 1/9입니다. 여기서는 B를 알아도 A의 확률이 바뀌지 않습니다.

분모가 0인 경우

B 개수가 0이면 초등적인 비율로 P(A|B)를 정의할 수 없습니다. 실습은 이를 0이라고 꾸며 넣지 않고 —로 표시합니다. 모든 개수가 0이면 전체 확률분포 자체가 정의되지 않습니다. 다만 영 사건의 독립 여부는 곱 조건으로 판단할 수 있습니다. 이론적으로 연속 변수의 값에 조건을 거는 정칙 조건부분포는 별도 개념입니다. AI의 선택 편향이나 분류기 평가에서도 관측 모집단이 무엇인지 먼저 확인해야 합니다.

확인 문제와 해설

1. 기준 P(A)는? 2/10=0.2입니다.
2. B의 확률이 0일 때 A와 독립일 수 있나요? 예. 곱 조건은 항상 성립합니다.
3. 독립이면 조건부확률 비율을 항상 쓸 수 있나요? 아니요. 분모가 양수여야 합니다.

추가 읽기: Pishro-Nik, Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes.