Tensor Train과 bond 차원

여러 축을 사슬로 연결하기

차수 d인 배열은 축마다 n개의 좌표가 있으면 n의 d제곱 개 값을 가집니다. Tensor Train(TT)은 인접한 작은 코어 사이에 내부 지표를 두어 이 배열을 표현합니다. 원소 하나를 구할 때 물리 축의 좌표는 고정하고 내부 지표를 합산합니다.

끝의 내부 차원은 1입니다. 각 내부 차원 r_k를 bond 크기라고 부릅니다. 물리 축 i_k의 크기와 혼동하지 마세요. 도식에서 바깥 다리는 물리 축이고 코어 사이 선이 bond입니다.

세 코어를 직접 수축하기

실습의 목표 배열은 X=e000+t e111입니다. bond를 2로 설정하면 두 경로가 두 꼭짓점을 각각 복원합니다. 중간 코어가 다른 경로끼리 섞이지 않도록 막습니다. bond를 1로 줄인 구성은 첫 꼭짓점만 표현합니다.

기준 t=1에서 bond 2는 오차 0, bond 1은 Frobenius 오차 1입니다. 이는 이 예제의 구성 결과이며, 모든 데이터를 임의로 자르면 같은 오차가 나온다는 규칙은 아닙니다.

게이지: 다른 코어, 같은 배열

첫 코어의 한 경로를 g배 하고 다음 코어의 같은 경로를 1/g배 하면 곱에서 상쇄됩니다. 실습에서 g를 1에서 2로 바꿔도 복원 표는 동일합니다. 코어 값 자체가 유일한 설명이라는 가정은 틀립니다.

현재 조절기는 이 관계의 대각 스케일 사례입니다. g는 양수이고 0을 허용하지 않습니다. 임의의 부동소수점 값에서는 미세한 반올림 잔차가 생길 수 있습니다.

설정한 크기와 최소 랭크

최소 TT bond 랭크는 앞의 k개 축을 행으로, 나머지를 열로 펼친 행렬의 랭크와 같습니다. 축의 순서에 따라 펼침이 달라집니다. t=0이면 두 내부 최소 랭크는 1이지만 코어를 크기 2로 할당해 둘 수 있습니다. 이때 저장량은 여전히 16개입니다. 최소 랭크와 할당 예산을 구분해야 합니다.

실습은 명시적으로 만든 코어를 수축하며, 일반 TT-SVD 알고리즘을 실행하지 않습니다. 실제 압축에서는 분해 오차와 축 순서, 코어 계산 비용을 함께 검토합니다.

확인 문제

1. g를 바꾸면 목표 배열이 바뀌나요? 아니요. 인접 코어에서 상쇄됩니다.
2. bond 1의 저장량은? 2+2+2=6개입니다.
3. 내부 크기 2이면 최소 랭크도 항상 2인가요? 아니요. t=0이 반례입니다.

추가 읽기: Oseledets, Tensor-Train Decomposition (2011). 본문의 작은 배열·복원·비용 예제는 직접 구성했습니다.