이 단원 목차
Power 비용과 거리의 구별
p차 모멘트가 유한한 확률 측도에서
실습은 p=1,2를 비교한다. 최소 제곱 비용은 W₂²이고 거리 metric은 W₂다. Metric을 제곱하면 삼각부등식이 깨질 수 있다. 위치 0,1,2의 Dirac 세 개만으로도 반례가 된다.
일차원에서는 같은 quantile 수준 연결
Qμ,Qν를 일반화 역 CDF로 두자. 같은 균등 확률 수준 U로 X=Qμ(U),Y=Qν(U)를 만들면 단조 최적 coupling을 얻는다.
원자가 있으면 평평한 출발 quantile 구간이 여러 도착 구간과 겹칠 수 있다. 이는 coupling 구성이지 출발 위치만으로 정해지는 결정론적 map은 아닐 수 있다. 공통 확률 수준은 원자 위치만 알 때 사라지는 정보를 갖는다.
그림은 물리 위치에 따른 밀도가 아니라 확률 u에 따른 quantile이다. 점프의 세로선은 표시용 연결이며 중간 높이의 원자가 추가된 것이 아니다. 질량 0인 원자는 quantile 그림에서 제외한다.
구간 겹침으로 계산
출발 위치는 (−1,1), 질량은 (a,1−a)다. 도착 위치는 (s−r,s+r)이며 s는 이동, r>0은 폭 배율이다. 각 계획 질량은 두 CDF 구간의 교차 길이다. 여기에 대응하는 power 거리를 곱하면 비용 표를 얻는다.
정렬된 위치와 정규화된 비음수 질량을 사용하는 유한 계산이다. 고차원 임의 수송에는 같은 방식의 공통 quantile 정렬이 일반적으로 없다.
세 비교 예제
절반 질량 둘을 모두 1 이동하면 W₁=W₂=1이다. ±1을 ±2로 넓혀도 거리는 1인데 평균은 둘 다 0이다. 평균 일치가 분포 일치를 뜻하지 않는다.
지지집합 ±1에서 왼쪽 질량을 0.25에서 0.75로 바꾸면 질량 절반이 거리 2를 움직인다. W₁=1, W₂²=2, W₂=√2다. 총질량 정규화가 다른 것이 아니라 긴 이동을 가중하는 방식이 다르다.
직접 풀기와 풀이
마지막 예에서 두 계단 quantile의 차이는 길이 0.5인 확률 구간에서 2, 나머지에서 0이다. 직접 적분하여 두 거리를 계산하자. Jensen과 주변 제약으로 얻는 |EμX−EνY|≤Wₚ도 확인한다.
a=1이나 0에서 원자 하나만 남는 경우를 검사하자. 사용하지 않는 위치가 배열에 있어도 같은 측도의 거리는 0이어야 한다. AI의 경험 분포를 비교할 때 ground metric·모멘트·가중치와 Wₚ인지 p제곱 비용인지를 기록해야 한다.
더 읽기: Peyré와 Cuturi의 최적수송 교재.
설명할 수 있나요?
실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.
선택한 답과 학습 표시는 이 브라우저에 저장됩니다. 다시 풀거나 표시를 해제할 수 있습니다.