시간·주파수 국소화와 불확정성

불확정성을 말하기 전에 폭부터 정의합니다

짧은 pulse와 좁은 주파수 spectrum을 동시에 만들기는 어렵습니다. 그러나 좁다는 말부터 수학적으로 정해야 합니다. 여기서는 크기 제곱을 정규화한 에너지 밀도의 평균 주위 2차 모멘트를 사용합니다. 이는 시간·각주파수 위의 수학적 분포이며 미지 신호에 대한 잡음 추정 오차가 아닙니다.

복소 Gaussian을 다음과 같이 정합니다.

분모의 4σ²가 중요합니다. 크기를 제곱하면 exp(−(t−τ)²/(2σ²))이므로 정규화 시간 에너지 밀도의 평균은 τ, 표준편차는 σ입니다. 진폭 분모를 2σ²로 쓰는 Gaussian과 다른 매개화입니다.

주파수 폭을 유도하기

시간 이동은 위상 인자, modulation은 주파수 이동을 만듭니다. 완전제곱으로 적분하면 주파수 크기는 exp(−σ²(ω−Ω)²)에 비례합니다. 다시 제곱하고 정규화하면 다음과 같습니다.

따라서 ΔtΔω=1/2입니다. σ=1이면 폭은 1과 0.5이고, σ=0.25이면 0.25와 2입니다. pulse가 네 배 좁아지면 spectrum은 네 배 넓어지며 곱은 같습니다.

중심 이동과 폭 변화는 다릅니다

τ를 움직이면 파란 시간 밀도의 중심이, Ω를 움직이면 주황 각주파수 밀도의 중심이 이동합니다. 평균으로부터 계산한 분산은 바뀌지 않습니다. 겹친 두 곡선의 가로 좌표는 서로 다른 물리량이므로 교점 자체에 좌표 독립적 의미는 없습니다. 그림은 [−8,8]만 표시해 꼬리 일부가 빠질 수 있습니다. 수치의 해석적 폭은 실수 전체에서 계산한 값입니다.

단위에 따라 상수도 달라집니다

시간당 주기 수 f를 쓰면 f=ω/(2π)입니다. 따라서 Δf=Δω/(2π), ΔtΔf=1/(4π)입니다. 시간 단위가 초라면 각주파수는 rad/s이고 보통 주파수는 Hz입니다. 2π를 놓치면 동등한 식들이 모순되어 보입니다.

직접 풀기와 적용 범위

σ=0.5, τ=1, Ω=3에서 폭은 0.5와 1, 중심은 1과 3, 곱은 0.5입니다. 두 중심을 이동해도 폭이 유지되는지 확인하세요.

0이 아닌 유한 에너지 신호에 필요한 모멘트·미분 정칙성이 있으면 Fourier 불확정성 ΔtΔω≥1/2가 성립하며 Gaussian은 등호를 실현합니다. 이 실험은 등호 예제이지 모든 신호의 정리를 수치적으로 증명한 것이 아닙니다. AI의 국소 특징을 이해하는 데 유용하지만 그 자체로 양자 측정이나 통계적 추정 오차에 관한 주장은 아닙니다.

추가 읽기: Julius O. Smith III, Spectral Audio Signal Processing.