이 단원 목차
흐름은 초기값을 나중 상태로 보낸다
방정식을 고정하고 초기값 a의 t시점 상태를 S_t(a)라고 씁니다. 초기값을 먼저 더해 진화한 S_t(a+b)와 각자 진화한 뒤 더한 S_t(a)+S_t(b)가 같을까요? 실험은 앞을 파랑, 뒤를 주황으로 비교하며 방정식과 forcing을 고정합니다.
이는 superposition 검사입니다. t=0에서는 구성상 같지만 이후의 일치는 방정식 구조나 특별한 매개변수에서 나와야 합니다. 그림이 비슷해 보이는 것만으로 선형성을 주장하지 마세요.
동차 선형 흐름은 덧셈을 보존한다
y'=r y에서는 다음이 성립합니다.
행렬 지수의 선형 시스템도 같은 원리를 따릅니다. 정확 산술의 defect는 0이지만 전개된 부동소수점 뺄셈은 작은 나머지를 남길 수 있습니다. 수학적 비선형성과 반올림을 구분하도록 두 값을 따로 표시합니다.
상수 forcing은 Affine 흐름을 만든다
y'=r y+f에서 f를 고정하면 다음과 같습니다.
Superposition defect는 -f phi입니다. 두 해가 각각 forcing을 한 번씩 받으므로 더하면 두 번 들어갑니다. 비동차 선형 방정식이지만 초기값에서 최종 상태로 가는 map은 affine입니다. 두 해의 차이는 동차 방정식을 만족합니다.
r가 0에 가까울 때 exp(rt)-1을 직접 계산하면 상쇄가 생깁니다. 구현은 expm1과 작은 인자의 급수, r=0의 극한 t를 사용합니다. 해석적 해를 안다는 사실과 안정적으로 계산한다는 사실은 연결해서 검토해야 합니다.
Logistic은 상태에 의존하는 포화다
y'=r y(1-y)의 흐름은 다음입니다.
Control은 a·b·a+b를 모두 (0,1)에 두어 음의 r와 1보다 큰 초기값에서 생길 수 있는 유한시간 pole을 피합니다. 명시한 범위의 해는 표시 시간에 존재하며 초기값에 일반적으로 비선형입니다.
r=1, a=0.2, b=0.3, t=1에서 0.5를 진화한 값과 둘의 해를 더한 값은 다릅니다. r=0에서는 모든 상태가 그대로여서 우연히 덧셈이 보존되지만 일반적인 logistic 계가 선형이라는 뜻은 아닙니다.
직접 풀기: Forcing을 세어 보기
r=1, f=1/2에서 세 해를 쓰고 초기값 항을 소거하면 defect는 -(e^t-1)/2입니다. r=0에서는 -t/2가 됩니다. 두 해를 뺄 때는 f가 사라지고 더할 때는 사라지지 않는 이유를 설명하세요. 동차 예제의 해석적 0과 전개 뺄셈의 작은 반올림 나머지도 구별하세요.
더 읽기: MIT 선형·비선형 미분방정식.
설명할 수 있나요?
실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.
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