Lagrangian 운동량 그래프와 생성 작용

위상 공간의 곡면을 살펴보기

하나의 위상 궤적은 보통1차원이다. 반면 모든 배치에 운동량을 하나씩 지정한 그래프는 다른 대상이다. 위치 좌표가 두 개이면 그 그래프는4차원 위상 공간 안의2차원 곡면이다. Lagrangian이라는 말은 이 곡면의 기하적 성질을 뜻하며, 물리적 Lagrange 함수를 어느 궤적에 대입했다는 뜻과 다르다.

이번 단원에서는 선형 운동량 장, 접평면, 배치 공간의 폐곡선을 따라 누적한 작용을 비교한다. 조회 매개변수는 만든 사각형의 경계를 따를 뿐 물리적 시간이 아니다. 운동 방정식이나 새 ODE 적분기를 도입하지 않는다.

주변 공간의 형식은 비퇴화로 유지된다

정준 좌표는 (q1,q2,p1,p2), 위치 단위는 m, 운동량 단위는 kg m/s다. 주변 공간의 심플렉틱 형식은

$$\omega=dq_1\wedge dp_1+dq_2\wedge dp_2$$

이며 원점을 포함한 모든 점에서 계수가 같고 rank가4다. 부분공간 안의 모든 접벡터 쌍에 ω를 넣었을 때0이면 그 부분공간은 isotropic이다. Lagrangian 부분공간은 isotropic이면서 주변 공간의 절반 차원을 갖는다. 여기서는2차원이어야 한다.

제한한 형식이0이라고 주변 공간의 형식이 퇴화한 것이 아니다. 비퇴화성은 선택한 곡면 안의 방향만이 아니라 모든 주변 방향과의 짝짓기를 묻는다. 앞 각운동량 단원의 제한 전후 미분처럼 연산을 어느 공간에서 하는지 분명히 해야 한다. 동일한 기호라도 주변 형식과 끌어온 형식은 다른 대상이다.

운동량 장을 그래프로 매장하기

다음 운동량 장을 두자.

$$p=Aq,\qquad A=\begin{pmatrix}a&b+c\\b-c&d\end{pmatrix}.$$

각 계수의 단위는 kg/s다. 매장은 i(q)=(q,Aq)이고 접벡터를 보내는 행렬은

$$E=\begin{pmatrix}I_2\\A\end{pmatrix}$$

다. 위쪽 항등 블록 덕분에 A의 rank가0이나1이어도 매장의 rank는2다. 특히 p=0도 정상적인2차원 그래프다. 위치에서 운동량으로 가는 A가 가역일 필요는 없다.

이 관계를 Legendre 변환의 속도·운동량 관계와 혼동하지 않는다. 여기서 A는 위치에 대한 운동량의 미분이고 단위는 kg/s다. 직교 질량은 속도에 대한 운동량의 미분으로 kg다. 앞에서 양의 속도 Hessian을 요구한 역변환 문제와 다른 질문이다. 좌표 종류와 단위만 먼저 보아도 잘못된 동일시를 피할 수 있다.

배치 공간으로 형식을 끌어오기

배치 변화 u,v에 대응하는 그래프 접벡터는 Eu,Ev다. 직접 계산하면

$$\omega(Eu,Ev)=u^T(A-A^T)v$$

이므로 끌어온 형식의 계수 행렬은

$$E^TJE=A-A^T=\begin{pmatrix}0&2c\\-2c&0\end{pmatrix}$$

다. 따라서 c=0일 때 정확히 isotropic이다. 이미 차원이2이므로 이것이 곧 Lagrangian 조건이다. 선택한 위치 한 점의 잔차가 작다는 주장이 아니라 전체 선형 그래프에 대한 조건이다.

끌어온 계수는 kg/s이고 두 위치 변화의 단위 m를 곱하면 작용 Js가 된다. 유리수 매개변수 범위에서는 이 계수가0인지 정확한 연산으로 검사한다. 그림이 거의 평평해 보이는지나 임의의 작은 허용 오차로 구조를 판정하지 않는다.

대칭 부분에서 생성 작용을 만들기

A를 대칭 부분 As와 반대칭 부분으로 나눈다. 다음 이차 스칼라는 언제나 쓸 수 있다.

$$S(q)=\frac12q^TA_sq =\frac12(aq_1^2+2bq_1q_2+dq_2^2).$$

단위는 작용 Js이고 기울기는 As q다. 전체 운동량과의 차이는

$$p-\nabla S=c\begin{pmatrix}q_2\\-q_1\end{pmatrix}$$

다. c=0일 때만 이 S가 전체 운동량 장을 생성한다. 비대칭 A에 대해 그럴듯한 이차 스칼라를 쓸 수 있다는 사실이 p가 그 기울기라는 증거가 되지는 않는다.

원점에서는 c가 비영이어도 이 차이가0이다. 따라서 원점 하나의 맞춤으로 전체 적분 가능성을 식별할 수 없다. 그래프의 끌어온 형식과 유한 폐곡선은 그 한 점의 값과 독립적인 구조 검사다. 같은 구조 결함을 서로 다른 방식으로 드러내기 때문에 단순히 잔차 표 하나만 보는 것보다 해석하기 쉽다.

일형식과 이차 형식의 부호 구분

정준 일형식은 θ=p·dq다. 그래프에서 외미분하면

$$d(i^*\theta)= (\partial_{q_1}p_2-\partial_{q_2}p_1)dq_1\wedge dq_2 =-2c\,dq_1\wedge dq_2$$

다. ω=−dθ라는 약속을 사용하므로 ω의 끌어온 계수는 반대 부호인 +2c다. 정의와 방향을 고정하면 모순이 없다.

q1-q2 평면에서 너비 w>0, 높이 h>0인 사각형을 반시계 방향으로 돌면

$$\oint p\cdot dq=-2cwh,\qquad \int i^*\omega=2cwh$$

다. 둘 다 Js이며 물리적 힘과 변위의 내적을 적분한 일 J가 아니다. 그림에서 운동량 화살표를 배치의 변위처럼 그리려면 표시 배율과 단위를 따로 선언해야 한다. 같은 숫자 크기라는 이유로 서로 다른 양을 한 축에서 더하지 않는다.

Lagrangian이지만 볼록하지 않은 그래프

a=1 kg/s, d=−1 kg/s, b=c=0을 택하자. p=(q1,−q2)이고 생성 작용은

$$S=(q_1^2-q_2^2)/2$$

다. 한 곡률 방향은 양수, 다른 방향은 음수여서 볼록하지 않다. 하지만 A는 대칭이고 그래프 차원은2이며 끌어온 형식은0이다. 따라서 Lagrangian이다.

두 대각 계수를 모두 음수로 두면 오목한 작용을 생성하면서도 Lagrangian인 그래프를 얻는다. A=0이면 위치·운동량 대응이 특이하지만 영단면 역시 Lagrangian이다. 대칭성, 볼록성, A의 rank, 그래프 매장의 rank를 분리해야 한다.

이 예제만으로 어떤 물리적 계의 안정성이나 불안정성을 주장하지 않는다. 진화의 물리적 Hamiltonian을 정하지 않았기 때문이다. 생성 작용의 곡률과 에너지 안정성 기준은 다른 질문이다. 이전 최적화 단원에서 배운 양의 Hessian 조건을 이 정의에 그대로 가져오는 실수를 피한다.

원점 오차는0이지만 장은 비대칭인 예

a=d=b=0, c=1 kg/s로 두면

$$p=(q_2,-q_1),\qquad S=0$$

이다. 원점에서 p=∇S=0이지만 끌어온 형식의 계수는2 kg/s로 비영이다. 단위 정사각형의 반시계 방향 작용 적분은−2 Js다.

변별로 부호를 검산할 수 있다. 아래 변에서는 q2=0이어서 기여가0이다. 오른쪽에서는 p2=−1 kg m/s이고 dq2가 양수여서−1 Js다. 위쪽에서는 p1=1 kg m/s인데 dq1이 음수여서 다시−1 Js다. 왼쪽은0이다.

폐곡선의 비영 작용은 경로 의존성을 드러낸다. 진행 방향을 뒤집으면 부호가 바뀐다. 이 선형 장에서는 사각형을 평행 이동해도 전체 적분은 같지만 부분 적분과 조회한 운동량은 달라질 수 있다. 원점 검사가 통과하는 것과 실제 장 전체가 기울기 장인 것은 다르다.

닫힘뿐 아니라 부분 적분도 비교하기

c=0이면 시작점부터 임의의 조회 경계점까지의 적분은 S(q)−S(q0)다. 전체 사각형을 다 돌았을 때뿐 아니라 각 변의 중간점에서도 성립한다. 따라서 누적 작용과 스칼라 변화의 곡선이 경로 전체에서 겹친다.

c가 비영이면 대칭 부분의 작용은 여전히 끝점 차이로 주어지지만 반대칭 부분이 경로에 의존하는 항을 더한다. 초기 배치로 돌아오면 스칼라 변화는0인데 누적 작용은−2cwh로 남는다. 최종 잔차 하나와 중간 곡선을 함께 읽으면 무엇이 상쇄되었는지 확인하기 쉽다.

조회 매개변수는0부터4까지이고 사각형 한 변마다1씩 증가한다. 단위는 초가 아니다. 이 값으로 실제 속도, 힘, 출력, 해의 유일성, 에너지 보존을 추론해서는 안 된다. 시작점을 지나는 추가 직선도 다른 기하적 부분집합이며 대체 물리 궤적을 뜻하지 않는다.

1차원 isotropic 곡선만으로 충분하지 않다

비영 배치 방향 v를 골라 q=q0+λv로 움직이면 위상 접벡터는 Ev다. 반대칭성 때문에

$$\omega(Ev,Ev)=0$$

이다. A가 비대칭이어도1차원 직선은 언제나 isotropic이다. 그러나 주변4차원에서 Lagrangian이 되려면2차원이어야 한다. 이 직선은 필요한 절반 차원을 갖지 않아 Lagrangian이 아니다.

서로 평행한 접벡터만 검사하면 반대칭 결함을 절대로 찾을 수 없는 이유가 여기에 있다. 이차 형식에는 독립적인 두 방향이 필요하다. 한 방향의 학습 궤적을 잘 맞췄다는 사실만으로 전체 운동량 그래프가 생성 작용을 가진다고 주장할 수 없다. 정의에 포함된 차원 조건을 수치 잔차 검사와 함께 기록해야 한다.

국소 기울기와 전역 exactness 나누기

이번 선형 장은 R² 전체에 정의되어 대칭 A에서 명시적인 전역 이차 함수 S를 얻는다. 더 일반적으로 일형식의 그래프는 그 일형식이 닫혀 있을 때 Lagrangian이다. 충분히 작은 수축 가능한 좌표 영역에서는 닫힘으로 국소 잠재 함수를 얻지만, 전역 단일값 함수의 존재에는 정의역의 정보가 더 필요하다.

예를 들어 배치가 원이면 각도 θ와 일정한 각운동량 ℓ을 사용할 수 있다. 일형식 ℓdθ는 닫혀 있고 그 그래프는 여접 원기둥에서 Lagrangian이다. 하지만 원을 한 바퀴 돌면 적분은2πℓ이므로 ℓ이 비영이면 각도에 대한 전역 단일값 작용 함수가 없다. 여기서 ℓ의 단위는 각운동량 Js이고 직교 운동량 kg m/s와 다르다.

사각형 실험이 이 전역 위상 예제까지 수치 인증하는 것은 아니다. 임의의 Lagrangian 부분다양체를 분류하거나 Hamilton-Jacobi 방정식을 푼 것도 아니다. 뒤 단원에서 정의역과 위상을 추적해야 하는 이유를 구분해 두는 예다.

정확한 구조와 수치 그림을 나눠 읽기

계수와 초기 위치는 반정수, 너비와 높이는 양의 반정수다. 모델은 유리수 행렬 곱·rank·다항식 변 적분을 정확히 계산한다. 대칭 부분의 고유값은 직관을 위해 소수로 제공하지만 볼록성 분류는 정확한 대수에서 얻는다.

그래프는 언제나2차원이다. 주변 형식은 비퇴화로 유지되고 끌어온 형식의 rank만0또는2가 된다. 위상 투영의 축은 한 위치와 그에 대응하는 운동량이고, 배치 사각형의 두 축은 모두 길이다. 어느 한 그림으로4차원 전체 그래프를 직접 매장한 것처럼 해석하지 않는다.

별도의 부동소수점 폐곡선 계산과 정확한 작용의 차이도 제공한다. 그 차이는 수치 표시 진단이지 Lagrangian 판정 기준이 아니다. 원점이나 특이한 A에서 작은 반지름, 인위적 정칙화, 잔차 덮어쓰기를 사용하지 않는다.

해설이 있는 연습 문제

1. 일반적인2×2 A에서 E^TJE를 계산하자. 해설: 블록을 곱하면 A−A^T다. 선택한 계수에서는 비대각 성분이2c여서 c=0이 정확한 조건이다.
2. A가 특이하면 그래프가 Lagrangian이 될 수 없을까? 해설: 아니다. 위치의 항등 블록이 매장 rank를2로 유지한다. A=0도 Lagrangian 영단면을 만든다.
3. 대칭이지만 indefinite인 A는 어떨까? 해설: 반대칭 부분이0이어서 그래프는 Lagrangian이다. Indefinite는 생성 이차 함수의 곡률에 관한 조건이지 이차 형식의 제한 조건이 아니다.
4. p=(q2,−q1)의 단위 정사각형 작용은? 해설: 비영인 두 변의 기여가 각각−1 Js여서 총−2 Js다. 정한 약속에서 ω의 끌어온 flux는+2 Js다.
5. 그래프가 실패해도 선택 직선이 isotropic인 이유는? 해설: 반복한 한 접벡터에는 이차 형식이0이다. 독립적인 둘째 방향과 요구한 절반 차원이 없으므로 전체 그래프의 판정을 대신할 수 없다.
6. Lagrangian 그래프에는 언제나 전역 스칼라 생성 작용이 있을까? 해설: 일반적인 정의역에서는 아니다. 닫힘은 국소 함수와 연결되지만 원의 예제에는 비영 주기가 있어 전역 단일값 함수를 방해한다.

AI 연구와 읽을거리

학습한 운동량 장에는 제안한 잠재 함수와의 점별 적합뿐 아니라 전체 도함수의 대칭성과 폐곡선 작용을 검사한다. 볼록성은 추가 모델링 선택일 수 있지만 Lagrangian 그래프의 정의가 아니다. 주변 공간, 그래프 차원, 단위, 정의역을 명시한 뒤 이후 Hamilton-Jacobi나 변분 연구와 연결해야 한다.

정의와 닫힌 일형식의 그래프는 Ana Cannas da Silva의 Symplectic Geometry 2.1절과 저자 공개 Lectures on Symplectic Geometry 3.2절을 참고할 수 있다. 이 단원의 계수족, 사각형 조작과 작용 비교는 직접 유도하고 독립 기준으로 검산한다.