무토크 Euler 회전과 몸체·실험실 좌표

토크가 없어도 몸체 좌표 성분은 변할 수 있다

비대칭 물체를 자유롭게 회전시키면 실험실에서 각운동량 벡터는 일정하지만 물체에 그린 좌표축은 움직입니다. 따라서 그 움직이는 축을 기준으로 잰 성분은 달라질 수 있습니다. 무토크 강체 회전의 핵심은 이 좌표계 구분입니다.

앞 단원은 한 순간의 속도장과 관성텐서를 평가했습니다. 여기서는 각속도와 자세를 실제 시간에 따라 함께 푸는 초기값 문제를 다룹니다. 질량 중심은 관성계에 고정하고 외부 토크·접촉·중력 기울기·마찰·변형은 제외합니다. 일정한 그림 각도로 물체를 돌리는 애니메이션과 구분해 물리적인 자유 회전을 계산합니다.

실현 가능한 주관성모멘트를 고른다

몸체 주축 좌표에서 일정한 텐서를 I=diag(I₁,I₂,I₃)로 둡니다. 임의의 양수 세 개 대신 양의 질량 이차 모멘트 A,B,C로

$$I_1=B+C,\qquad I_2=C+A,\qquad I_3=A+B$$

를 구성합니다. A는 주축 좌표의 Σmx²처럼 해석할 수 있으며 단위는 kg m²입니다. I₁+I₂−I₃=2C>0이고 다른 두 순환 관계도 같습니다. 따라서 제어값의 모든 조합이 양의 세 차원 질량 분포로 실현 가능합니다. 평면 질량 분포에서는 삼각 부등식에 등호가 생길 수 있지만, 이 실험은 A,B,C를 양수로 제한한 계열을 사용합니다.

초기 몸체 각속도 ω₀의 세 성분은 독립 입력입니다. 초기 z 회전각은 주축들이 실험실에서 출발하는 방향을 정합니다. 질량 중심의 병진이나 편심 지지축의 반응력은 이 모델에 포함하지 않습니다.

좌표축 수송 항을 유도한다

몸체 성분을 실험실 성분으로 보내는 회전행렬을 R이라 하면 임의 벡터 a의 미분은

$$\left(\frac{da}{dt}\right)_{\rm lab} =R\left(\dot a_{\rm body}+\omega_{\rm body}\times a_{\rm body}\right)$$

입니다. 몸체 각운동량은 Lbody=Iωbody이므로 관성계 토크가 0이라는 조건은

$$I\dot\omega+\omega\times(I\omega)=0$$

이 됩니다. 외적 항은 좌표축이 회전하기 때문에 생깁니다. 이를 빼면 모든 몸체 각속도 성분이 일정하다고 잘못 예측합니다. 몸체 좌표에서 텐서가 일정해도 그 좌표계가 관성계인 것은 아닙니다.

Euler 방정식을 성분으로 쓴다

주축 기저에서는

$$I_1\dot\omega_1=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3,$$ $$I_2\dot\omega_2=(I_3-I_1)\omega_3\omega_1,\qquad I_3\dot\omega_3=(I_1-I_2)\omega_1\omega_2.$$

서로 다른 성분의 곱이 운동을 결합합니다. 한 주축만으로 회전하는 상태는 특별한 정확해입니다. 다른 두 성분이 0이면 계속 0으로 남습니다. 구형 관성에서는 세 모멘트가 같아 모든 결합 항이 사라집니다. 일반적인 비대칭 물체에서 여러 성분을 섞으면 몸체 각속도는 변합니다.

이 Euler 동역학 방정식과 자세를 표현하는 Euler 각은 서로 다른 개념입니다. 세 각속도 방정식만 풀어서는 몸체 축이 실험실의 어느 방향을 가리키는지 알 수 없습니다. 자세 방정식도 함께 풀어야 합니다.

실제 자세를 함께 수송한다

몸체에서 실험실로 가는 회전행렬은

$$\dot R=R[\omega_{\rm body}]_\times,\qquad R^\mathsf TR=\operatorname{Id},\quad\det R=1$$

을 만족합니다. [ω]×는 벡터 v에 작용해 ω×v를 만드는 반대칭 행렬입니다. 구현은 같은 자세를 스칼라 성분이 앞인 Hamilton quaternion q=(q₀,qv)로 표현합니다. 곱의 규약은

$$(a,u)\otimes(b,v)=(ab-u\cdot v,\;av+bu+u\times v)$$

이며 시간 방정식은

$$\dot q=\frac12q\otimes(0,\omega_{\rm body})$$

입니다. 곱의 순서와 몸체→실험실 규약을 고정해야 합니다. 몸체 성분을 그대로 두고 곱 순서만 바꾸면 다른 수송 식이 됩니다. q와 −q는 같은 물리적 회전을 나타냅니다. Euler 각의 특정 좌표 특이점을 피할 수 있지만 단위 노름 제약과 규약은 여전히 필요합니다.

에너지와 각운동량 보존을 증명한다

회전 에너지와 각운동량 크기의 제곱은

$$K=\frac12\omega^\mathsf TI\omega,\qquad |L|^2=|I\omega|^2$$

입니다. 외적의 수직성으로

$$\dot K=-\omega\cdot[\omega\times(I\omega)]=0,$$ $$\frac12\frac d{dt}|L|^2=-(I\omega)\cdot[\omega\times(I\omega)]=0$$

을 얻습니다. 좌표계까지 검사하는 더 강한 조건은 Llab(t)=R(t)Iω(t)=Llab(0)입니다. 몸체 성분 Iω가 변해도 관성계 벡터는 일정합니다. 에너지와 크기만 보존하는 잘못된 자세 풀이도 가능하므로 자세 행렬과 위상도 독립 참조값에 비교해야 합니다.

축대칭 해석해를 이해한다

I₁=I₂=Iperp이면 ω₃는 일정합니다. ν=(I₃−Iperp)ω₃/Iperp로 두면

$$\omega_1(t)=\omega_{10}\cos\nu t-\omega_{20}\sin\nu t,$$ $$\omega_2(t)=\omega_{10}\sin\nu t+\omega_{20}\cos\nu t$$

입니다. 이는 몸체 성분의 세차입니다. 대칭축 모멘트가 수직 방향 모멘트보다 큰지 작은지에 따라 부호가 바뀝니다. 실험실 Euler 각의 세차율과 같은 양이라고 바로 해석하지 않습니다. 자세는 여전히 별도의 수송 식을 따릅니다.

구형 극한 ν=0과 순수 주축 회전은 추가적인 정확 검산 사례입니다. 초기 각속도가 0이면 초기 자세가 단위행렬이 아니더라도 그 자세로 정지합니다.

중간축의 국소 불안정성을 유도한다

서로 다른 모멘트 I₁<I₂<I₃에서 정확한 회전 ω=(0,Ω,0) 주위를 작게 교란합니다. 일차 항만 남기면

$$\delta\dot\omega_1=\frac{I_2-I_3}{I_1}\Omega\,\delta\omega_3, \qquad \delta\dot\omega_3=\frac{I_1-I_2}{I_3}\Omega\,\delta\omega_1.$$

따라서 성장률 제곱은

$$\lambda^2=\Omega^2\frac{(I_3-I_2)(I_2-I_1)}{I_1I_3}>0$$

입니다. 양 끝 주축에서는 해당 계수 곱이 음수여서 선형 교란이 진동합니다. 반복 모멘트에서는 엄격한 세 축 분류가 성립하지 않습니다. 교란이 정확히 0인 중간축 해는 계속 그대로이며 불안정성은 가까운 초기 상태의 거동에 관한 말입니다.

이 식은 국소 선형 결과입니다. 보존량이 허용하는 실제 비선형 운동 전체가 끝없이 exp(λt)로 증가한다는 뜻이 아닙니다. 유한 교란은 선형 영역을 벗어날 수 있습니다. 큰 자세 변화가 보인다고 곧바로 수치 실패라고 판단할 수는 없지만, 그 시간과 보존량은 여전히 검증해야 합니다.

수치해법이 무엇을 조절하는지 안다

실험은 몸체 각속도 세 성분과 원래 quaternion 네 성분을 적분합니다. RK4 한 단계와 반 보폭 두 단계를 비교하고 차이를 15로 나누어 오차를 추정합니다. 척도화한 오차가 허용 범위에 들어오면 Richardson 보정 상태를 받아들입니다. 절대·상대 허용치는 국소 오차 추정을 조절하며 전체 시간 오차가 그 숫자와 항상 같다는 보장은 아닙니다.

적분 중 quaternion을 강제로 단위 길이로 투영하지 않습니다. 표시용 복사본을 정규화해 회전행렬을 만들고, 원래 quaternion의 노름 오차를 따로 보고합니다. 정상처럼 보이는 직교 행렬만으로 적분의 정확성을 판정하지 않습니다. 작은 에너지 잔차 역시 위상의 정확성을 홀로 증명하지 못합니다.

독립 DOP853 참조값은 quaternion 대신 회전행렬과 몸체 운동을 직접 적분합니다. 대칭체·구형·주축 해석해도 별도로 비교합니다. 유리수 초기 K와 |L|²는 정확한 기준이며 이후 상태와 잔차는 수치값입니다.

그림을 해당 좌표계와 단위로 읽는다

몸체 각속도 성분은 rad/s, 실험실 각운동량은 kg m²/s, 에너지는 J, 각운동량 크기 제곱은 kg² m⁴/s²입니다. 다른 양을 표시 없는 하나의 축에 섞지 않습니다. 투영된 세 축 그림은 자세이며 질량 중심의 공간 궤도가 아닙니다.

시간 이력은 0~10초를 다루며 조회 시각을 실제 적분 정지점으로 포함합니다. 조회 자세는 가까운 그림 프레임을 고른 값이 아닙니다. 보존량 곡선은 수치 해와 정확한 초기 기준을 비교합니다. 단위 각속도 주축의 선형 안정성 표시는 모든 현재 상태의 전역 안정성 판정과 구분하세요.

예제와 해설이 있는 연습문제

1. 구형 관성. A=B=C=1, ω₀=(1,1,1), 초기 자세는 단위행렬입니다. 해설: 세 모멘트는 2, K=3, |L|²=12입니다. 몸체 각속도는 일정하지만 물체는 그 방향을 축으로 속력 √3으로 돕니다. 몸체에 고정된 벡터의 실험실 성분은 일반적으로 변합니다.

2. 축대칭 물체. A=B=1,C=2, ω₀=(1,1/2,1)입니다. 해설: I=(3,3,2), ν=−1/3, K=23/8, |L|²=61/4입니다. 1초의 앞 두 성분은 cos(1/3)+(1/2)sin(1/3), −sin(1/3)+(1/2)cos(1/3)이며 셋째는 1입니다. 실험실 각운동량은 일정합니다.

3. 순수 주축 회전. A=3,B=2,C=1로 I=(3,4,5)를 만들고 ω₀=(0,0,1), 초기 z 회전각 π/2로 두세요. 해설: 몸체 성분은 그대로이고 R(t)=Rz(π/2+t)입니다. quaternion 곱의 순서와 회전 부호를 검사하는 간단한 사례입니다.

4. 불안정한 축. A=3,B=2,C=1에서 둘째 주축으로 Ω=1 회전시킵니다. 해설: 작은 교란의 λ²=1/15입니다. 정확한 (0,1,0)은 그대로지만 (0.1,1,0) 같은 가까운 입력은 달라집니다. exp(λt)를 긴 시간의 정확한 비선형 해로 사용하지 않습니다.

5. 초기 좌표 방향. 같은 주관성모멘트와 몸체 ω₀에서 초기 방향각만 바꾸세요. 해설: 몸체 성분의 시간 이력과 K, |L|²는 같습니다. 초기 및 이후의 실험실 벡터가 함께 회전합니다. 초기 실험실 각운동량 기준만 회전시키지 않으면 가짜 보존 오차가 생깁니다.

6. 정지한 자세. 임의의 허용 A,B,C에서 ω₀=0, 초기 방향각은 0이 아니게 둡니다. 해설: K=|L|²=0이고 선택한 자세를 그대로 유지합니다. 단위행렬로 바뀔 이유는 없습니다. q와 −q는 같은 자세지만 영 quaternion은 유효한 자세가 아닙니다.

연구 연결과 원자료

학습한 world model이 에너지 스칼라를 보존하면서 자세를 잘못 돌리거나 몸체 좌표 성분의 변화를 외부 토크로 오인할 수 있습니다. 관성의 실현 가능성, 좌표 수송, 벡터 각운동량, 자세 위상과 수치 오차를 따로 평가해야 합니다. 중간축 문제는 가까운 초기값이 달라지면서도 보존량은 유지될 수 있다는 점에서 좋은 검증 사례입니다.

이론 배경은 MIT16.07 Euler 방정식 강의와 세 차원 자유 회전 강의를 참고하세요. 제어값 계열·quaternion 규약·수치해법·독립 검산은 위에서 선언한 교재 실험을 따릅니다.