질량 내적과 결합 진동의 정상모드

두 물체의 운동 안에서 더 단순한 두 운동을 찾는다

두 질량을 용수철로 연결하고 한쪽만 옮겨 놓아 보자. 일반적으로 두 물체가 모두 움직이고, 각각의 변위는 단일 정현파가 아니다. 그런데 좌표를 적절히 조합하면 서로 독립인 조화진동자로 진화하는 두 좌표를 얻을 수 있다. 이 조합이 정상 좌표이고, 대응하는 실제 변위의 모양이 정상모드다.

여기서 풀 문제는 고유값 두 개를 구하는 것보다 넓다. 측정한 초기 위치·속도를 모드 진폭으로 바꾸고, 각 모드를 진화시켜 실제 운동을 재구성하며 에너지를 검증한다. 질량이 다르면 어떤 기하로 투영해야 하는지도 달라진다. 보통의 유클리드 내적으로 투영하면 초기 진폭부터 틀릴 수 있다.

물리 계와 단위를 정한다

$q_1,q_2$는 평형에서 잰 변위다. 질량 $m_1,m_2>0$의 단위는 kg이고, 각 질량을 고정점에 연결한 용수철 강성 $k_1,k_2\ge0$와 두 질량을 잇는 결합 강성 $\kappa\ge0$의 단위는 N/m다. 위치는 m, 속도는 m/s, 에너지는 J로 쓴다.

$$M=\begin{pmatrix}m_1&0\\0&m_2\end{pmatrix},\qquad K=\begin{pmatrix}k_1+\kappa&-\kappa\\-\kappa&k_2+\kappa\end{pmatrix},\qquad M\ddot q+Kq=0.$$

감쇠와 외부 구동은 없다. 용수철 법칙은 선형이다. 다른 역학계의 작은 진동을 선형화해 같은 식을 얻을 수도 있지만, 큰 각도의 비선형 진자까지 이 식으로 설명할 수는 없다.

결합 항의 부호를 힘에서 유도한다

$q_2>q_1$이면 결합 용수철은 첫 질량을 변위가 증가하는 방향으로, 둘째 질량을 감소하는 방향으로 당긴다. 따라서

$$m_1\ddot q_1=-k_1q_1+\kappa(q_2-q_1),\qquad m_2\ddot q_2=-k_2q_2-\kappa(q_2-q_1)$$

이다. 전체 힘을 더하면 결합력은 상쇄되지만 고정점 용수철의 힘은 남는다. 그러므로 일반적으로 총운동량은 보존되지 않는다. 두 고정점 강성이 모두 0이면 질량중심 가속도가 0이 된다. 경계에 무엇을 연결했는지가 보존 법칙을 결정한다.

보통의 고유값 문제를 조심해서 읽는다

$q=\phi\cos(\omega t)$를 대입하면 일반화 고유값 문제

$$K\phi=\omega^2M\phi$$

를 얻는다. 질량이 다를 때 $M^{-1}K$는 보통 대칭행렬이 아니다. 그 고유벡터에 유클리드 대칭행렬의 직교 성질을 바로 적용하면 안 된다. 이 물리 계의 제곱 주파수가 실수이고 음수가 아닌 것은 $M$이 양의 정부호이고 $K$가 양의 준정부호이기 때문이다.

실제로 용수철 에너지는 $(k_1q_1^2+k_2q_2^2+\kappa(q_2-q_1)^2)/2\ge0$다. 모든 실수행렬이 실수 고유값을 갖는다는 주장이 아니라, 특정한 물리 가정에서 얻은 결론이다.

질량 기하를 백색화한다

$y=M^{1/2}q$로 놓고 운동방정식에 $M^{-1/2}$를 곱하면

$$\ddot y+Dy=0,\qquad D=M^{-1/2}KM^{-1/2}$$

이다. $D$는 대칭이므로 $U^TU=I$, $U^TDU=\Lambda$를 만족하는 직교 고유벡터를 고를 수 있다. $\Phi=M^{-1/2}U$로 정의하면 그 열들이 실제 변위의 모드 모양이며

$$\Phi^TM\Phi=I,\qquad \Phi^TK\Phi=\Lambda$$

를 만족한다. 이 질량 정규화에서 모드 벡터의 단위는 kg⁻¹ᐟ², 정상 좌표의 단위는 kg¹ᐟ² m다. 수치상 어떤 행렬을 단위행렬로 만들었다고 모든 물리 좌표가 무차원이 되는 것은 아니다.

모드 모양·부호·정상 좌표를 구분한다

열벡터 $\phi_j$는 실제 변위의 상대적인 모양이다. 성분의 부호가 다르면 한 정상모드 안에서도 두 질량이 반대 방향으로 움직인다. 모드 모양과 정상 좌표의 부호를 동시에 뒤집으면 실제 운동은 변하지 않는다.

정상 좌표는

$$a=\Phi^TMq,\qquad q=\Phi a,\qquad \ddot a+\Lambda a=0$$

이다. 계산 흐름을 다음 개념 그림으로 읽을 수 있다.

$$(q_0,v_0)\ \xrightarrow{\ \Phi^TM\ }\ (a_0,\dot a_0) \ \xrightarrow{\ \text{independent evolution}\ }\ (a(t),\dot a(t)) \ \xrightarrow{\ \Phi\ }\ (q(t),v(t)).$$

첫 화살표는 초기조건의 분해, 가운데 화살표는 독립 좌표의 진화, 마지막 화살표는 관측 가능한 실제 운동의 재구성이다.

위치와 속도를 모두 투영한다

이계 방정식은 초기 위치만으로 정해지지 않는다. 두 종류의 초기조건을 각각

$$a_j(0)=\phi_j^TMq_0,\qquad \dot a_j(0)=\phi_j^TMv_0$$

로 구한다. 질량이 다를 때 $M$은 빠뜨릴 수 없는 가중치다. 실제 좌표에서의 투영행렬은 $P_j=\phi_j\phi_j^TM$다. 단순 고유값에서는 $P_j^2=P_j$, $P_1P_2=0$, $P_1+P_2=I$다. 이 행렬은 일반적으로 유클리드 좌표에서 대칭이 아니지만, 질량 내적에 대해서는 $MP_j=P_j^TM$을 만족한다.

따라서 투영 뒤 두 기여를 더했을 때 측정한 초기조건이 돌아오는지 검사할 수 있다. 순방향 변환과 역변환에 서로 다른 정규화를 쓰는 실수도 이 검사로 찾는다.

진동 좌표와 영주파수 좌표를 진화시킨다

$\lambda_j=\omega_j^2>0$이면

$$a_j(t)=a_j(0)\cos(\omega_jt)+\dot a_j(0)t\operatorname{sinc}(\omega_jt), \qquad \operatorname{sinc}(z)=\frac{\sin z}{z},\quad\operatorname{sinc}(0)=1$$

이다. 이 표현은 주파수 0에서도 연속이다. $\lambda_j=0$에서는 $a_j(0)+\dot a_j(0)t$가 되어 속도가 일정하다. 영모드를 상수 위치로만 처리하면 초기속도 정보를 버린다. 작은 양의 주파수로 대신하면 실제로 없는 복원력을 만들어 낸다.

계산은 음수가 아닌 강성들의 곱으로 구조적 영모드를 판정한다. 작은 양의 고유값을 임의의 허용오차 기준으로 0으로 바꾸지 않는다.

실제 궤적을 다시 만든다

각 모드의 위치 기여와 속도 기여를 더한다.

$$q(t)=\sum_j\phi_ja_j(t),\qquad v(t)=\sum_j\phi_j\dot a_j(t).$$

한 모드의 기여는 두 성분을 갖는 벡터이며, 특정 질량 하나의 궤적이 아니다. 두 모드가 각각 두 질량 모두에 기여할 수 있다. 정상 좌표를 올바르게 미분한 뒤 속도를 재구성해야 한다.

물리 그림은 질량 두 개와 결합 용수철, 변위의 부호, 선택한 시각을 함께 표시한다. 좌표 그림에서 실제 변위·정상 좌표·재구성 기여를 따로 읽고 서로 다른 단위를 확인하자.

에너지는 정상 좌표에서 분리된다

실제 에너지는

$$E=\frac12v^TMv+\frac12q^TKq =\frac12\sum_j\left[\dot a_j^2+\lambda_ja_j^2\right]$$

이다. 이 선형 무감쇠 계에서는 각 모드의 에너지가 일정하다. 특정한 실제 질량에 배분한 에너지는 변할 수 있다. 두 분해는 같은 대상을 나누는 다른 방법이다. 물리 총에너지를 계산할 때는 결합 용수철의 에너지를 반드시 포함한다.

영모드에는 운동에너지 항만 남는다. 움직이지 않는 영모드 변위는 에너지가 0이면서 위치는 0이 아닐 수 있다. 총에너지가 0이면 정규화한 에너지 비율은 미정이다. 이때 임의로 반씩 배분하면 관측에 없는 정보를 추가하게 된다.

같은 주파수는 유일한 기저를 정하지 않는다

결합이 없고 $k_1/m_1=k_2/m_2$이면 두 주파수가 같다. 백색화한 축퇴 고유공간 안에서 직교 회전한 기저도 유효한 모드 기저다. 질량 정규화한 뒤 재구성하면 같은 실제 초기값 해를 얻는다.

기저를 바꾸면 개별 모드에 적힌 에너지 값은 달라질 수 있지만 합은 실제 총에너지로 같다. 수치 라이브러리끼리 비교할 때는 같은 부호의 고유벡터나 같은 개별 에너지 이름표를 요구하기보다, 축퇴 부분공간과 재구성 운동을 비교한다. 교육용 계산은 재현 가능한 좌표 기저 하나를 선택하고 그 선택임을 명시한다.

계산 예제: 질량이 다른 두 물체

$m_1=1$ kg, $m_2=2$ kg, $k_1=k_2=\kappa=1$ N/m로 두자. 특성방정식은

$$\det(K-\lambda M)=(2-\lambda)(2-2\lambda)-1 =2\lambda^2-6\lambda+3=0$$

이다. 따라서 $\lambda_\mp=(3\mp\sqrt3)/2$이고, 각주파수는 약 0.796225와 1.538189 rad/s다. 첫 행에서 변위 비율 $\phi_2/\phi_1=2-\lambda$를 얻는다. 낮은 모드는 약1.366025, 높은 모드는 약−0.366025이므로 한 모드에서는 함께, 다른 모드에서는 반대로 움직인다.

$q_0=(1,0)$ m, $v_0=0$에서 시작하면 첫 고정점 용수철에0.5 J, 결합 용수철에0.5 J가 저장되어 총1 J다. 질량 정규화한 모드 에너지는 $(2-\sqrt3)/4\approx0.066987$ J와 $(2+\sqrt3)/4\approx0.933013$ J다. 둘째 질량을 처음에 평형에 놓았다는 사실이 이후에도 움직이지 않는다는 뜻은 아니다.

계산 예제: 병진 운동

SI 단위에서 $k_1=k_2=0$, $m_1=1$, $m_2=2$, $\kappa=1$로 두면 제곱 주파수 하나는0, 다른 하나는 $\kappa(1/m_1+1/m_2)=1.5$ s⁻²다. $q_0=(1,1)$ m, $v_0=(0.5,0.5)$ m/s로 시작하면 병진 성분만 가진다.

12초에서 두 변위는 모두7 m이고 속도는 계속0.5 m/s다. 결합 용수철은 늘어나지 않으며 에너지는 $(m_1+m_2)(0.5)^2/2=0.375$ J다. 주파수가0이라는 사실은 속도나 운동에너지도0이라는 뜻이 아니다.

해설이 있는 연습문제 여섯 개

문제 1: 힘 행렬 만들기

$k_1=2$, $k_2=0$, $\kappa=1$ N/m일 때 $K$와 $q=(1,0)$ m에서의 힘을 구하라.

해설: $K=\begin{pmatrix}3&-1\\-1&1\end{pmatrix}$ N/m이므로 $-Kq=(-3,1)$ N이다. 결합력은 크기가 같고 방향이 반대이며, 첫 고정점 용수철이 추가로−2 N을 가한다.

문제 2: 투영의 기하 선택하기

질량이 다를 때 모드 계수를 $\phi_j^Tq_0$로 계산해도 되는가?

해설: 여기의 질량 정규화 기저에서는 $\phi_j^TMq_0$다. 역변환 관계는 $\Phi^TM\Phi=I$에서 나온다. $M$을 빼면 일반적으로 실제 초기 변위를 복원할 수 없다.

문제 3: 영모드 처리하기

정상 좌표가 $\lambda=0$, $a(0)=2$, $\dot a(0)=0.5$일 때4초의 좌표를 구하라.

해설: $\ddot a=0$이므로 $a(4)=2+0.5\times4=4$다. 모드 운동에너지는 $0.5(0.5)^2=0.125$ J다. 이 좌표의 단위에는 질량의 제곱근이 포함되어 있음을 기억하자.

문제 4: 초기값 개수 세기

결합된 두 질량에 필요한 스칼라 초기값은 몇 개인가?

해설: 위치 두 개와 속도 두 개로 총 네 개다. 모드 변환 뒤에도 초기 정상 좌표 두 개와 초기 변화율 두 개가 필요하다. 진폭 두 개만 주고 공통 위상을 가정하면 일부 운동만 표현한다.

문제 5: 축퇴 모드 비교하기

같은 주파수에서 두 계산기가 다른 모드 벡터와 다른 개별 모드 에너지를 반환했다. 반드시 하나가 틀렸는가?

해설: 그렇지 않다. 축퇴 고유공간 안의 회전이 에너지 이름표를 바꿀 수 있다. 질량 직교성, 고유값 방정식, 재구성한 초기조건과 궤적, 총에너지를 검사한다. 개별 성분을 비교하려면 기저 관례부터 맞춰야 한다.

문제 6: 결합 에너지 포함하기

질량이 다른 예제에서 초기 에너지가0.5 J가 아닌 이유는 무엇인가?

해설: 첫 고정점 용수철의0.5 J 외에 $q_1-q_2=1$ m만큼 변형된 결합 용수철에도0.5 J가 있다. 총1 J다. 결합 항을 빼고 이후 에너지 변화를 관측하면 물리적 손실이 아니라 장부 누락을 보게 된다.

수치 근거를 읽고 AI에 연결한다

계산 범위는 질량0.25–4 kg의0.25 kg 간격, 강성0–4 N/m의1/16 N/m 간격이다. 초기 위치와 속도는 SI 단위에서−4부터4까지다. 관측 창은 최대128초이고 실제 한 시점 계산은512초까지 지원한다. 이는 명시적인 교육 실험 범위이며 이론의 보편적 제한은 아니다.

그리기 구간은 가장 빠른 모드의 위상 진행이 구간당0.125 rad 이하가 되도록 정한다. 시간 적분 갱신을 실행하는 것이 아니라 해석적 정상 운동을 표본화한다. 고유값 잔차와 에너지 잔차는 부동소수점 진단값이다.

학습한 동역학 모델은 보지 못한 질량·결합 강성·초기조건으로 검증할 수 있다. 잠재 좌표 그림뿐 아니라 실제 재구성, 힘, 에너지를 확인하자. 축퇴 공간에서 학습한 모드 이름표가 회전할 수 있으므로, 잠재 좌표만 직접 비교하면 물리적으로 같은 표현을 잘못 벌점 줄 수 있다.

일차 자료와 다음 질문

행렬 정식화와 병진 영모드는 MIT 8.03SC 강의4, 1–5쪽을 참고한다. 질량 내적과 축퇴 공간은 MIT 8.03SC 교재3장 3.3.3–3.4.3절에 나온다. 다음 단원은 실제 질량 사이의 맥놀이·에너지 교환과 결합 용수철, 포락선 설명의 적용 조건을 다룬다.