지수·로그와 척도

곱셈을 덧셈 좌표로 바꾸기

성장·감쇠·확률 곱·수치 척도에 반복 곱셈이 나타납니다. 로그는 양의 값을 만든 지수를 묻습니다. 밑과 정의역 조건이 있어야 역함수이며 log 기호가 모든 입력을 허용하지는 않습니다.

a>0에서 정수 지수는 반복 곱, a⁰=1, a⁻ⁿ=1/aⁿ에서 시작합니다. 유리 지수는 양의 근을 쓰고 실수 지수 확장에는 연속성 같은 분석적 구성이 필요합니다. 뒤의 해석학에서 더 정식화합니다.

역함수의 조건

a>0,a≠1이면 aˣ는 실수 전체와 양의 실수 사이의 전단사입니다.

a=2,x=2이면 출력은 4, log₂4는 2입니다. 0<a<1이면 감소하지만 여전히 전단사입니다. (1/2)²=1/4이므로 log₀.₅(1/4)=2입니다.

a=1이면 모든 지수가 같은 출력 1을 만들어 역함수가 없습니다. 유효한 양의 밑에서 유한 실수 지수로 0도 만들 수 없습니다. 0에 가까워지는 극한과 실제 값은 다릅니다.

거듭제곱에서 로그 법칙 유도

양수 x,y에서 u=logₐx,v=logₐy로 두면 xy=aᵘ⁺ᵛ라서

입니다. 나눗셈은 뺄셈, 양수의 실수 거듭제곱은 r배 로그로 바뀝니다. 덧셈에는 분배되지 않습니다. x=y=1이면 log(x+y)와 log x+log y가 다릅니다.

밑 변환은 logₐy=ln(y)/ln(a)입니다. 분모가 0이 아니어야 하므로 a≠1이 필요합니다. 밑이 1에 가까우면 정의되더라도 역방향 수치 민감도가 커질 수 있습니다.

자연로그와 국소 변화율

자연 밑 e의 지수함수는 미분이 자기 자신입니다. aˣ=exp(x ln a)에 연쇄법칙을 쓰면

입니다. ln a의 부호가 증가·감소를 설명합니다. 밑 1에서는 미분 0으로 상수 함수와 맞지만 역함수가 생기지는 않습니다.

a=2,x=2의 미분은 4 ln2≈2.772589입니다. 화면 곡선의 각도와 같다고 주장하지 않고 수치로 표시합니다.

극한·정의역·차원

a>1에서 y→0⁺이면 로그는 유한 하한 없이 작아집니다. ln0=−∞를 보통의 실수 값으로 쓰면 극한과 값을 섞습니다. 음수의 실수 로그도 없습니다. 복소 로그는 가지 선택이 필요한 별도 구성입니다.

물리량에서는 로그와 지수의 입력을 무차원으로 만듭니다. exp(−kt)의 k는 시간 역수, 길이는 ln(L/L₀)처럼 기준 길이와 비교해야 합니다.

실험과 AI 연결

그림은 지수함수만 그립니다. 로그와 재구성은 표에서 계산해 축 배율을 잘못된 대칭 그림으로 읽지 않게 했습니다. 검사점은 함수를 바꾸지 않습니다. 밑 1이나 로그 입력 0은 정의되지 않는다고 표시합니다.

로그 확률은 곱을 합으로 바꾸어 수치 처리를 돕지만 모든 오차를 없애지는 않습니다. 안정적인 log-sum-exp는 이동한 식으로 합의 로그를 계산하는 것이며 잘못된 분배법칙을 쓰는 것이 아닙니다.

비교에 사용한 로그 밑도 기록하세요. 밑 변경은 같은 양의 가능도 값을 재척도화하지만 최대 매개변수를 자동으로 바꾸지는 않습니다.

연습과 근거

1. log₂(1/8)은? 답: −3입니다.
2. 밑 1/2은 유효하고 1은 아닌 이유는?
3. 양수로 ln(x+y)=ln x+ln y를 반박하세요.
4. 물리 감쇠 지수의 무차원 조건과 모든 단위를 적으세요.

배경은 OpenStax Algebra and Trigonometry 2e를 참고하세요. 법칙은 명시한 실수 조건 아래 유도합니다.