셀 질량·경계와 확률 수지

곡선을 확률 장부로 바꿔 본다

아래 실험은 독립적으로 대조한 유한 모형을 비교한다. 정확 유리수 시간 방법·반군 포함 구간·표시 근사를 구별한다.

서로 연결된 용기가 한 줄로 놓여 있다고 생각하자. 각 용기의 내용물은 확률이며, 공유 파이프를 통해 한 용기가 잃은 만큼 이웃 용기가 받는다. 바깥 벽에서는 파이프를 닫거나 탈출한 확률을 별도 장부에 모은다. 유한체적법은 이런 방식으로 먼저 셀에 걸쳐 보존 법칙을 적분한 뒤 셀 사이 흐름을 근사한다.

앞 단원은 전체 실수축의 Gaussian 법칙을 풀었다. 이번에는 유한 구간, 구간별 상수 초기화, 경계 규칙을 의도적으로 선택한다. 따라서 모형이 달라진다. 정확 시간 기준은 선택한 유한 격자의 연속시간 법칙이며, 그 격자 법칙 자체도 연속체 방정식의 근사다. 두 층위를 구별해야 격자 모형을 정확히 푼 것을 연속체 해 검증으로 잘못 해석하지 않는다.

셀과 질량, 밀도, 단위를 지정한다

−L부터 L까지 구간에서 선형 드리프트 b(x)=c−gamma x와 상수 확산 D를 사용한다. 구간을 폭 dx인 같은 크기의 셀 K개로 나눈다. mi는 i번째 셀의 확률이며 rhoi=mi/dx는 셀 평균 밀도다. 초기에는 음수가 아닌 정수 무게를 지정하고 그 합으로 나눈다. 이때 초기 조건은 명시한 구간별 상수 밀도다. 셀 중심에서 어떤 Gaussian을 표본화했다고 가정하지 않는다.

$$\partial_t p=-\partial_xJ,\qquad J=bp-D\partial_xp,\qquad m_i=\int_{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}p(x,t)\,dx, \qquad \dot m_i=J_{i-1/2}-J_{i+1/2}.$$

질량은 무차원, 밀도는 m⁻¹, c는 m/s, gamma는 s⁻¹, D는 m²/s 단위다. 면 흐름 J의 단위는 s⁻¹이다. 확률 1/4이 있는 셀의 폭이 1미터이면 밀도는 1/4m⁻¹이고 폭이 1/2미터이면 1/2m⁻¹이다. 격자를 세밀하게 한 뒤 밀도 막대가 높아졌다고 전체 확률이 늘어난 것은 아니다.

TU Delft의 유한체적 소개는 제어체적의 관점을 설명한다. 아래에서는 이 단원의 1차원 수치 흐름과 경계 장부를 직접 지정한다.

내부 면 하나에는 공유 흐름 하나를 둔다

면 위치의 속도를 사용하여 bplus=max(b,0), bminus=min(b,0)라 하자. Upwind 드리프트는 흐름이 출발하는 쪽의 밀도를 취하고, 중심 차분은 밀도 기울기를 근사한다.

$$J_{i+1/2}=b_{i+1/2}^{+}\rho_i+ b_{i+1/2}^{-}\rho_{i+1} -D\frac{\rho_{i+1}-\rho_i}{\Delta x}.$$

양의 면 속도에서는 왼쪽 셀, 음의 면 속도에서는 오른쪽 셀을 사용한다. Clawpack의 이류 단원은 지정한 속도의 운반을 설명한다. 여기서는 여기에 확산과 위치에 따라 변하는 선형 드리프트를 함께 넣었다.

왼쪽 셀에서 뺄 때와 오른쪽 셀에 더할 때 정확히 같은 면 흐름을 사용한다. 그러면 모든 셀의 방정식을 더할 때 내부 면들이 상쇄된다. 같은 면에서 서로 다른 두 흐름을 계산하면 영역 안에서 확률이 생기거나 사라진다.

셀 질량으로 흐름을 다시 쓰면 음수가 아닌 전이율이 드러난다.

$$r_{i\to i+1}=\frac{b_{i+1/2}^{+}}{\Delta x} +\frac{D}{\Delta x^2},\qquad r_{i+1\to i}=\frac{-b_{i+1/2}^{-}}{\Delta x} +\frac{D}{\Delta x^2}.$$

두 전이율의 단위는 s⁻¹이다. 이 유한 생성자는 비대각 성분이 음수가 아니며, 대각 성분은 총 이탈률의 음수다. 셀 전이는 이산화한 밀도 방정식의 표현이다. 원래 확산 입자에서 측정한 미시적 점프 기작과 동일시하면 안 된다.

반사와 흡수 면을 명시적으로 설정한다

반사면의 전체 흐름은 정확히 0이다. 드리프트가 있으면 이것은 bp−Dpx에 관한 조건이며 일반적으로 px=0이 아니다. 경계 흐름 전체를 직접 닫아 선택한 이산 무흐름 규칙을 구현한다.

흡수면에서는 외부에서 들어오는 확률이 없다. 확산에서는 셀 중심부터 경계까지 반 셀 거리에 걸쳐 경계 밀도 0을 근사한다. 드리프트에서는 유입에 외부 밀도 0, 유출에 내부 upwind 값을 사용한다. 이때 바깥으로 향하는 탈출률은

$$\ell=\frac{\max(-b(-L),0)}{\Delta x} +\frac{2D}{\Delta x^2},\qquad r=\frac{\max(b(L),0)}{\Delta x} +\frac{2D}{\Delta x^2}.$$

확산 항의 계수 2는 반 셀 경계 거리에서 나온다. D/dx²로 바꾸면 다른 경계 근사를 몰래 사용하는 것이다. 반사면에서는 해당 탈출률 전체를 0으로 둔다. 양쪽 경계를 각각 선택할 수 있다.

확산이 0이면 이 경계 규칙은 외부 유입 0과 upwind 유출로 줄어든다. 반사 운반 극한에는 특이한 경계 거동이 나타날 수 있다. 작은 격자 계산은 매끄러운 연속체 밀도나 경계 극한 수렴의 증명이 아니다.

영역 안의 손실을 추적하면서 전체 확률을 보존한다

왼쪽 탈출과 오른쪽 탈출이라는 장부 상태 두 개를 덧붙인다. 들어간 확률은 그곳에 남으며 돌아오지 않는다. 확장한 행 법칙을 q, 생성자를 Q라 하면

$$\dot q=qQ,\qquad Q\mathbf1=0,\qquad \frac d{dt}\sum_{i=1}^{K}m_i=J_{1/2}-J_{K+1/2}, \qquad \sum_{i=1}^{K}m_i+a_L+a_R=1.$$

왼쪽 흡수면에서 양의 탈출 증가율은 오른쪽 방향으로 정의한 왼쪽 흐름의 음수다. 오른쪽 흡수면에서는 탈출 증가율이 오른쪽 흐름과 같다. 바깥 방향과 오른쪽 방향의 부호 관례를 혼동하면 질량 수지가 틀어진다.

흡수 경계에서 내부 확률이 줄어드는 것은 의도한 동작이다. 남은 셀 질량을 그 합으로 나누면 생존을 조건으로 한 분포가 되며 다른 질문에 답한다. 준비 모델은 이런 정규화 없이 무조건부 셀 질량과 양쪽 탈출 장부를 보고한다. 탈출 장부 상태는 유한한 공간 폭을 갖는 바깥 밀도 셀이 아니다.

명시 Euler를 적용하고 커널 전체를 살핀다

물리적 시간 단계 h에서 명시 Euler는 이전 법칙을 사용한다.

$$q^{n+1}=q^n(I+hQ),\qquad h\max_i(-Q_{ii})\leq1.$$

위 부등식은 이 Euler 행렬이 확률 커널이 되는 필요충분조건이다. 비대각 성분은 이미 음수가 아니므로 모든 대각 성분을 음수가 아니게 하는 조건이다. 각 행의 합은 이 조건의 충족 여부와 관계없이 1이다. 따라서 보존만으로 확률 근사의 유효성을 확인할 수 없다.

상한을 넘으면 부호 값을 유지하고 실패를 표시한다. 음수 셀을 자른 뒤 재정규화하면 방법 자체와 흐름 수지를 바꾸면서 진단을 숨긴다. 특별한 정상 초기화가 잘못된 커널을 가릴 수도 있다. 특정 정상 행을 곱하면 유지되더라도 다른 초기 법칙에 대한 커널의 실패는 남는다.

확산이 지배하는 내부 셀에서는 최대 이탈률이 D/dx² 정도다. 따라서 공간을 세밀하게 하면 명시 양수성을 위해 시간 간격도 dx² 정도로 작게 해야 한다. 드리프트는 |b|/dx 규모를 추가한다. 정확한 제한은 흡수 경계 이탈률까지 포함한 각 실제 셀의 모든 이탈에서 계산해야 한다. 경계를 확인하지 않고 내부 규칙 하나만 인용하면 부족하다.

암시 Euler를 정확해로 부르지 않고 비교한다

암시 Euler는 새로운 법칙에서 생성자의 작용을 평가한다.

$$q^{n+1}(I-hQ)=q^n,\qquad q^{n+1}=q^n(I-hQ)^{-1}.$$

이 유한 보존 생성자와 h>=0에서 역행렬은 확률 행렬이다. 양수성과 정규화를 확인하는 한 방법은 다음 resolvent 표현이다.

$$(I-hQ)^{-1}=\int_0^\infty e^{-s}e^{hsQ}\,ds.$$

적분 안의 각 반군 커널은 확률 행렬이고 양의 무게 적분은 1이다. e^(−s)e^(hsQ)를 미분하면 역행렬 항등식을 확인할 수 있다. 유한 확률 커널이 유계이므로 무한대에서의 감쇠도 성립한다. h=0에서는 직접 항등 사상을 얻는다.

이 식은 무조건부 양수성이 시간 오차를 없애지 않는 이유도 설명한다. 암시 한 단계는 평균 1인 지수 확률변수 S를 사용한 무작위 길이 hS 동안의 정확 격자 진화를 평균 낸 것이다. 고정 시간 h에서의 진화와 같지 않다. 합이 T인 N단계에서 이 보조 시간들의 합은 평균 T, 분산 T²/N을 갖는다. 이것은 수치 방법 커널의 해석이며 실제 실험의 시계가 무작위라는 주장이 아니다.

다른 시간 계산으로 정확한 격자 법칙을 포함시킨다

nu를 최대 이탈률로 정하자. nu>0이면 P=I+Q/nu로 두어

$$e^{TQ}=e^{-\nu T}\sum_{k=0}^\infty \frac{(\nu T)^k}{k!}P^k.$$

이는 master equation에서 배운 잠재 사건 구성을 모든 셀과 탈출 장부로 확장한 것이다. Q=0이면 항등을 사용한다. 유한 절단에서는 부분 확률 법칙만 남는다. 양의 꼬리 상한으로 누락 확률을 포함시키고 전체 격자 법칙의 성분별 구간을 얻는다. 작은 절단은 넓은 구간을 만들 수 있다. 그 중간값을 인증된 정확 답으로 사용할 근거가 되지 않는다.

모델은 정확 유리수 조건부 법칙·Euler 커널과 방향성256bit 지수 구간을 사용한다. 명시와 암시 최종 행을 같은 격자, 같은 물리 시간 T의 법칙과 비교한다. 남긴 Poisson 급수를 정규화하지 않는다. 절단을 늘리면 이 시간 기준이 정밀해지며 공간 격자가 세밀해지거나 벽이 이동하는 것은 아니다.

공간 오차와 시간 오차, 경계 선택을 분리한다

셀·구간·경계·초기화를 고정하고 N을 늘리면 시간 이산화를 비교한다. Poisson 절단을 늘리면 별도 격자 시간 기준을 좁힌다. K를 늘리면 공간 생성자가 달라지고 더 작은 명시 시간 간격이 필요할 수 있다. L을 키우면 모형의 영역이 달라진다. 반사를 흡수로 바꾸면 물리적 경계 질문 자체가 달라진다.

4셀과 8셀 준비는 −2..2m 영역에서 −1..0m 구간에 균일한 같은 초기 밀도를 나타낸다. 큰 셀의 확률을 두 작은 자식 셀에 반씩 나눈다. 큰 셀의 질량을 두 자식에 그대로 복사하면 확률이 두 배가 되고, 한 자식에 몰아넣으면 초기 공간 법칙이 달라진다. 격자 한 쌍의 비교는 예시이며 모든 해상도의 수렴 증명이나 오차 추정이 아니다.

반사 경계와 D>0에서는 유일한 내부 정상 격자 법칙이 있다. 이웃 질량은 상세한 면 흐름 수지를 만족한다.

$$\pi_{i+1}=\pi_i\frac{r_{i\to i+1}}{r_{i+1\to i}}, \qquad\sum_i\pi_i=1.$$

유한한 dx에서 upwind 정상 법칙은 일반적으로 연속체 정상 밀도의 셀 적분과 다르다. 준비한 정상 표시값은 명시한 닫힌 확산 경우에만 제공한다. D=0에서는 영 전이율이 격자를 여러 닫힌 클래스로 나눌 수 있다. 영 역방향 전이율로 나누어 유일한 법칙을 만들어내면 안 된다.

그림과 조건을 고정한 비교

그림	읽을 값	유지할 조건
셀 배열과 면 화살표	면마다 공유하는 부호 흐름 하나	양쪽 이웃에 같은 부호 관례
셀 질량과 밀도 막대	확률과 미터당 확률	폭·단위 표시, 탈출 장부에는 밀도 없음
내부와 양쪽 탈출 장부	전체 합과 경계 손실	생존 조건부 재정규화 없음
명시와 암시 시간 기록	양수성과 정확 수지 잔차	실패한 명시 부호 값 유지
Poisson 절단 기록	부분 질량·양의 꼬리·전체 법칙 구간	넓은 구간은 미해결로 유지
같은 시간의 비교	두 방법의 부호 종단 시간 오차	같은 격자·경계·초기화·T

준비 범위는 2..8셀, L은 1/2..4m, gamma는 2/s까지, 바람은 −2..2m/s, D는 1m²/s까지, T는 10초까지, 시간 단계는 1..128, 절단은 0..256이다. 독립 시간 기준의 계산을 위해 최대 이탈률과 T의 곱은 64까지 허용한다. 이 결합 계산 조건을 넘으면 T를 줄이거나 격자를 바꾼다. 이는 상호작용 비용의 범위이며 교육 범위의 제한이 아니다. 교재는 native worker와 표시 전용 기록 선택을 사용하며 준비를 바꾸면 이전 계산을 취소한다.

해설 문제

1. 세분화하면서 질량을 밀도로 바꾸기

1미터 셀에 확률 1/4이 있다. 균일한 밀도를 보존하면서 같은 크기의 자식 셀 두 개로 나눌 때 각 질량과 밀도는 얼마인가?

해설. 각 자식의 확률은 1/8이고 폭은 1/2m이므로 밀도는 1/4m⁻¹로 부모와 같다. 각각에 확률 1/4을 주면 질량이 두 배가 된다. 한 자식에 몰아주면 전체 정규화는 유지해도 초기 밀도가 달라진다.

2. 보존되지만 부호가 잘못된 실패 찾기

폭 1m인 두 셀에서 드리프트 0, D=1m²/s, 반사 경계와 초기 행(1,0)을 사용한다. h=3/2s 한 단계의 명시·암시 Euler를 비교하라.

해설. 내부 생성자는[[-1,1],[1,-1]]/s다. 명시는(−1/2,3/2)를 주므로 합이 1이어도 확률 법칙이 아니다. 암시는(5/8,3/8)로 유효하다. 이 시각의 정확한 격자 행은((1+exp(−3))/2,(1−exp(−3))/2)다. 암시 양수성이 이 기준과의 일치를 뜻하지는 않는다.

3. 반 셀 흡수 거리 포함하기

같은 두 셀과 확산에서 양쪽 경계를 흡수로 바꾸자. 각 경계의 탈출률과 전체 내부 생존 확률은 어떻게 되는가?

해설. 각 경계 탈출률은 2/s다. 일시적 내부 행렬은[[-3,1],[1,-3]]/s로 내부 전이 1과 탈출 2를 포함한다. 두 방정식을 더하면 생존 확률의 미분은 생존 확률의 −2배다. 처음 내부에 있던 법칙의 생존은 exp(−2t)다. 빠진 질량은 두 탈출 장부에 있으며 그 합은 1−exp(−2t)다.

4. 왼쪽 흐름의 방향 추적하기

드리프트가 없는 왼쪽 흡수면에서 D=1m²/s, dx=1m, 첫 셀 질량 1/4일 때 방향을 가진 흐름과 왼쪽 탈출 증가율을 구하라.

해설. 밀도는 1/4m⁻¹이며 반 셀 기울기는 오른쪽으로 향한다. 오른쪽 방향으로 정의한 경계 흐름은 −1/2s⁻¹이다. 왼쪽 탈출 장부는 그 음수인 1/2s⁻¹로 증가한다. 부호 흐름 자체를 장부에 더하면 탈출 확률을 잘못 줄여 전체 보존을 깨뜨린다.

5. 다른 공간 정상 법칙 알아보기

−2..2m에 폭 1m인 네 셀, b=−x/s, D=1/2m²/s, 반사 경계를 사용한다. 정상 셀 질량을 구하라.

해설. −1,0,1m 면 속도는 1,0,−1m/s다. 이웃 전이율 비는 3,1,1/3이므로 무게는 1:3:3:1, 질량은(1,3,3,1)/8이다. 이는 선택한 격자 생성자의 정확한 정상 법칙이다. 연속체 Gaussian의 셀 적분이 정확히 이 값이라는 주장이 아니다.

6. 서로 다른 세 가지 세분화 진단

N을 늘리거나 절단을 늘리거나 K를 늘릴 때 그림이 바뀐다. 각각 어떤 오차를 다루는가? 모두 작은 물리적 시간 단계라고 불러도 되는가?

해설. T를 고정하고 N을 늘리면 Euler 간격이 줄어 시간 적분을 다룬다. 절단을 늘리면 같은 시간·격자에서 반군 포함 구간을 좁힌다. K를 늘리면 공간이 바뀌고 보통 명시 양수성 제약도 엄격해진다. 어느 것도 관측 물리 시간 T 자체를 바꾸지 않는다. 그림의 변화를 정확도 향상으로 해석하기 전에 초기화와 경계를 확인해야 한다.