이 단원 목차
데이터를 고정한 우도
10회 Bernoulli 시행 중 성공 k개를 관측했다고 합시다. 우도는 이 데이터를 고정하고 p를 바꾸는 함수입니다. 순서 표본의 우도와 성공 개수의 우도는 p와 무관한 이항계수만 달라 최댓값 위치가 같습니다. 우도는 p에 대해 적분 1인 분포가 아니며 사후분포로 읽으면 안 됩니다. 파랑은 최대 높이를 1로 조정한 상대 우도입니다.
Beta 사전과 공액 갱신
Beta(α,β) 사전의 밀도는 p^(α−1)(1−p)^(β−1)에 비례합니다. 우도와 곱하면 같은 형태를 유지해 사후는 Beta(k+α,10−k+β)입니다. 실습은 α,β가 1 이상인 경우만 사용하므로 내부 또는 단일 경계 최빈값을 간단히 계산할 수 있습니다. α나 β가 1보다 작은 모든 Beta 사전의 경계 특성까지 구현한 것은 아닙니다.
최빈값과 평균을 따로 읽기
기준 k=7,α=β=2에서는 MLE=0.7입니다. 사후 Beta(9,5)의 MAP는 8/12=2/3이고 평균은 9/14입니다. 서로 다른 추정 요약입니다. MAP는 선택한 p 좌표의 밀도 최빈값이며, 일반적으로 비선형 재매개화의 Jacobian에 영향을 받습니다. 사후평균은 제곱오차 사후 위험을 최소화하는 요약이지만 다른 손실에는 다른 요약이 적절할 수 있습니다.
균등 사전과 경계 사례
균등 사전 α=β=1이면 MAP와 MLE가 일치하지만 사후평균은 다를 수 있습니다. k=0에서는 두 최댓값이 0이고 사후평균은 1/12입니다. 주황은 사후의 형태를 보여주지만 역시 최대 높이를 1로 따로 조정했으므로 두 곡선의 면적을 확률로 비교하지 마세요. MLE·MAP가 경계에 있다고 데이터가 모수를 확실히 증명한 것은 아닙니다.
확인 문제와 해설
- 사후 밀도는 무엇을 정규화하나요? 사전과 우도의 곱을 p에 대해 정규화합니다.
- 기준 사후평균은? 9/14≈0.643입니다.
- 균등 사전의 MAP와 평균은 항상 같나요? 아니요. MAP는 MLE와 같아도 평균은 다를 수 있습니다.
설명할 수 있나요?
실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.
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