척도 분리, 기억과 빠른 변수 제거

1. 완화 시간 구분하기

두 변수가 서로 다른 시간 척도에서 변할 수 있습니다. 축소 모형은 빠른 변수를 느린 변수의 함수로 대체하기도 합니다. 궤적, 초기 조건과 감쇠율을 비교해 축소가 유효한지 검사합니다. 시간 척도의 비를 모형에 명시하고 실제 관측 시간에 어떤 차이가 중요한지 확인하세요.

2. 근사 없이 빠른 변수 제거하기

$D>1$, $0\leq\gamma<1$인 $\dot x=-x+y$, $\dot y=D(\gamma x-y)$를 생각합니다. 행렬의 대각합은 음수이고 행렬식은 $D(1-\gamma)>0$이므로 두 모드는 감쇠합니다. 두 번째 식을 적분 인자로 풀면 다음과 같습니다.

첫 번째 식에 넣으면 느린 변수의 식에 과거의 $x$와 숨은 초기 상태의 항이 남습니다. $x_0$가 같아도 $y_0$가 다르면 $\dot x(0)$가 다릅니다. 이 선형 예제에서 동역학을 투영할 때 기억항이 생기는 과정을 볼 수 있습니다. Mori, Transport, Collective Motion, and Brownian Motion

3. 기억 적분을 순간 응답으로 바꾸기

$D$가 크면 지수 커널의 폭은 $1/D$입니다. 초기 경계층을 지난 뒤 그 폭 안에서 $x$가 거의 변하지 않으면 $y\approx\gamma x$와 $\dot x\approx-(1-\gamma)x$를 사용할 수 있습니다. $y-\gamma x$를 미분하면 다음 상계를 얻습니다.

첫 항은 초기 불일치의 영향을 나타냅니다. 두 번째 항은 빠른 변수가 응답하는 동안 느린 변수가 얼마나 움직이는지 나타냅니다. $y_0=\gamma x_0$로 시작해도 $x$가 변하면 지연이 생깁니다.

4. 전체 계의 시간 척도 비교하기

감쇠 고윳값은 다음과 같습니다.

느린 감쇠율을 계산할 때 $\lambda_+=-2D(1-\gamma)/(1+D+\sqrt{(D-1)^2+4\gamma D})$를 쓰면 거의 같은 두 수의 차를 피할 수 있습니다. $\lambda_+$와 축소 감쇠율 $-(1-\gamma)$를 비교한 뒤 빠른 시간 상수 몇 배가 지난 궤적을 살펴보세요. 두 감쇠율이 가까우면 어느 한 모드도 빨리 사라지지 않습니다.

5. 궤적에서 근사 검증하기

from math import exp, sqrt

def slow_state(t, D, gamma, y0):
    gap = sqrt((D-1)**2 + 4*gamma*D)
    fast = -(1+D+gap)/2
    slow = D*(1-gamma)/fast
    weight_slow = (y0-1-fast)/gap
    return weight_slow*exp(slow*t) + (1-weight_slow)*exp(fast*t)

gamma = 0.6
times = [i/100 for i in range(501)]
def error(D, y0):
    return max(abs(slow_state(t,D,gamma,y0) - exp(-(1-gamma)*t)) for t in times)

assert slow_state(0, 4, gamma, 0) == 1
assert error(32,gamma) < error(4,gamma)
for D in [2,4,8,32]:
    print(D, error(D,gamma), error(D,0))

6. 검증할 양 고르기

• $x_0$는 같고 $y_0$가 다른 두 궤적을 초기화하세요. 초기 기울기와 늦은 시간의 거동을 비교합니다.
• $D$를 늘리고 실제 적용에서 사용하는 시점에 근사가 개선되는지 확인하세요.
• 감쇠율 오차와 함께 궤적 오차를 기록하세요. 감쇠율이 같아도 진폭은 다를 수 있습니다.
• 시간 전진 모형을 학습할 때 숨은 자유도가 아직 완화되지 않은 상황에서 최근 관측을 추가하면 예측이 개선되는지 검사하세요.