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수렴정리와 우세수렴의 조건

점별 수렴만으로 적분의 극한을 바꿀 수 없는 이유를 계산합니다.

96 / MEASURE THEORY LAB
먼저 알아두면 좋아요 · 연결된 선수 절의 사건·함수·적분·극한·기대값
영집합·거의 확실한 성질 →단순함수와 Lebesgue 적분 →
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먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

점별 수렴만으로 적분의 극한을 바꿀 수 없는 이유를 계산합니다.

f_n=xⁿ on [0,1]; n=4; limit=1 at x=1, zero elsewhere

011.050
가로: x · 파랑: f_n · 주황 점선: 점별 극한 · 잘린 구간은 기준 식을 확인하세요.
nintegral f_nintegral of limit
40.20

f_n(query) = 0.004

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
1 / 4

수렴

끝점 예외까지 점별 극한을 구합니다.

xⁿ→1_{1}

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

함수의 극한과 적분의 극한

함수열이 점별로 수렴해도 적분의 극한이 일치하는 것은 아닙니다. 어떤 수렴이고 어떤 측도로 적분하는지 먼저 정해야 합니다. 이 단원은 [0,1]에서 Lebesgue 적분을 사용합니다. 첫 예제 f_n=x의 n제곱은 x<1에서 0, x=1에서 1로 수렴합니다. 극한 함수가 거의 모든 곳에서 0이므로 극한의 적분은 0입니다.

∫01xn dx=1n+1⟶0.\int_0^1x^n\,dx=\frac1{n+1}\longrightarrow0.

우세수렴이 요구하는 공통 지배

우세수렴정리는 가측 f_n이 거의 모든 곳에서 f로 수렴하고 모든 n에 대해 |f_n|≤g인 하나의 적분가능 g가 있으면 L1 차이가 0으로 가며 적분도 수렴한다고 말합니다. x^n에는 g=1을 쓸 수 있습니다. 항마다 따로 적분가능하다는 사실이나 n에 따라 달라지는 경계만으로는 충분하지 않습니다. 슬라이더가 보여주는 유한 항보다 전체 수열의 가정이 중요합니다.

fn→f a.e.,∣fn∣≤g∈L1  ⟹  ∫∣fn−f∣→0.f_n\to f\text{ a.e.},\quad |f_n|\le g\in L^1\implies\int|f_n-f|\to0.

질량이 집중하는 반례

두 번째 함수는 열린 구간 (0,1/n)에서 높이 n이고 나머지에서 0입니다. 각 고정 x>0은 결국 지지집합 밖으로 나가고 x=0에서도 항상 0이므로 점별 극한은 0입니다. 하지만 폭 1/n 곱하기 높이 n은 1입니다. 따라서 적분 극한은 1, 극한의 적분은 0입니다. 이 결과 자체가 전체 수열을 지배하는 적분가능 함수가 존재할 수 없음을 보여줍니다.

fn=n1(0,1/n),lim⁡n∫fn=1≠0=∫lim⁡nfn.f_n=n\mathbf1_{(0,1/n)},\qquad\lim_n\int f_n=1\ne0=\int\lim_n f_n.

단조수렴과 Fatou의 역할

비음수 함수가 단조 증가하면 단조수렴정리는 무한값까지 허용해 적분의 극한을 교환합니다. 세 번째 예제는 x>0에서 min(n,1/√x), x=0에서 0입니다. 적분은 2−1/n이고 극한 적분은 2입니다. 여기서는 지배 함수 1/√x도 적분가능하므로 우세수렴도 적용됩니다. 그래프는 극한 함수가 높이 2n을 넘는 원점 근처를 생략하며 그 구간이 0이라는 뜻이 아닙니다. 일반 비음수 수열에는 Fatou의 부등식이 유용합니다.

∫lim inf⁡nfn≤lim inf⁡n∫fn,0≤fn↑f  ⟹  ∫fn↑∫f.\int\liminf_n f_n\le\liminf_n\int f_n,\qquad 0\le f_n\uparrow f\implies\int f_n\uparrow\int f.

확인 문제와 해설

  1. x^n의 점별 극한은 모든 점에서 0인가요? 아니요. 1에서는 1입니다.
  2. 집중 반례가 Fatou를 위반하나요? 아니요. 0≤1입니다.
  3. 세 번째 예제 n=4의 적분은? 1.75입니다.

추가 읽기: Durrett, Probability: Theory and Examples; Tao, An Introduction to Measure Theory.

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설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. DCT의 지배 함수는?
2. Fatou는 비음수 함수에 무엇을 주나요?

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