제어가능성·관측가능성·Gramian

내부 상태에 대한 서로 다른 두 질문

입력으로 목표 상태에 도달할 수 있는가? 출력으로 서로 다른 초기 상태를 구분할 수 있는가? 제어가능성과 관측가능성은 이 두 질문을 따로 다룬다. 잘 움직일 수 있어도 보이지 않는 방향이 있고, 모두 관측해도 조작할 수 없는 방향이 있을 수 있다.

실습은 알려진 입력을 가진 연속 시간 선형 모형이다.

두 decay rate가 다르다는 조건이 중요하다. 아래 rank 결론을 임의의 시스템에서 두 계수가 0이 아니면 충분하다는 규칙으로 일반화하지 않는다.

Rank가 말하는 것

제어가능 행렬 [B,AB]의 행렬식은 -b, 관측가능 행렬 [C;CA]의 행렬식은 -c다. 해당 채널이 비영이면 rank 2, 0이면 rank 1이다.

같은 알려진 입력을 주었을 때 출력 차이는 초기 상태 차이만으로 결정된다. 단위 초기 방향의 출력은 exp(-t)와 c exp(-2t)다. c=0이면 두 번째 방향은 보이지 않는다. c가 비영이면 서로 다른 지수 함수를 충분한 시간 관측으로 구분할 수 있다. 한 순간의 스칼라 측정 하나로 두 좌표를 복원한다는 뜻은 아니다.

유한 시간 에너지 적분

g_r(T)=(1-exp(-rT))/r라고 두면

각각 exp(At)BBᵀexp(Aᵀt), exp(Aᵀt)CᵀCexp(At)의 시간 적분이다. 초기 상태가 0이고 Wc가 가역이면 목표까지의 최소 제곱 L2 입력 에너지는

최소 입력은 다음과 같이 구성할 수 있다.

다른 가능한 입력은 최종 상태를 바꾸지 않는 성분 v를 더한 것이다. 이 성분과 u*의 내적은 0이므로 에너지는 E_min에 음이 아닌 v²의 적분을 더한 값이다. 목표에 쓰이지 않는 입력 성분은 에너지만 추가한다.

위 파란 타원은 Wc^(1/2)를 단위원에 적용한 것으로 입력 에너지 1 이하의 도달 집합 경계다. 관측 불확실성이나 물리적 안전 경계를 뜻하지 않는다.

특이한 채널은 방향부터 검사

b=0이면 첫 좌표만 도달할 수 있다. 목표 x2가 비영이면 유한 에너지가 없어 —로 표시한다. x2=0이면 x1²/g2로 계산한다. 특이 행렬에 임의의 ridge를 더해서 없는 방향을 만들어내지 않는다.

작은 비영 b도 구조적 rank는 2다. 하지만 Gramian의 조건이 나쁘고 입력 에너지는 커진다. 계산은 스케일된 좌표를 사용해 불필요하게 b²로 행렬을 직접 나누지 않는다. 수학적으로 유한해도 기계 수로 표현하지 못하는 큰 에너지는 미정일 수 있으므로 구조적 도달 표시와 함께 읽는다.

확인 문제와 풀이

T와 목표 (0,1)을 유지하고 b=1과 b=0.1을 비교하라. c=1은 고정한다.

풀이. 스케일된 목표는 (0,1/b)이고 기본 Gramian은 b와 무관하다. 이차 에너지는 1/b²에 비례하므로 b를 10분의 1로 줄이면 최소 에너지는 100배다. 두 경우 모두 제어 rank는 2이며 관측가능성은 변하지 않는다. b=0에서는 단지 비싼 것이 아니라 목표에 도달할 수 없다.

b=1,c=0으로 바꾸면 두 방향을 제어할 수 있지만 두 번째 초기 방향의 출력은 0이다. 제어가능성이 관측가능성을 보장하지 않음을 확인하자.

학습 모형·센서와 연결

순환 모형의 내부 좌표 중 자료로 구분하지 못하는 방향이 있을 수 있고, 로봇에는 현재 액추에이터로 독립 조작하지 못하는 상태가 있을 수 있다. Rank는 구조적 질문이고 유한 시간 Gramian은 에너지와 민감도를 더 설명한다. 잡음, 미지 입력, 비선형성, 제한된 측정 시점은 추가 분석이 필요하다. 다음 필터 단원은 관측가능성을 정확도 보장으로 바꾸지 않고 확률적 불확실성을 추적한다.

원전

MIT, Dynamic Systems and Control, 6.241J. 대각 모형과 에너지·채널 비교는 직접 구성했다.