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SuanLab

대수의 법칙·중심극한정리

평균의 집중과 표준화된 요동의 근사를 분리해 읽습니다.

91 / PROBABILITY LAB
먼저 알아두면 좋아요 · 연결된 선수 절의 사건·분포·기대값·선형대수·미분
기댓값·분산과 불확실성 →확률질량·밀도·누적분포 →
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먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

평균의 집중과 표준화된 요동의 근사를 분리해 읽습니다.

S~Binomial(10,0.5); sample mean=S/n; ε=0.2; orange=normal bin masses with continuity correction, not density

010.2610
가로: 표본평균 k/n · 파랑: 이항 질량 · 주황: 연속성 보정 정규 구간 질량
ksample meanexact massnormal bin approximation
009.766e-40.002
10.10.010.011
20.20.0440.043
30.30.1170.114
40.40.2050.205
50.50.2460.248
60.60.2050.205
70.70.1170.114
80.80.0440.043
90.90.010.011
1019.766e-40.002

E[sample mean] = 0.5

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
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가정

독립·동일 분포를 명시합니다.

Xi iid Bernoulli(p)

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

표본과 표본평균의 분포

Xi가 서로 독립이고 같은 Bernoulli(p) 분포를 따른다고 가정합니다. 합 S는 이항분포이고 평균은 S/n입니다. 실습은 무작위로 뽑은 표본 경로가 아니라 가능한 모든 k=0,…,n의 확률을 계산합니다. 파랑은 이항식의 부동소수점 계산값입니다. 표본 수가 늘면 개별 시행의 분산은 그대로여도 평균의 분산은 줄어듭니다.

P(S=k)=(nk)pk(1−p)n−k,E[Xˉ]=p,Var⁡(Xˉ)=p(1−p)n.P(S=k)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k},\quad E[\bar X]=p,\quad\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{p(1-p)}n.

대수의 법칙은 고정 오차에 대한 주장

약한 대수의 법칙은 고정된 양의 ε에 대해 평균이 p에서 ε 이상 벗어날 확률이 0으로 간다는 주장입니다. 모든 유한 표본평균이 p와 같다는 뜻이 아닙니다. Chebyshev 부등식은 이 예제에서 분산/(ε²)로 꼬리확률을 제어합니다. 확률 상한은 1을 넘을 필요가 없어 1로 제한합니다. 표에는 실제 이항 꼬리합과 이 상한이 함께 나옵니다.

P(∣Xˉ−p∣≥ε)≤p(1−p)nε2⟶0.P(|\bar X-p|\ge\varepsilon)\le\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\longrightarrow0.

CLT는 요동의 척도를 바꾼다

중심극한정리는 평균을 중심화하고 자체 표준편차로 나눈 변수가 정규분포에 분포수렴한다는 내용입니다. 현재는 0<p<1일 때 적용할 수 있습니다. 표본평균 자체가 고정된 분산의 정규분포로 변한다는 말이 아닙니다. 독립·동일 분포와 유한 비영 분산 가정이 중요하며 의존 자료에는 별도의 정리가 필요합니다.

S−npnp(1−p)  ⇒  N(0,1).\frac{S-np}{\sqrt{np(1-p)}}\;\Rightarrow\;N(0,1).

질량을 밀도 높이와 비교하지 않기

주황은 정규 밀도의 높이가 아니라 각 정수 k 주위의 폭 1 구간에 정규근사가 주는 질량입니다. 연속성 보정으로 이항 질량과 단위를 맞춥니다. 표시 범위 밖 정규 꼬리는 다시 정규화하지 않아 질량합이 1보다 작을 수 있습니다. 정규 CDF는 절대 오차 약 10의 −6승 이내인 수치 근사를 사용합니다. p=0 또는 1에서는 이항법칙이 한 점에 집중하고 표준화와 정규근사는 정의하지 않습니다.

P(S=k)≈Φ ⁣(k+1/2−npnp(1−p))−Φ ⁣(k−1/2−npnp(1−p)).P(S=k)\approx\Phi\!\left(\frac{k+1/2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)-\Phi\!\left(\frac{k-1/2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right).

확인 문제와 해설

  1. p=0.5,n=10의 평균 분산은? 0.025입니다.
  2. 표본 수가 세 배면 이 분산은? 삼분의 일입니다.
  3. p가 0에 가까우면 작은 n의 정규근사가 항상 좋나요? 아니요. 근사 오차를 직접 확인해야 합니다.

추가 읽기: Pishro-Nik, Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes.

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설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. 대수의 법칙은 모든 표본평균이 p와 같다는 뜻인가요?
2. CLT가 분산 0에도 같은 식으로 적용되나요?

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