이 단원 목차
공 안과 구면 위를 구분하기
고차원 그림을 2차원에 투영하면 부피와 각도 현상을 쉽게 오해합니다. 이 단원은 난수 산점도가 아니라 두 모형의 정확한 분포식을 사용합니다. 첫 모형은 단위 공 내부의 균등 점, 두 번째는 단위 구면 위의 독립 균등 점 두 개입니다.
반지름의 CDF를 부피 비율로 유도하기
d차원에서 반지름 r인 공은 단위 공 부피의 rᵈ배입니다. R=||X||라 하면 0≤r≤1에서 P(R≤r)=rᵈ, 밀도는 drᵈ⁻¹입니다. 반지름이 균등한 것은 d=1일 때뿐입니다.
얇은 껍질에 많은 질량
경계에서 두께 δ인 껍질의 확률은 1−(1−δ)ᵈ입니다. d=32,δ=.1이면 약 .966으로, 반지름 마지막 10%에 대부분의 질량이 있습니다. d=1에서는 .1입니다. d=128,δ=.01처럼 더 얇은 껍질도 약 .724의 질량을 갖습니다.
파랑은 현재 차원의 반지름 CDF, 주황은 1차원 기준입니다. 껍질 확률은 높이 자체가 아니라 1−F(1−δ)입니다. δ=0은 확률 0, δ=1은 전체 공이라 확률 1입니다.
구면의 내적과 거리
별도 모형의 U,V는 구면 위 균등 독립 점입니다. 대칭성으로 E[UᵀV]=0이고 공분산의 등방성으로 E[(UᵀV)²]=1/d입니다. 따라서 내적의 RMS는 1/√d입니다. 제곱 거리 2−2UᵀV의 평균과 분산은 다음과 같습니다.
평균 거리 자체가 정확히 √2라는 주장은 아닙니다. 거리의 제곱과 거리의 기대값을 구분하세요. 유한 차원에서는 변동이 남고 d가 커질수록 거의 직교한 방향과 √2 근처 거리가 전형적입니다.
데이터의 실제 기하와는 다를 수 있다
이 직관은 정규화한 독립 등방성 표현을 생각하는 출발점입니다. 실제 데이터는 군집·상관·저차원 구조가 있을 수 있어 공이나 구면의 균등 모형과 다릅니다. 분포 가정 없이 모든 고차원 데이터가 같은 거리를 갖는다고 일반화하지 마세요.
확인 문제와 해설
- d=1의 R은 어떤 분포인가요? [0,1] 균등입니다.
- 구면 제곱 거리의 평균은? 정확히 2입니다.
- 두 패널이 같은 표본 모형인가요? 아니요. 공 내부와 구면 위를 구분합니다.
추가 읽기: Vershynin, High-Dimensional Probability — publisher’s page.
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