임계성·보편성과 유한 크기 척도

1. 유한계의 요동에서 임계현상으로

유한 이징 격자의 분배함수는 양의 유한 온도에서 양의 가중치를 유한 번 더한 값입니다. 그 자유에너지는 매끄럽습니다. 계가 커지면 요동이 더 먼 격자점까지 이어지고 완만한 봉우리가 뾰족해질 수 있습니다. 임계 특이성은 열역학적 극한에서의 성질입니다. 유한계의 높은 봉우리는 계 크기에 따른 관측값입니다.

2. 임계 기준점과 상관 길이

가로 결합 $K_x=J_x/T$, 세로 결합 $K_y=J_y/T$, 외부장 0인 정사각 격자 강자성 이징 모형을 사용합니다. 무한 격자의 전이선은 다음 식을 만족합니다.

두 결합이 같으면 $K_c=\tfrac12\log(1+\sqrt2)\approx 0.440687$입니다. 유한 격자의 결과를 해석할 때 무한 격자의 이 결과를 외부 기준점으로 사용합니다. 1차원 최근접 이징 사슬의 상관 길이는 온도가 0에 접근할 때 커지며, 양의 유한 온도에서는 유한합니다. 두 모형은 같은 스핀 대칭을 가지며 공간 차원이 다릅니다. Onsager, Crystal Statistics I · Tong, Statistical Physics §5

3. 보편성에서 비교하는 양

$t=(T-T_c)/T_c$라 둡니다. 임계점 근처의 상관 길이는 $\xi\sim |t|^{-\nu}$로 증가합니다. 질서가 형성되는 쪽의 자발 자화는 $m_{\rm sp}\sim(-t)^\beta$, 연결 감수율은 $\chi\sim|t|^{-\gamma}$의 거동을 보입니다. 임계점에서 연결 상관함수는 일반적으로 $r^{-(d-2+\eta)}$로 감소합니다.

보편성은 기하와 정규화 조건을 맞춘 뒤 임계 지수와 척도 함수를 비교합니다. 임계 온도와 진폭은 미시 결합에 따라 달라질 수 있습니다. 2차원 정사각 격자 이징 모형의 지수는 $\beta=1/8$, $\gamma=7/4$, $\nu=1$, $\eta=1/4$입니다. 평균장 이론의 지수는 $\beta=1/2$, $\gamma=1$, $\nu=1/2$, $\eta=0$입니다. 평균장 계산으로 근사가 어떤 값을 예측하는지 확인하고 정확한 2차원 값과 비교해 요동의 영향을 읽습니다. Tong, Statistical Field Theory §§1.2 및 2.2

4. 분포의 모양을 읽는 무차원 관측량

전체 자화를 $M=\sum_i s_i$, 격자점 수를 $N=L^2$라 둡니다. 외부장 0인 유한계는 부호 반전 대칭으로 $\langle M\rangle=0$입니다. 자화 분포는 서로 부호가 다른 두 질서 상태에 집중될 수 있습니다. Binder 비율은 2차와 4차 모멘트로 분포의 모양을 읽습니다.

독립인 무편향 스핀에서는 $\langle M^2\rangle=N$, $\langle M^4\rangle=3N^2-2N$이므로 $U_L=2/(3N)$입니다. $M=\pm N$ 두 값에 집중한 분포에서는 $U_L=2/3$입니다. 유한계의 분포가 두 봉우리로 뚜렷하게 모일수록 이 비율이 커지는 이유입니다. Binder, Finite Size Scaling Analysis of Ising Model Block Distribution Functions

5. 유한 크기에서 교점이 이동하는 이유

종횡비와 경계 조건을 고정하면 임계점 근처의 유한 크기 척도 관계의 선도항은 $U_L(t)\approx f(tL^{1/\nu})$입니다. $t=0$에서 선도항은 $L$에 의존하지 않습니다. 보정항 때문에 두 유한 크기의 곡선이 만나는 곳은 열역학적 극한의 임계점에서 벗어날 수 있습니다. 여러 크기 쌍을 비교하고 사용한 기하를 함께 적으세요.

실습의 원통 격자는 행 내부에 주기 경계, 행이 쌓이는 방향에 열린 경계를 둡니다. 크기를 바꿀 때 정사각형 종횡비를 유지합니다. 원통 전체 자화의 Binder 비율을 계산합니다.

6. 행을 쌓으며 유한계 모멘트 계산하기

행 상태 $b$에는 스핀 $L$개가 있고 행 자화는 $m_b$입니다. 마지막 행이 $a$일 때 누적한 비정규화 $k$차 모멘트를 $S_k(a)$라 둡니다. 새 행 $b$를 붙이면 전체 자화가 $m_b$만큼 증가합니다. 거듭제곱을 전개하면 다음 갱신식을 얻습니다.

전달 가중치 $w_{ab}$에는 새 행 $b$의 가로 결합과 $a$, $b$ 사이의 세로 결합이 들어갑니다. 마지막 행에 대해 합한 뒤 모멘트를 $S_0$으로 나눕니다. 지수에서 가능한 최대 결합 합을 빼면 공통 인자가 생기고 정규화한 모멘트에서는 상쇄됩니다.

from math import comb
import numpy as np

def binder(length, kx, ky):
    bits = np.arange(1 << length)[:, None] >> np.arange(length)
    spins = 2 * (bits & 1) - 1
    horizontal = (spins * np.roll(spins, -1, axis=1)).sum(axis=1)
    m = spins.sum(axis=1)
    row = np.exp(kx * (horizontal - length))
    transfer = np.exp(ky * (spins @ spins.T - length)) * row[None, :]
    moments = np.array([row * m**k for k in range(5)])
    for _ in range(length - 1):
        incoming = moments @ transfer
        moments = np.array([
            sum(comb(k, j) * incoming[j] * m**(k-j) for j in range(k+1))
            for k in range(5)
        ])
    z, _, m2, _, m4 = moments.sum(axis=1)
    return 1 - m4 * z / (3 * m2**2)

def crossing(left, right):
    lo, hi = 0.4, 0.6
    assert binder(left, lo, lo) > binder(right, lo, lo)
    assert binder(left, hi, hi) < binder(right, hi, hi)
    for _ in range(25):
        mid = (lo + hi) / 2
        if binder(left, mid, mid) > binder(right, mid, mid):
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    return (lo + hi) / 2

for length in [3, 4, 6, 8]:
    np.testing.assert_allclose(binder(length, 0, 0), 2/(3*length**2), atol=1e-14, rtol=0)
print('infinite Kc', np.arcsinh(1)/2)
print('finite crossings', crossing(3, 4), crossing(6, 8))

7. 유한 크기 추론을 점검하기

• $K=0$에서 모든 시험 크기의 $U_L=2/(3L^2)$를 재현하세요. 정규화와 모멘트 갱신을 점검하는 기준입니다.
• 크기 쌍 $(3,4)$와 $(6,8)$의 교점을 비교하세요. 알려진 등방성 $K_c$와 각각 얼마나 차이가 나는지 기록합니다.
• 가로·세로 결합을 함께 바꾸고 정확한 임계선과 비교하세요. 유한 크기의 교점은 종횡비, 경계 조건, 크기 보정항에도 영향을 받습니다.
• 표본을 사용한다면 시간 상관을 반영할 만큼 긴 블록으로 불확실성을 추정하세요. 이 행 계산에는 주어진 유한 격자의 표본 오차가 없습니다.