광자 계수·노출·센서 잡음

밝기는 여러 물리 변환을 거친 결과다

카메라가 잡음 없는 실수 하나인 밝기를 바로 읽는 것은 아닙니다. 빛이 확률적인 양자 수로 도착하고, 센서가 전자를 수집하며, 전자 회로가 잡음을 더하고 디지털 코드로 변환합니다. 같은 최종 코드도 서로 다른 물리 과정에서 나올 수 있습니다.

이 단원에서는 단위와 연산 순서가 분명한 순방향 모델을 만듭니다. Shot noise, 암전류, 읽기 잡음, 이득, 양자화와 두 종류의 포화를 구분합니다. 실제 카메라를 계측·인증하는 모델은 아닙니다. 임의로 한 번 생성한 잡음 표본을 정답으로 삼는 대신 반복 노출의 확률분포를 계산합니다.

교정된 노출에서 출발한다

단색 복사조도 $E$가 면적 $A$와 시간 $T$에 걸쳐 일정하면

$$\mu_p=\frac{EAT\lambda}{hc}$$

입니다. 빛이 변한다면 앞 단원의 공간·시간 적분을 사용합니다. 여기서 $\mu_p$는 이미 노출 전체에 걸쳐 적분된 입사 광자 평균입니다. 센서 함수의 $T$만 바꾸면 암전류 기여가 바뀝니다. 실제 노출 시간을 바꾸는 실험에서는 광원 조건으로부터 $\mu_p$도 다시 계산해야 합니다.

면적 25µm², 노출 10ms, 복사조도 0.001W/m², 파장 550nm이면 약 692.19개입니다. 노출 0에는 적분된 광자 평균도 0이어야 합니다. 다만 빛 없이 수행하는 읽기 동작에서 읽기 잡음까지 반드시 사라지는 것은 아닙니다.

광자 도착의 확률 가정을 선언한다

한 노출 동안 평균이 고정되고 도착이 독립적이라고 가정합니다.

$$N_p\sim\operatorname{Poisson}(\mu_p),\qquad P(N_p=n)=e^{-\mu_p}\frac{\mu_p^n}{n!}.$$

평균과 분산이 모두 $\mu_p$입니다. 개수 자체는 무차원이지만 광자와 전자라는 이름을 유지해야 서로 다른 변환 단계를 혼동하지 않습니다.

Poisson 분포는 준비한 빛에 대한 가정이며 모든 광원의 보편 법칙은 아닙니다. 상관된 광원, 노출 사이의 광량 변동, 증배 과정에는 다른 분포가 필요할 수 있습니다. 측정 분산이 평균과 다르다는 이유만으로 센서 코드가 틀렸다고 단정하지 않습니다.

양자 효율은 광자 과정을 솎아낸다

유효 양자 효율 $0\leq q\leq1$로 광자 하나가 독립적으로 수집 전자 하나를 만든다고 가정합니다. Poisson thinning에 의해

$$N_e\sim\operatorname{Poisson}(\mu_e),\qquad\mu_e=q\mu_p$$

입니다. $q=0.6$이면 앞 예의 광전자 평균은 약 415.31개입니다. 기대값은 정수가 아니어도 되지만 한 번 실현된 전자 수는 정수입니다. 평균을 먼저 정수로 반올림하면 원래 확률 모형이 바뀝니다.

전체 픽셀 면적에 대해 정의한 유효 QE에는 그 정의에 따른 수집 손실이 들어 있습니다. 여기에 fill factor를 다시 곱하면 손실을 두 번 적용합니다. 감광 면적과 내부 수집 효율을 별도로 정의하는 다른 관례도 가능하지만, 두 관례를 섞으면 안 됩니다.

암전류는 평균과 분산을 함께 더한다

암전류율을 $d$ electrons/s로 두고 독립 과정을 가정합니다.

$$N_d\sim\operatorname{Poisson}(dT),\qquad N=N_e+N_d\sim\operatorname{Poisson}(\mu_e+dT).$$

알고 있는 평균 암신호를 빼면 기대값의 offset은 제거되지만 무작위 암전자 분산은 남습니다. 유한한 noisy dark frame으로 그 평균을 추정하면 추정 자체의 불확실성도 더해질 수 있습니다. 현재 계산은 모수를 정확히 안다는 조건부 모델입니다.

온도에 따른 암전류율 변화는 여기서 적합하지 않습니다. 고정한 암전류율은 하나의 명시된 운용 조건을 나타냅니다.

읽기 잡음은 전자 단위에서 더한다

독립 읽기 잡음을 $R\sim\mathcal N(0,\sigma_r^2)$로 둡니다. 포화 전에는

$$Z=N+R,\qquad E[Z]=\mu_e+dT, \qquad\operatorname{Var}(Z)=\mu_e+dT+\sigma_r^2$$

입니다. 기준 레벨에 대한 전기적 읽기 값은 음수가 될 수 있지만 실제 음의 광전자가 도착했다는 뜻이 아닙니다. 정수인 물리 전하와 부호 있는 회로 변동을 분리해서 생각해야 합니다.

광전자 평균 6, 암전자 평균 0.2, 읽기 표준편차 2 electrons이면 분산은 10.2 electrons²입니다. 독립 성분은 표준편차가 아니라 분산을 더합니다. 이 한 단계만 정확하게 구분해도 센서 잡음 계산의 흔한 오류를 줄일 수 있습니다.

이득은 단위를 바꾸지만 광자를 늘리지 않는다

이득 $K$의 단위는 DN/electron, offset $b$는 DN입니다. 포화 전 연속 읽기 값은

$$Y=b+KZ$$

이고 평균은 $b+K(\mu_e+dT)$, 분산은 $K^2(\mu_e+dT+\sigma_r^2)$입니다. 앞 준비에서 $K=0.7$, $b=8$이면 평균 12.34DN, 분산 4.998DN²입니다.

이득을 두 배로 하면 양자화 전 신호와 표준편차가 함께 두 배가 됩니다. 들어온 광자 수나 본래 신호 대 잡음비가 두 배가 되지는 않습니다. 다만 유한한 ADC 간격의 상대 영향과 ADC가 먼저 포화되는 지점은 달라질 수 있습니다.

조건부 신호 대 잡음비를 계산한다

평균 암신호를 알고 있고 포화·양자화가 없다는 조건에서

$$\operatorname{SNR}_{\rm preADC} =\frac{\mu_e}{\sqrt{\mu_e+dT+\sigma_r^2}}$$

로 정의합니다. Shot noise 지배 영역에서는 $\sqrt{\mu_e}$에 가까워집니다. 광전자 수를 네 배로 늘려야 SNR이 두 배가 됩니다. 읽기 잡음 지배 영역에서는 고정된 읽기 분산에 비해 신호가 커지므로 처음에는 노출 증가의 효과가 더 빠릅니다.

분자·분모가 모두 0이면 모델은 비율을 정의되지 않은 것으로 표시합니다. 신호가 전혀 없는 상태를 무한히 좋은 측정이라고 부르지 않습니다. 이 SNR을 포화된 디지털 영상의 정확한 SNR인 것처럼 보고하지도 않습니다.

Full-well 포화의 위치를 명시한다

교육용 저장 전하 모델을 다음과 같이 선택합니다.

$$C=\min(N,F),\qquad Y=b+K(C+R).$$

정수 $F$는 electrons 단위의 저장 상한입니다. 광전자와 암전자는 같은 상한을 공유하고 읽기 잡음은 그 다음에 더합니다. 넘침 확률은 $P(N>F)$입니다. 정확히 상한에 도달한 것과 초과한 것은 다릅니다.

이것은 명시적으로 정한 이상화된 순서입니다. 실제 소자는 blooming, 비선형성, 읽기 잡음 변화 등을 보일 수 있습니다. 단순 clipping 모델이 이런 현상을 예측한다고 주장하지 않습니다. 저장 포화 뒤에는 원래 Poisson 분산을 그대로 사용하지 말고 $C$의 실제 분포로 모멘트를 계산합니다.

양자화와 ADC clipping을 구분한다

$B$비트 unsigned 변환기의 최댓값은 $M=2^B-1$이고 규칙은

$$D=\min\{M,\max[0,\lfloor Y+1/2\rfloor]\}$$

입니다. 정확한 반 코드 경계는 위쪽으로 반올림합니다. 코드 0은 $Y<0.5$, 코드 $M$은 $Y\geq M-0.5$를 포함합니다. 따라서 레일 코드가 나올 확률과 반올림 결과가 범위를 벗어나 clipping이 필요한 확률은 다릅니다. 아래쪽 clipping은 $Y<-0.5$, 위쪽은 $Y\geq M+0.5$입니다.

4비트 변환기에 정확히 15DN이 들어오면 항상 최대 코드를 사용하지만 범위 밖 clipping은 없습니다. 15.6DN은 16으로 반올림되므로 15로 제한해야 합니다. 포화 표시를 해석할 때 이 차이를 유지합니다.

디지털 코드의 분포를 직접 계산한다

$N=n$일 때 $c_n=\min(n,F)$, $m_n=b+Kc_n$로 둡니다. 읽기 잡음이 양수인 경우 내부 코드의 조건부 확률은

$$P(D=j\mid N=n)= \Phi\left(\frac{j+1/2-m_n}{K\sigma_r}\right) -\Phi\left(\frac{j-1/2-m_n}{K\sigma_r}\right)$$

입니다. 양끝 코드는 반무한 구간을 사용합니다. 이 값을 Poisson 가중치와 곱해 합합니다. $\sigma_r=0$이면 0으로 나누지 않고 결정론적 반올림 규칙을 직접 적용합니다.

이 히스토그램은 같은 모수에서 노출을 반복했을 때의 분포입니다. 한 이미지의 서로 다른 픽셀을 임의로 모은 분포와 자동으로 같지 않습니다. 평균·분산은 실제 코드 확률로 계산합니다. 포화 때문에 분산이 줄어들 수 있어도 정보가 좋아진 것은 아닙니다.

무한 꼬리의 절단과 반올림 오차를 공개한다

Poisson 분포의 지지집합은 무한합니다. 구현은 최빈값 주변 유한 구간을 유지하고 재귀식으로 확률을 계산하며, 생략된 꼬리 질량의 Chernoff 상한을 기록합니다. 합을 강제로 1로 만들기 위해 유지한 확률을 재정규화하지 않습니다.

코드 범위가 0부터 $M$이고 빠진 질량이 $\epsilon$ 이하라면, 정규화하지 않은 일차 모멘트의 누락 기여는 $M\epsilon$, 이차 모멘트는 $M^2\epsilon$ 이하입니다. 이것은 절단 오차 상한이며 모든 부동소수점 오차의 인증이 아닙니다. 확률 질량 잔차는 별도로 표시합니다. 정규 CDF의 수치 적분과 9표준편차 밖 꼬리 처리도 구현에서 명시합니다.

1/12 법칙의 한계를 반례로 확인한다

양자화 오차를 독립적인 폭 1DN의 균등분포로 근사하면 분산이 1/12DN²입니다. 유용한 근사지만 모든 입력에 정확한 등식은 아닙니다.

연속 읽기 값이 항상 8.2DN이면 출력은 매번 8이고 실제 출력 분산은 0입니다. 좁은 입력 분포나 clipping 근처에서도 단순한 독립 균등 가정이 깨질 수 있습니다. 모델은 이 근사값을 별도 항목으로 두고 실제 디지털 모멘트에는 코드 구간의 확률을 사용합니다.

AI 연구의 likelihood로 연결한다

잡음 제거 손실을 만들 때 입력이 복사조도인지 전자 수인지 연속 읽기 값인지 clipping된 코드인지 밝혀야 합니다. 고정 분산 Gaussian likelihood는 shot noise의 신호 의존 분산을 놓칠 수 있습니다. 포화된 밝은 영역은 정확한 선형 관측과 다른 한쪽 방향의 정보를 제공합니다.

통제 실험에서는 물리 노출과 이득을 따로 바꾸고, 예측한 코드 확률을 새로운 노출과 비교하며, 잡음 기울기를 적합하기 전에 포화를 확인합니다. 실제 연구는 픽셀 응답 불균일, 상관 읽기 잡음, 색 채널, 추정 모수의 불확실성을 추가할 수 있습니다. 교육용 시뮬레이션의 성공이 실제 카메라 교정을 입증하지는 않습니다.

해설 연습문제

1. 평균과 실현값 구분하기

415.31 electrons는 반복 노출의 기대값이므로 가능합니다. 실제 광전자 수는 정수입니다. 기대값을 먼저 415로 바꾼 뒤 확률을 계산하면 원래 준비를 변경한 것입니다.

2. 암신호 빼기

평균 0.2 electrons를 정확히 알고 빼더라도 분산 0.2는 남습니다. 별도의 dark frame으로 빼면 그 프레임의 불확실성도 포함해야 합니다. 평균 보정과 무작위 잡음 제거는 다른 작업입니다.

3. 노출과 이득 비교하기

Shot noise 지배 상태에서 물리 노출을 네 배로 하면 신호는 네 배, 표준편차는 두 배, SNR은 두 배입니다. 이득만 네 배로 하면 DN 신호·표준편차가 모두 네 배가 되어 양자화 전 SNR은 같습니다.

4. 두 포화 메커니즘 찾기

평균 100 electrons, full-well 12 electrons, 8비트·이득 1이면 저장 전하가 거의 12에서 제한되지만 ADC 최댓값 255와는 멉니다. Full-well을 8192로 두고 4비트로 바꾸면 저장 상한 전에 ADC가 15에서 제한됩니다. 포화라는 말 하나로 두 과정을 합치면 원인을 잃습니다.

5. 양자화 근사 검증하기

광자·암전류·읽기 잡음을 모두 0으로 하고 offset을 8.2DN으로 둡니다. 모든 출력이 8이므로 분산은 0입니다. 양자화가 항상 정확히 1/12DN²를 더한다는 주장에 대한 반례입니다.

6. 좁은 히스토그램 평가하기

매우 밝아 대부분 최댓값으로 clipping되면 디지털 분산이 작아집니다. 그러나 많은 서로 다른 큰 입력이 같은 코드가 되어 구분 능력을 잃습니다. 출력 분산만 보고 좋은 측정이라고 부르지 말고 likelihood와 저장 넘침·ADC clipping 확률을 함께 확인합니다.

자료와 적용 범위

EMVA1288 Release4.0 Linear의 §§2.1,2.4–2.7의 용어와 선형 센서 잡음 틀을 참고합니다. 저장 상한·결정론적 ADC 구간·수치 확률 합·반례는 이 단원에서 명시한 교육용 확장입니다. 표준의 계측 절차 구현이나 카메라 적합성 검증이 아니며, 비Poisson 광원과 모든 센서 구조를 포괄하지 않습니다.