복소평면·극형식과 거듭제곱

두 실수와 한 복소수

복소수 z=x+iy는 계산상 실수쌍 (x,y)이지만 곱셈이 특별한 기하 구조를 줍니다. i²=−1을 사용해 전개하면 (a+ib)(c+id)=(ac−bd)+i(ad+bc)입니다. 실수 좌표별 곱과 같지 않습니다.

r>0에서 θ는 2π의 정수배 차이까지 정해집니다. z=0은 크기 0이지만 고유한 방향은 없습니다. 실습은 그 각도를 0으로 채우지 않고 —로 표시합니다.

곱셈은 회전과 확대

삼각 덧셈 공식으로 두 극형식을 곱하면 크기는 곱해지고 각도는 더해집니다. 한 복소수 α를 곱하는 선형사상은 α의 크기만큼 확대하고 그 각도만큼 회전합니다. α≠0이면 가역입니다.

크기나 위상을 따로 더한 결과를 복소수의 합과 혼동하지 마세요. 덧셈은 Cartesian 성분을 더하며, 곱셈은 이 극형식 규칙을 따릅니다.

De Moivre 공식과 거듭제곱 사상

양의 정수 k에 대해 반복 곱셈 또는 귀납법으로

를 얻습니다. 기준 r=1,θ=45도,k=2이면 z²=i입니다. r=2로 바꾸면 출력 크기는 4이고 각도는 여전히 90도입니다. 반지름 두 배를 출력 두 배라고 생각하면 거듭제곱의 비선형 확대를 놓칩니다.

이 공식은 입력 원을 출력 원으로 보내지만 k>1에서는 각도를 여러 번 감습니다. 비영 출력의 k개 원상은 각도가 2π/k씩 다릅니다. z→zᵏ가 원점 근처까지 일대일이라는 뜻은 아닙니다.

주값과 누적 각도

실습은 누적 kθ와 atan2로 계산한 주값 각도를 별도로 표시합니다. 예를 들어 θ=135도,k=2의 누적 각도는 270도지만 주값은 −90도입니다. 같은 복소수이며 모순이 아닙니다. 음의 실수축에서 사용하는 주각 끝점 규약도 명시해야 합니다.

삼각 함수에는 라디안을 넣으므로 화면의 도 단위 각도는 θ_rad=θ_degπ/180으로 바꿉니다. exp(iθ) 식에 도 단위 숫자를 그대로 넣지 마세요. 수치 삼각 계산 때문에 이론적으로 0인 성분에 매우 작은 잔차가 표시될 수 있습니다.

그림과 AI 연결

파랑은 입력 z, 주황은 출력 zᵏ이고 두 축의 단위 길이는 같습니다. 이 그림은 복소평면 위 두 값을 비교하며 복소 고차원 벡터 전체를 평면으로 임베딩한 것이 아닙니다.

Fourier 위상, 회전 등변 표현, 파동·양자 진폭을 읽을 때 복소 곱셈의 구조가 유용합니다. 회전 표현이 있다는 사실만으로 모델 전체의 등변성이 보장되지는 않습니다. 비선형층·정규화·학습 손실도 대칭 조건을 유지해야 합니다.

확인 문제와 답

1. r=2,θ=30도,k=3의 크기와 누적 각도는? 8과 90도입니다.
2. z와 −z의 제곱은 같은가요? 예. 제곱 사상은 전역 일대일이 아닙니다.
3. arg(0)이 —인 이유는? 모든 각도가 같은 영점을 나타내기 때문입니다.

추가 읽기: MIT Complex Variables with Applications. 공식 강좌 범위를 확인해 보충 자료로 연결합니다. 본문의 작은 계산과 예제는 직접 구성했습니다.