양자 채널 용량과 부호화 한계

1. 용량은 통신 과제에 따라 다르다

양자 채널로 고전 메시지를 보내거나, 미지의 양자 상태를 보존하거나, 비밀 상관을 나눌 수 있다. 과제마다 성능 기준과 자원 가정이 다르다. 하나의 정보 용량 숫자로 묶으면 이 구분을 놓친다.

이번 장에서는 알려진 기억 없는 큐비트 위상 반전 채널을 다룬다.

비밀 통신과 양방향 보조 과제는 별도로 정의해야 하며 여기서는 계산하지 않는다. 위 용량은 점근적으로 오류가 사라지는 부호화 비율이지 한 번의 추측 성공률이 아니다. 채널·Choi 검증, 계·환경 확장을 복습하자.

2. 완전 탈위상에서도 고전 bit는 살아남는다

고전 메시지를 $|0\rangle$, $|1\rangle$로 부호화하자. 두 사영은 $Z\rho Z$에 불변이므로 모든 $p$에서 Bob이 $Z$ 측정으로 완벽히 구별한다. 공유 얽힘 없이 사용당 고전 bit 하나를 얻는다.

$n$회 출력의 차원은 $2^n$이므로 Holevo 정보는 최대 $\log_2(2^n)=n$이다. 따라서 이 가족의 $C=1$이다. 달성 가능한 명시적 부호화와 차원 상계를 함께 쓴 결론이며, 양자 용량과 같다고 가정해서 얻은 값이 아니다.

$p=1/2$에서는 비대각 성분을 지우지만 계산 기저의 점유확률은 보존한다. 고전 표지가 살아남아도 임의의 양자 중첩과 참조계 상관이 보존되는 것은 아니다.

3. Coherent information에는 특정 입력이 붙는다

선택한 입력 $\rho_A$를 $|\psi\rangle_{RA}$로 정화하고 $A$를 채널에 보낸다. 출력이 $B$, 상보 환경이 $E$이면

다. 두 번째 등호는 전체 $RBE$ 확장이 순수하다는 사실을 쓴다. 비자명한 참조가 없는 순수 입력에서는 $BE$가 순수해 $S(B)=S(E)$이고 $I_c=0$이다. 따라서 항등 채널조차 선택한 순수 입력의 coherent information은 0이지만 양자 용량은 사용당 1큐비트다.

입력·정화·최적화 과제를 생략하면 안 된다. 다른 채널과 입력에서는 coherent information이 음수일 수도 있으며 고전 상호정보량과 다르다.

4. 채널과 환경 출력을 유도하자

입력 Bloch 벡터가 $(x,y,z)$이면 출력은 $((1-2p)x,(1-2p)y,z)$다. 다음 확장을 쓸 수 있다.

Bob을 부분추적하면

다. 고유값은 $(1\pm r_E)/2$이고

다. 따라서 물리적인 유리수 Bloch 입력마다 엔트로피를 계산할 수 있다. $z\ne0$이면 환경에도 coherence가 있으므로 그 엔트로피를 고전 오류 표지의 Shannon 엔트로피와 항상 같게 놓으면 안 된다.

최대 혼합 입력에서는 $z=0$이고 Bob도 최대 혼합이며 환경 고유값은 $(1-p,p)$다. 따라서 $I_c(I_2/2,\mathcal N_p)=1-h_2(p)$다.

5. 이 가족에서 이 값이 양자 용량인 이유

Bob의 출력에 또 다른 채널을 적용해 상보 환경 출력을 재현할 수 있으면 degradable 채널이라 한다. 여기서는 Bob의 $Z$를 측정하고 결과에 따라

를 준비하면 된다. 위상 반전 채널이 Bob의 점유확률을 보존하므로 이 측정·준비 사상은 $\rho_E$를 정확히 재현한다. 모든 $p$에 대해 유효한 degrading map이다.

Degradable 채널에서는 양자 부호화 정리와 가법성으로 용량이 단일 사용 coherent information의 최댓값으로 줄어든다. 이 함수는 입력에 대해 오목하다. 이 Pauli 대칭 가족에서는 입력을 $I,X,Y,Z$로 켤레변환해도 값이 같다. 네 입력을 평균하면 $I_2/2$이며 오목성으로 이것이 최적임을 알 수 있다.

따라서

다. Degrading map과 대칭성이 핵심 전제다. 입력 하나를 계산하거나 유한 격자를 탐색한 것만으로 일반 채널 용량을 증명할 수는 없다.

6. 공유 얽힘은 비율을 바꾼다

얽힘 보조 고전 용량 정리는

를 준다. 이 가족에서는 오목성과 같은 Pauli 평균으로 최대 혼합 입력을 선택한다. 입력과 출력 엔트로피가 각각 1이므로

다. 사전 공유 얽힘을 허용한 고전 bit 비율이며, 보조 자원 없는 양자 통신을 qubit으로 세는 $Q$와 바꾸어 쓸 수 없다. 잡음 채널과 얽힘이 있어도 실제 채널 사용 없이 통신할 수는 없다. 잡음 없는 끝점의 전송 큐비트당 고전 두 bit는 초밀집 부호화의 자원 계산과 맞는다.

7. 그래프를 믿기 전에 끝점을 점검하자

알려진 출력 $Z$를 적용하면 $p$와 $1-p$ 채널이 서로 바뀌므로 비율은 대칭이다. 알려진 유니터리를 더 자주 적용한다고 단조롭게 나빠지는 것은 아니다. $p=1$에서는 Bob이 $Z$를 정확히 되돌린다.

$p=1/2$ 근처에서는 반올림된 엔트로피를 1에서 빼면 양자 용량이 잘못 0으로 보일 수 있다. $p=1/2+\delta$이면 선도항은 $Q\approx2\delta^2/\ln2$다. 계산은 표시 반올림 대신 방향 있는 구간과 정확한 중점 분류를 유지한다.

8. 한 번의 추측은 또 다른 의미다

동일한 사전확률의 고전 표지를 $|+\rangle,|-\rangle$로 부호화하고 채널 후 $X$로 측정하자. 교차 확률 $p$인 이진 대칭 채널이다. 균등 표지의 상호정보량은 $1-h_2(p)$이고, 필요하면 결과 이름을 뒤집었을 때 최적 추측 확률은 $\max\{p,1-p\}$다.

$p=1/10$에서 성공률은 $0.9$, 측정 정보량은 약 $0.531004$ bit다. 이 가족의 $Q$와 정보량이 수치적으로 같아도 운영적 과제가 같은 것은 아니다. $Z$ 부호화는 모든 $p$에서 고전 bit 하나를 보낸다.

예정된 실험은 선택 입력의 엔트로피, 채널 가족 용량, 고전 부호화 정보를 별도 패널로 비교한다. 입력을 바꾸면 그 입력의 coherent information은 바뀌지만 채널 용량 자체가 바뀌지는 않는다.

9. 일반 채널에는 정규화가 필요할 수 있다

일반적인 유한 차원·기억 없는 채널의 양자 용량은

로 특성화한다. 입력이 여러 사용 사이에서 얽힐 수 있다. 보조 자원 없는 고전 용량도 앙상블 Holevo 정보 최적화를 정규화하며 집단 복호를 허용한다. 얽힘 보조 고전 정리는 단일 문자 최적화식이지만 자원 모형이 다르다.

식이 있다고 모든 최적화가 계산하기 쉬운 것은 아니다. 유한 입력 표본은 모든 입력이나 모든 블록 길이에 대한 상계가 아니다. 다른 Pauli 채널의 hashing형 달성식이 자동으로 그 정확한 양자 용량이 되지도 않는다. 이런 구분을 설명하려고 현재 미해결 연구 현황을 단정할 필요는 없다.

10. 점근적 비율은 유한 블록 오류 보증이 아니다

$p=1/10$이면 $Q\approx0.531004$다. 사용당 $0.5$큐비트의 목표 비율은 용량보다 작으므로, 명시한 모형에서 블록 길이가 커지는 적절한 코드 열로 오류를 0에 가깝게 만들 수 있다.100회 블록에 어떤 코드를 쓰며 그 오류가 얼마인지는 아직 정하지 않았다.

유한 블록의 논리 차원은 $2^k$ 같은 정수이며 비율은 $k/n$이다. $k=53,n=100$을 골랐다고 $0.53<Q$라는 이유만으로 오류 보증이 생기지 않는다. 부호화·복호화 사상과 충실도 기준이 더 필요하다. 강한 역정리나 이차 점근 주장에도 별도 가정과 증명이 필요하다.

11. 해설과 함께 푸는 문제

1. 고전 정보 보존. 완전 탈위상에서도 $C$가 양수인 이유는? 해설: 직교 Z 표지가 그대로 남으므로 $C=1$이다.
2. 순수 입력. 이 확장에 순수 입력을 넣은 coherent information은? 해설: 전체 출력·환경이 순수해 주변 엔트로피가 같으므로 0이다.
3. 용량 예제. $p=1/10$의 세 값은? 해설: $C=1$, $Q=1-h_2(1/10)\approx0.531004$, $C_E=1+Q\approx1.531004$다.
4. 알려진 오류. $p=1$이면? 해설: 결정론적 Z를 되돌려 $Q=1$이다.0이 아니다.
5. 입력 탐색. 격자 최댓값으로 일반 채널 용량을 인증할 수 있을까? 해설: 미검사 입력·얽힌 블록 입력·역정리 논증이 남아 있다.
6. **유한 블록.**100회에 논리53큐비트를 넣으면 용량 숫자가 정확성을 보증할까? 해설: 점근적 경계만으로 그 코드를 구성하거나 유한 오류를 제한하지 못한다.

12. 연구 연결과 유지해야 할 가정

AI 기반 통신 설계에서는 비율을 비교하기 전에 메시지 종류·공유 자원·블록 길이·입력 가족·오류 기준을 기록하자. 한 번의 분류를 개선한 모형이 양자 전송이나 참조계 보존까지 개선하는 것은 아니다.

명시적 유한 블록 코드, 잡음 있는 보조 자원, 에너지·차원 제약, 비밀 통신, 회복 보증은 후속 주제다. 별도 이론과 실험이 필요하며 이번 장은 경계가 명확한 큐비트 가족을 제공한다.

일차 근거는 Preskill의 양자 Shannon 이론10.7–10.8절, 일반화 탈위상과 정규화에 대한 Devetak–Shor 논문, 얽힘 보조 용량에 대한 Bennett–Shor–Smolin–Thapliyal 논문이다. 위 행렬·예제·끝점 점검은 이 교육과정에서 명시적으로 계산했다.